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Z/nZ classe d'équivalence

  1. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    920

    Z/nZ classe d'équivalence

    Bonjour, j'ai du mal avec Z/nZ donc si je pose des questions trivial ne soyez pas choqués j'ai beau lire et relire plein de cours je suis toujours perdu.

    Soit b un nombre premier supérieur ou égal à 2 distinct de 2 et de 5. b est premier avec 10.
    On note la classe d'un entier a dans

    1/ Démontrer que l'application :

    est bien définie et injective.

    Déjà comment savoir que appartient à ?
    Si b=3 par exemple :
    Alors là je bloque puisque 10 barre n'y est pas ...

    Pour l'injectivité je pense à calculer le noyau de f...

    2/ En utilisant la question précédente, montrer que

    Merci.

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Bonjour
    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Déjà comment savoir que appartient à ?
    Si b=3 par exemple :
    Alors là je bloque puisque 10 barre n'y est pas ...
    appartient à tous les , par exemple si b= 3,
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    920

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour


    appartient à tous les , par exemple si b= 3,
    Ah oui en effet : 10= 3*3 + 1 et le reste est la classe d'équivalence donc c'est bien 1 merci !

    Ensuite comment montrer que le produit de 2 éléments de (Z/bZ)* qui sont et reste dans (Z/bZ)* ? J'en ai besoin pour montrer que f est bien définie.
     

  4. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    132

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Salut !

    En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que puis qu' elle est bien à valeurs dans
    Si tu veux montrer qu' elle est est injective, tu dois dejà t' assurer d' avoir un morphisme de groupes (es-tu sure que f en est un ?). Sinon, plus généralement, quand tu as un groupe, que sais tu de la translation par un de ces éléments ? ( Si est un groupe, , que sais-tu de , )

    Bonne journée !
     

  5. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    920

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Salut !

    En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que puis qu' elle est bien à valeurs dans
    Si tu veux montrer qu' elle est est injective, tu dois dejà t' assurer d' avoir un morphisme de groupes (es-tu sure que f en est un ?). Sinon, plus généralement, quand tu as un groupe, que sais tu de la translation par un de ces éléments ? ( Si est un groupe, , que sais-tu de , )

    Bonne journée !
    Ah d'accord je pensais qu'il suffisait de vérifier que l'image appartient à (Z/bZ)* ... Votre méthode correspond à quoi ? Je comprends pas trop.

    Je connais pas trop la théorie des groupes mais sinon ça marche comme ça ?

    Soient et deux éléments de (Z/bZ)*. Supposons : donc :



    Or 10 et b sont premiers entre eux car b différent de 2 et 5... Donc 10 barre est un élément inversible de (Z/bZ)* donc il existe c barre tel que :

    D'où :

    Enfin : donc f est injective.

    C'est correct ?
     


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  6. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    132

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Salut !

    En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que
    En fait, c' est évident si tu sais dejà que (Z/bZ)* est un groupe ( parce que la multiplication y est bien définie ). Donc oui, il suffit de vérifier que l' image est bien dans (Z/bZ)*
     

  7. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
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    132

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message

    Or 10 et b sont premiers entre eux car b différent de 2 et 5...
    si tu prends b=100, alors 100 est différent de 2 et 5, et pourtant 100 et 10 ne sont pas premiers entre eux !
    La fin de la preuve me semble bonne !
     

  8. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Paris
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    30
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    920

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    si tu prends b=100, alors 100 est différent de 2 et 5, et pourtant 100 et 10 ne sont pas premiers entre eux !
    La fin de la preuve me semble bonne !
    J'ai oublié de préciser que b est premier c''est ça ?
     

  9. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
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    132

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    oui! sinon 10barre n' appartient pas à (Z/bZ)*
     

  10. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    En fait, c' est évident si tu sais dejà que (Z/bZ)* est un groupe ( parce que la multiplication y est bien définie ). Donc oui, il suffit de vérifier que l' image est bien dans (Z/bZ)*
    ((Z/bZ)* , x ) est un groupe donc : appartient bien à (Z/bZ)* donc f est bien définie. C'est correct ?
     

  11. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    oui! sinon 10barre n' appartient pas à (Z/bZ)*
    Ah si b n'est pas premier avec 10 alors peut être nul or on est dans (Z/bZ) \{0}
     

  12. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    ((Z/bZ)* , x ) est un groupe donc : appartient bien à (Z/bZ)* donc f est bien définie. C'est correct ?
    oui si tu sais que 10barre est dans (Z/bZ)*
     

  13. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Ah si b n'est pas premier avec 10 alors peut être nul or on est dans (Z/bZ) \{0}
    Oui! car si b n' est pas premier avec 10, mais qu' il est premier, alors ça ne peut etre que 2 ou 5, mais c' est exclu par l' énoncé !
     

  14. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Oui! car si b n' est pas premier avec 10, mais qu' il est premier, alors ça ne peut etre que 2 ou 5, mais c' est exclu par l' énoncé !
    Merci j'ai tout compris

    Avez vous un indice pour la question 2 ? Je vois pas trop par où commencer.
     

  15. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
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    Pays de la Loire
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    132

    Re : Z/nZ classe d'équivalence

    Si tu connais le théorème de Lagrange (un théorème qui parle des ordres des sous-groupes dans un groupe fini) alors c' est très rapide. Parce que si b est premier , que peux tu dire du nombre d' éléments dans Z/bZ ?

    Par contre sans le théorème de Lagrange, en faisant de l' arithmétique toute simple, je vois pas trop. Peut etre quelque chose avec l' identité de Bezout ( parce qu' on a un 1, un b et un 10 ( mais c' est juste du pifomètre ça !))

    Bonne chance !
     


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