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Z/nZ classe d'équivalence

  1. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Paris
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    1 023

    Z/nZ classe d'équivalence

    Bonjour, j'ai du mal avec Z/nZ donc si je pose des questions trivial ne soyez pas choqués j'ai beau lire et relire plein de cours je suis toujours perdu.

    Soit b un nombre premier supérieur ou égal à 2 distinct de 2 et de 5. b est premier avec 10.
    On note la classe d'un entier a dans

    1/ Démontrer que l'application :

    est bien définie et injective.

    Déjà comment savoir que appartient à ?
    Si b=3 par exemple :
    Alors là je bloque puisque 10 barre n'y est pas ...

    Pour l'injectivité je pense à calculer le noyau de f...

    2/ En utilisant la question précédente, montrer que

    Merci.

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    17 359

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Bonjour
    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Déjà comment savoir que appartient à ?
    Si b=3 par exemple :
    Alors là je bloque puisque 10 barre n'y est pas ...
    appartient à tous les , par exemple si b= 3,
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour


    appartient à tous les , par exemple si b= 3,
    Ah oui en effet : 10= 3*3 + 1 et le reste est la classe d'équivalence donc c'est bien 1 merci !

    Ensuite comment montrer que le produit de 2 éléments de (Z/bZ)* qui sont et reste dans (Z/bZ)* ? J'en ai besoin pour montrer que f est bien définie.
     

  4. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    143

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Salut !

    En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que puis qu' elle est bien à valeurs dans
    Si tu veux montrer qu' elle est est injective, tu dois dejà t' assurer d' avoir un morphisme de groupes (es-tu sure que f en est un ?). Sinon, plus généralement, quand tu as un groupe, que sais tu de la translation par un de ces éléments ? ( Si est un groupe, , que sais-tu de , )

    Bonne journée !
     

  5. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Messages
    1 023

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Salut !

    En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que puis qu' elle est bien à valeurs dans
    Si tu veux montrer qu' elle est est injective, tu dois dejà t' assurer d' avoir un morphisme de groupes (es-tu sure que f en est un ?). Sinon, plus généralement, quand tu as un groupe, que sais tu de la translation par un de ces éléments ? ( Si est un groupe, , que sais-tu de , )

    Bonne journée !
    Ah d'accord je pensais qu'il suffisait de vérifier que l'image appartient à (Z/bZ)* ... Votre méthode correspond à quoi ? Je comprends pas trop.

    Je connais pas trop la théorie des groupes mais sinon ça marche comme ça ?

    Soient et deux éléments de (Z/bZ)*. Supposons : donc :



    Or 10 et b sont premiers entre eux car b différent de 2 et 5... Donc 10 barre est un élément inversible de (Z/bZ)* donc il existe c barre tel que :

    D'où :

    Enfin : donc f est injective.

    C'est correct ?
     


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  6. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    Pays de la Loire
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    143

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Salut !

    En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que
    En fait, c' est évident si tu sais dejà que (Z/bZ)* est un groupe ( parce que la multiplication y est bien définie ). Donc oui, il suffit de vérifier que l' image est bien dans (Z/bZ)*
     

  7. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    143

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message

    Or 10 et b sont premiers entre eux car b différent de 2 et 5...
    si tu prends b=100, alors 100 est différent de 2 et 5, et pourtant 100 et 10 ne sont pas premiers entre eux !
    La fin de la preuve me semble bonne !
     

  8. mehdi_128

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    si tu prends b=100, alors 100 est différent de 2 et 5, et pourtant 100 et 10 ne sont pas premiers entre eux !
    La fin de la preuve me semble bonne !
    J'ai oublié de préciser que b est premier c''est ça ?
     

  9. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    143

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    oui! sinon 10barre n' appartient pas à (Z/bZ)*
     

  10. mehdi_128

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    août 2005
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    En fait, c' est évident si tu sais dejà que (Z/bZ)* est un groupe ( parce que la multiplication y est bien définie ). Donc oui, il suffit de vérifier que l' image est bien dans (Z/bZ)*
    ((Z/bZ)* , x ) est un groupe donc : appartient bien à (Z/bZ)* donc f est bien définie. C'est correct ?
     

  11. mehdi_128

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    oui! sinon 10barre n' appartient pas à (Z/bZ)*
    Ah si b n'est pas premier avec 10 alors peut être nul or on est dans (Z/bZ) \{0}
     

  12. slivoc

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    ((Z/bZ)* , x ) est un groupe donc : appartient bien à (Z/bZ)* donc f est bien définie. C'est correct ?
    oui si tu sais que 10barre est dans (Z/bZ)*
     

  13. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Ah si b n'est pas premier avec 10 alors peut être nul or on est dans (Z/bZ) \{0}
    Oui! car si b n' est pas premier avec 10, mais qu' il est premier, alors ça ne peut etre que 2 ou 5, mais c' est exclu par l' énoncé !
     

  14. mehdi_128

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Oui! car si b n' est pas premier avec 10, mais qu' il est premier, alors ça ne peut etre que 2 ou 5, mais c' est exclu par l' énoncé !
    Merci j'ai tout compris

    Avez vous un indice pour la question 2 ? Je vois pas trop par où commencer.
     

  15. slivoc

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Si tu connais le théorème de Lagrange (un théorème qui parle des ordres des sous-groupes dans un groupe fini) alors c' est très rapide. Parce que si b est premier , que peux tu dire du nombre d' éléments dans Z/bZ ?

    Par contre sans le théorème de Lagrange, en faisant de l' arithmétique toute simple, je vois pas trop. Peut etre quelque chose avec l' identité de Bezout ( parce qu' on a un 1, un b et un 10 ( mais c' est juste du pifomètre ça !))

    Bonne chance !
     

  16. mehdi_128

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Si tu connais le théorème de Lagrange (un théorème qui parle des ordres des sous-groupes dans un groupe fini) alors c' est très rapide. Parce que si b est premier , que peux tu dire du nombre d' éléments dans Z/bZ ?

    Par contre sans le théorème de Lagrange, en faisant de l' arithmétique toute simple, je vois pas trop. Peut etre quelque chose avec l' identité de Bezout ( parce qu' on a un 1, un b et un 10 ( mais c' est juste du pifomètre ça !))

    Bonne chance !
    Oui on a du voir ça en MPSI je reprends après plusieurs années d'arrêt de maths !

    L'ordre d'un élément est le plus petit entier tel que Soit a appartient à G groupe fini alors l'ordre de a divise card(G) c'est ça ? Ou ?

    Bah on a : il y a 0 barre, 1 barre, (b-1) barre ce qui fait b élément
     

  17. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    (Z/bZ)* est un groupe fini donc :



    Soit 10 barre un élément de (Z/bZ)* alors : donc 10^(b-1) est congru à 1 modulo b

    C'est rapide

    Y a une autre méthode en écrivant le produit d'éléments de (Z/bZ)* de 2 façons différentes mais je la comprends pas vous connaissez ?
     

  18. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Si b n'est pas premier : (Z/bZ)* est il un groupe multiplicatif ?
     

  19. gg0

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Essaie avec b=6, par exemple.
     

  20. slivoc

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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    L'ordre d'un élément est le plus petit entier tel que Soit a appartient à G groupe fini alors l'ordre de a divise card(G) c'est ça ? Ou ?

    Oui, et la première partie implique la seconde !
     

  21. slivoc

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    février 2016
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    143

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Si b n'est pas premier : (Z/bZ)* est il un groupe multiplicatif ?
    Tout dépend de ta définition de ((Z/bZ)*,x). Pour nous ( en cours cette année )les éléments de ((Z/bZ)*,x) étaient les classes d' équivalence dont les représentants étaient premiers avec b, donc nous n' avions pas besoins que b soit premier.
     

  22. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    31
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    1 023

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Essaie avec b=6, par exemple.
    (Z/6Z)* = {1,2,3,4,5}

    Si je veux faire par exemple :

    Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence
     

  23. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    1 023

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Sinon j'ai essayé une autre méthode :

    f est injective et card(ensemble de départ)=card(ensemble d'arrivée) donc f est une bijection de (Z/bZ)* dans (Z/bZ)* ... Faire le produit des f(x) revient à faire le produit des x :



    Donc :

    J'ai bien le droit de sortir de 10 barre du produit vu qu'il dépend pas de a ?
     

  24. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 494

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence
    On défini en général . Reste à montrer que cette définition a bien un sens, c'est à dire qu'elle ne dépend pas des représentants des classes d'équivalences choisis.
     

  25. gg0

    Date d'inscription
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    22 066

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    (Z/6Z)* = {1,2,3,4,5}

    Si je veux faire par exemple :

    Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence
    A priori,


    C'est un peu bizarre que tu manipules des notions (ici Z/nZ) sans savoir ce que c'est. Révise les bases.
     

  26. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Messages
    1 023

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    On défini en général . Reste à montrer que cette définition a bien un sens, c'est à dire qu'elle ne dépend pas des représentants des classes d'équivalences choisis.
    J'arrive pas à comprendre pourquoi pour montrer que ça a un sens on doit faire :

    et implique
     

  27. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    1 023

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    A priori,


    C'est un peu bizarre que tu manipules des notions (ici Z/nZ) sans savoir ce que c'est. Révise les bases.
    Dans (Z/6Z) on a : donc
     

  28. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    Messages
    22 066

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    J'arrive pas à comprendre pourquoi pour montrer que ça a un sens on doit faire :
    A priori, c'est déjà fait dans les cours de base. Relis-les.

    Mais c'est pour pouvoir définir comme étant
     

  29. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Paris
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    31
    Messages
    1 023

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    A priori, c'est déjà fait dans les cours de base. Relis-les.

    Mais c'est pour pouvoir définir comme étant
    Mais je comprends pas à quoi ça sert ? Ca existe des applications tel que x = x' implique f(x) différent de x' ?
     

  30. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    143

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Non, l' image d' un élément par une application est un unique élément de l' ensemble d' arrivée. Plus précisemment : https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic....C3.A9finition

    Sauf que dans Z/nZ, les éléments sont des classes d' équivalences et pas des nombres. Et à priori la somme ( ou le produit )entre deux classes n' est pas défini. Pour la définir, on voudrait bien que la loi + dans Z induise une loi + dans Z/nZ. Et c' est ce qui se passe, c' est à dire que si x et x' sont dans la même classe ( c' est à dire que x barre = x' barre) et y et y' sont dans la même classe, alors on a x+y qui est dans la même classe que x'+y'. Autrement dit, définir la loi + dans Z/nZ, comme étant xbarre + ybarre = (x+y) barre a du sens ( ne dépend pas des représentants choisis dans les classes de x barre et y barre).
    Mais en fait, ce n' est qu' un cas particulier. Quand tu te donnes un groupe G et H un sous groupe distingué dans G, alors la loi + ( je la note + par défaut) de G induit une loi + sur G/H ( l' ensemble quotient) qui fait que G/H possède une structure de groupe !
    Si tu veux plus de précisions ( et ça t' aidera sans doute à mieux comprendre Z/nZ ), va voir un cours sur les groupes quotient, je pense qu' il y en a pas mal sur internet, ou même dans les bouquins !
     


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