Fonction à 2 varaibles

[mehdi_128]

Bonjour,

Soit f : R^2 -> R définie par :

1/ On pose F=[0,1]x[0,1] justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint sa borne supérieure. On pose

Pour la 1/ f est continue sur R comme quotient de fonctions polynomiales qui ne s'annulent pas sur R.

Pour justifier que F est un fermé , comment on fait ? Car je sais que [0,1] est un fermé mais F=[0,1]x[0,1] ?

Après je peux utiliser le théorème : f est continue sur un fermé borné de R^2 alors f admet un maximum sur ce fermé borné et elle y atteint ses bornes.

2/ Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert alors nécessairement

La borne supérieur est atteinte donc c'est bien un extremum local... Si oui comme f est de classe C1 sur F elle est donc de classe C1 sur l'ouvert Omega donc je peux utiliser le théorème du point critique...


3/ Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer à

Là je suis complètement perdu déjà je comprends pas pourquoi on obtiendrait pas le même M que dans la 2.
Comment trouver la frontière de F=[0,1]x[0,1] ?

Merci
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[JB2017]

Bonjour
Tu as simplement le produit cartésien de 2 fermés c'est donc un fermé.
Pour t'en convaincre tu prend (x,y) dans F . x est limite d'une suite x_n dans [0,1] et y est limite d'une suite y_n dans [0,1] (car [0,1] est fermé)
Donc (x,y) est limite de (x_n,y_n) ds F....

[minushabens]

Pour justifier que F est un fermé , comment on fait ? Car je sais que [0,1] est un fermé mais F=[0,1]x[0,1]

ou bien tu considères que la topologie de R^2 est la topologie produit et alors F est fermé par définition, ou bien tu considères que la topologie de R^2 découle de la distance usuelle (euclidienne) et alors il est facile de montrer que le complémentaire de F est ouvert.

[JB2017]

Oui, sur on peut chercher les points critiques et sauf erreur d'énoncé on doit pouvoir répondre à la question.

Je ne vois pas de contradiction dans les questions. En effet c'est une question de logique:

F est partionné en deux parties sont intérieur et sa frontière.

La frontière est un fermé dont on doit pouvoir trouver facilement le max, appelons le m.

On sait que le sup (sur F) est un max noté M mais on ne sait pas s'il est atteint à l'intérieur ou pas.

S'il est atteint à l'intérieur de F on a un maximum global qui nécessairement est un maximum local. La deuxième question demande donc à chercher
le ou les extremums locaux.

S'il y en a il restera à voir s'ils sont globaux et il faudra comparer avec m.

A priori il n' aucune raison qu'un extremum local soit plus petit, plus grand ou égal à m.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Oui, sur on peut chercher les points critiques et sauf erreur d'énoncé on doit pouvoir répondre à la question.

Je ne vois pas de contradiction dans les questions. En effet c'est une question de logique:

F est partionné en deux parties sont intérieur et sa frontière.

La frontière est un fermé dont on doit pouvoir trouver facilement le max, appelons le m.

On sait que le sup (sur F) est un max noté M mais on ne sait pas s'il est atteint à l'intérieur ou pas.

S'il est atteint à l'intérieur de F on a un maximum global qui nécessairement est un maximum local. La deuxième question demande donc à chercher
le ou les extremums locaux.

S'il y en a il restera à voir s'ils sont globaux et il faudra comparer avec m.

A priori il n' aucune raison qu'un extremum local soit plus petit, plus grand ou égal à m.

Merci c'est beaucoup plus clair Je vais calculer les points critiques et je mettrai ce que j'obtiens.

Pour la question 3 avec vous une indication ? Comment calculer la frontière de [0,1]x[0,1] j'ai du mal avec cette notion en pratique ?

[mehdi_128]

ou bien tu considères que la topologie de R^2 est la topologie produit et alors F est fermé par définition, ou bien tu considères que la topologie de R^2 découle de la distance usuelle (euclidienne) et alors il est facile de montrer que le complémentaire de F est ouvert.

D'accord c'est un peu vague pour moi (la topologie je suis perdu) mais l'objet de cet exo n'est pas de démontrer ce résultat donc je l'admet.

La topologie produit c'est quoi ? Je sais que l'intersection de 2 fermés est un fermé.

[JB2017]

La topologie produit c'est le produit des topologies sur chaque ensemble.

[Tryss2]

Heu, produit dans quel sens? Ça n'est clairement pas le produit cartésien des deux topologies.

Il n'existe pas deux ouverts A et B de [0,1], tels que la boule ouverte (pour la norme 2) de centre 1/2 et de rayon 1/2 soit le produit cartésien de A et B

[mehdi_128]

La topologie produit c'est le produit des topologies sur chaque ensemble.

D'accord ça marche donc j'ai fait le calcul des dérivées partielles et j'obtiens :





f admet un extremum local en (x0,y0) donc (x0,y0) est un point critique de f. If faut donc résoudre :



Donc : et



Soit :

Et là je bloque...

[Dizord]

Comment ça tu bloques ?
... Donc ??

[mehdi_128]

Comment ça tu bloques ?
... Donc ??

Ah bah oui on est sur ]0,1[ x ]0,1[

DOnc : et



3/ Avez vous une idée pour la question 3 ?

[JB2017]

Bonsoir
@Tryss22 la base topologique du produit c'est aussi le produit des bases topologiques.