Bonjour, cliquez-ici pour vous inscrire et participer au forum.
  • Login:



+ Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Fonction à 2 varaibles

  1. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    1 015

    Fonction à 2 varaibles

    Bonjour,

    Soit f : R^2 -> R définie par :

    1/ On pose F=[0,1]x[0,1] justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint sa borne supérieure. On pose

    Pour la 1/ f est continue sur R comme quotient de fonctions polynomiales qui ne s'annulent pas sur R.

    Pour justifier que F est un fermé , comment on fait ? Car je sais que [0,1] est un fermé mais F=[0,1]x[0,1] ?

    Après je peux utiliser le théorème : f est continue sur un fermé borné de R^2 alors f admet un maximum sur ce fermé borné et elle y atteint ses bornes.

    2/ Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert alors nécessairement

    La borne supérieur est atteinte donc c'est bien un extremum local... Si oui comme f est de classe C1 sur F elle est donc de classe C1 sur l'ouvert Omega donc je peux utiliser le théorème du point critique...


    3/ Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer à

    Là je suis complètement perdu déjà je comprends pas pourquoi on obtiendrait pas le même M que dans la 2.
    Comment trouver la frontière de F=[0,1]x[0,1] ?

    Merci

    -----

    Dernière modification par mehdi_128 ; 14/07/2017 à 10h23.
     


    • Publicité



  2. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    132

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Bonjour
    Tu as simplement le produit cartésien de 2 fermés c'est donc un fermé.
    Pour t'en convaincre tu prend (x,y) dans F . x est limite d'une suite x_n dans [0,1] et y est limite d'une suite y_n dans [0,1] (car [0,1] est fermé)
    Donc (x,y) est limite de (x_n,y_n) ds F....
     

  3. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 474

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message

    Pour justifier que F est un fermé , comment on fait ? Car je sais que [0,1] est un fermé mais F=[0,1]x[0,1]
    ou bien tu considères que la topologie de R^2 est la topologie produit et alors F est fermé par définition, ou bien tu considères que la topologie de R^2 découle de la distance usuelle (euclidienne) et alors il est facile de montrer que le complémentaire de F est ouvert.
     

  4. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    132

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Oui, sur on peut chercher les points critiques et sauf erreur d'énoncé on doit pouvoir répondre à la question.

    Je ne vois pas de contradiction dans les questions. En effet c'est une question de logique:

    F est partionné en deux parties sont intérieur et sa frontière.

    La frontière est un fermé dont on doit pouvoir trouver facilement le max, appelons le m.

    On sait que le sup (sur F) est un max noté M mais on ne sait pas s'il est atteint à l'intérieur ou pas.

    S'il est atteint à l'intérieur de F on a un maximum global qui nécessairement est un maximum local. La deuxième question demande donc à chercher
    le ou les extremums locaux.

    S'il y en a il restera à voir s'ils sont globaux et il faudra comparer avec m.

    A priori il n' aucune raison qu'un extremum local soit plus petit, plus grand ou égal à m.
     

  5. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    1 015

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Citation Envoyé par JB2017 Voir le message
    Oui, sur on peut chercher les points critiques et sauf erreur d'énoncé on doit pouvoir répondre à la question.

    Je ne vois pas de contradiction dans les questions. En effet c'est une question de logique:

    F est partionné en deux parties sont intérieur et sa frontière.

    La frontière est un fermé dont on doit pouvoir trouver facilement le max, appelons le m.

    On sait que le sup (sur F) est un max noté M mais on ne sait pas s'il est atteint à l'intérieur ou pas.

    S'il est atteint à l'intérieur de F on a un maximum global qui nécessairement est un maximum local. La deuxième question demande donc à chercher
    le ou les extremums locaux.

    S'il y en a il restera à voir s'ils sont globaux et il faudra comparer avec m.

    A priori il n' aucune raison qu'un extremum local soit plus petit, plus grand ou égal à m.
    Merci c'est beaucoup plus clair Je vais calculer les points critiques et je mettrai ce que j'obtiens.

    Pour la question 3 avec vous une indication ? Comment calculer la frontière de [0,1]x[0,1] j'ai du mal avec cette notion en pratique ?
     


    • Publicité



  6. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    1 015

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    ou bien tu considères que la topologie de R^2 est la topologie produit et alors F est fermé par définition, ou bien tu considères que la topologie de R^2 découle de la distance usuelle (euclidienne) et alors il est facile de montrer que le complémentaire de F est ouvert.
    D'accord c'est un peu vague pour moi (la topologie je suis perdu) mais l'objet de cet exo n'est pas de démontrer ce résultat donc je l'admet.

    La topologie produit c'est quoi ? Je sais que l'intersection de 2 fermés est un fermé.
     

  7. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    132

    Re : Fonction à 2 varaibles

    La topologie produit c'est le produit des topologies sur chaque ensemble.
     

  8. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 323

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Heu, produit dans quel sens? Ça n'est clairement pas le produit cartésien des deux topologies.

    Il n'existe pas deux ouverts A et B de [0,1], tels que la boule ouverte (pour la norme 2) de centre 1/2 et de rayon 1/2 soit le produit cartésien de A et B
    Dernière modification par Tryss2 ; 14/07/2017 à 20h37.
     

  9. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    1 015

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Citation Envoyé par JB2017 Voir le message
    La topologie produit c'est le produit des topologies sur chaque ensemble.
    D'accord ça marche donc j'ai fait le calcul des dérivées partielles et j'obtiens :





    f admet un extremum local en (x0,y0) donc (x0,y0) est un point critique de f. If faut donc résoudre :



    Donc : et



    Soit :

    Et là je bloque...
     

  10. Dizord

    Date d'inscription
    décembre 2014
    Messages
    117

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Comment ça tu bloques ?
    ... Donc ??
     

  11. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    1 015

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Citation Envoyé par Dizord Voir le message
    Comment ça tu bloques ?
    ... Donc ??
    Ah bah oui on est sur ]0,1[ x ]0,1[

    DOnc : et



    3/ Avez vous une idée pour la question 3 ?
     

  12. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    132

    Re : Fonction à 2 varaibles

    Bonsoir
    @Tryss22 la base topologique du produit c'est aussi le produit des bases topologiques.
     


    • Publicité







Sur le même thème :





 

Discussions similaires

  1. Varaibles aléatoire
    Par cintiou dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 27/09/2015, 18h49
  2. Egalité de somme de varaibles aléatoire
    Par yhxappre dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 06/05/2015, 13h52
  3. Maple, fonction Odeplot comment obtenir une couleur en fonction du temps ?
    Par wdrag dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 28/11/2010, 22h05
  4. Comment insérer une fonction Matlab dans les paramètres d'entrée d'une autre fonction ??
    Par °Oo>>PCSI2<<oO° dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 04/01/2010, 08h16
  5. fonction interessant à trois varaibles
    Par lecurieuxde67 dans le forum Science ludique : la science en s'amusant
    Réponses: 1
    Dernier message: 28/05/2008, 00h05