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Relation d'équivalence/classe d'équivalence




  1. #1
    descartes092

    Relation d'équivalence/classe d'équivalence

    Bonjour,bonsoir,
    je vous propose l'énoncé de l'exercice suivant:
    Dans E=ZxIN* ,on definit la relation (x,y)R(x',y') <==>xy'=x'y:
    Montrer que R est une relation d'équivalence puis déterminer l'ensemble des classes d'équivalences de E/R noté Q et (x,y) est noté x/y

    Pour la premiere partie c est facilement démontrable,sinon pour le reste je dirais que E/R :{ y' tq y=k*y et x'=k*x }.
    Merci de m'éclaircir si je commets une erreur ,
    Cordialement

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Linkounet

    Re : Relation d'équivalence/classe d'équivalence

    Salut, tu remarques qu'un couple qui s'écrit (nx, ny), est équivalent à (x,y). Donc tout couple (a,b) est équivalent à un unique couple (p,q) où p et q sont premiers entre eux (en divisant par le pgcd de a et b). A partir de là on peut supposer que les classes d'équivalences sont les couples (p,q) où p et q sont premiers entre eux, il reste à s'assurer que deux couples de nombres premiers entre eux (p,q) et (p',q') ne sont pas en relation, ce qui est facile avec l'absurde.

  4. #3
    S321

    Re : Relation d'équivalence/classe d'équivalence

    Citation Envoyé par Linkounet Voir le message
    ce qui est facile avec l'absurde.
    Pas par l'absurde mais par contraposition. Vous supposez qu'ils sont en relation et vous montrez qu'alors ils sont égaux. L'absurde ici c'est supposer que (p,q) ≠ (p',q') pour finalement montrer (p,q)=(p',q') en conclure que l'hypothèse (p,q) ≠ (p',q') est fausse donc (p,q)=(p',q').
    Pas besoin d'en faire autant, on a déjà la conclusion avant.
    Dernière modification par S321 ; 22/10/2011 à 09h00.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.


  5. #4
    descartes092

    Re : Relation d'équivalence/classe d'équivalence

    D'accord merci bien,mais comment peut on démontrer que ces 2 couples sont premiers entre eux,pas simplement vérifier?

  6. #5
    S321

    Re : Relation d'équivalence/classe d'équivalence

    Des couples ne sont pas premiers entre eux. Ce que vous dit Linkounet c'est qu'on peut dire que les classes d'équivalences sont les couples (p,q) tels que p/q est irréductible (ie p et q premier entre eux).
    Il vous a montré que si une fraction n'est pas irréductible alors elle est dans la même classe que la fraction irréductible correspondante. Il vous reste à montrer que les fractions irréductibles forment des classes distinctes.

    Pour ça il vous faut montrer que deux fractions irréductibles différentes ne sont pas dans la même classe ou par contraposition "si deux fractions irréductibles sont dans la même classe alors elles sont égales".
    Vous prenez donc deux fractions irréductible (p,q) et (p',q'), vous supposez qu'elles sont dans la même classe, c'est à dire que pq'=p'q et vous montrez qu'alors p=p' et q=q'.

    Là je vous ai vraiment mâché le travail ^^.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    descartes092

    Re : Relation d'équivalence/classe d'équivalence

    merci bien pour votre coup de main ,
    Amicalement

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