rang d'une matrice

invite371ae0af · 02/10/2011, 10h58

bonjour,
dans un exo, on me demande de déterminer le rang de la matrice M=
A A
A B
où M est une matrice 2n

pour le moment j'ai distinguer les cas ou B=A, rgM=n
B=0, rgM=2n
mais après je vois pas comment continuer, puisqu'il peut y avoir une ou plusieurs colonnes de B qui peuvent être les mêmes que celle de la matrice A
comment continuer alors?

merci de votre aide

invite57a1e779 · 02/10/2011, 11h05

Bonjour,

Il me semble que le plus simple est de prouver, par opérations élémentaires, que les matrices $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont même rang ( $\text{[math]}$ est la matrice nulle d'ordre $\text{[math]}$ ).

invite371ae0af · 02/10/2011, 11h08

comment as tu obtenus l'autre matrice?

invite57a1e779 · 02/10/2011, 11h14

Par opération élémentaire : j'ai soustrait la ligne n° k à la ligne n° n+k, pour k de 1 à n.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite371ae0af · 02/10/2011, 11h21

je ne savais pas qu'on pouvait faire ca (pas vu en cours)
donc du coup tu te ramène à une matrice triangulaire et ca ne change pas le rang
je vais essayer ca, merci

invite57a1e779 · 02/10/2011, 11h25

On peut voir la chose avec un produit de matrices :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est inversible.

invite371ae0af · 22/10/2011, 13h01

je me permet de relancer le sujet:
si rangM<2n le déterminant est nul
detM=A(B-A)

si A=0 et A=B alors rgM=1
si A=0 et A différent de B rgM=n
si A non nulle et A=B, rgM=n
si A non nulle et différente de B rgM=n

mais ai-je traité tous les cas? Ne manque t-il pas les cas ou les colonnes de A sont les mêmes et celles de B aussi?

invite57a1e779 · 22/10/2011, 13h26

Bonjour,

Par opérations élémentaires sur les lignes, ou par produit matriciel: $\text{[math]}$ , on commence par prouver que $\text{[math]}$ a même rang que $\text{[math]}$ .

Par opérations élémentaires sur les colonnes, ou par produit matriciel: $\text{[math]}$ , on prouve que $\text{[math]}$ a même rang que $\text{[math]}$ .

On obtient finalement que $\text{[math]}$ a même rang que $\text{[math]}$ , ce qu'on aurait pu obtenir directement par la relation $\text{[math]}$ qui prouve l'équivalence des matrices.

Le rang de la matrice diagonale par blocs est immédiat à calculer, et on obtient : $\text{[math]}$ , formule qui ne fournit, me semble-t-il, aucun cas particulier intéressant.

rang d'une matrice