Détermination fonction "multiforme", coupures

[jossrandal2002]

Bonjour,

Voici un autre problème que je ne sais pas résoudre de manière satisfaisante (et donc la solution me permettrai peutêtre de résoudre ma question précédente) :

Montrer que dans le plan complexe coupé par les segment AB (-1,+1) et CD (-i, +i), on peut définir une détermination holomorphe de .

Généralisation à (où n est un entier naturel supérieur à 2) dans le plan complexe coupé par les segments qui relent 0 aux racines de

Je sais faire pour n=2 en choisissant la détermination de la racine carrée sur C coupé par .
Par contre, je n'y arrive pas pour n=3 ni n=4 (ni bien sûr pour les autres n). Je choisis la détermination de la racine n-ème définie sur C coupé par , mais je ne trouve pas la fonction continue sur les demi-droites qui joignent les racines de à l'infini.
Un des problèmes est qu'il est faux que .

Qui peut me donner une solution détaillée pour n=3 ou pour n=4.

Merci d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,

Il faut que les parcours en boucle autorisés par les coupures ne changent pas la détermination.

Quand les coupures interdisent de tourner autour des points critiques, pas de problème (par exemple si elles partaient du points critiques pour aller vers l'infini).

Ici, les coupures n'interdisent pas de tourner autour, et on risquerait de changer de détermination dans un tel parcours, mais ce qui nous sauve, c'est qu'elles nous obligent à contourner les n points critiques autant de fois et dans le même sens.

On peut vérifier, en choisissant un parcours circulaire avec |z| très supérieur à 1 que l'argument de 1-z^n va alors augmenter de 2npi , et quand on prend la racine nième, on se retrouve avec 2 pi. On n'a pas changé de détermination.
Cela ne marche que parce que la puissance sous la racine compense la racine nième.

Désolé, mes phrases ne sont pas très mathématiques, mais vous avez peut-être vu des théorèmes qui vous permettront de formaliser cela proprement.

[jossrandal2002]

Bonjour,

Merci, c'est bien ça le fond du problème, mais je n'arrive pas à trouver une détermination effective de cette détermination. Par exemple si avec , que vaut alors la fonction si n'est pas sur l'hélice interdite. Ceci permettrait de vérifier "à la main" qu'il y a bien continuité sur les rayons qui vont de 0 à l'infini en passant par les racines (sauf bien sûr sur les points des segments de 0 aux racines .

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
C'est pour cela que je suggérais de prendre un cercle avec rho| très grand devant 1, pour que 1-z^n se comporte comme (-1)*z^n

Et vous avez peut être vu en cours que racine(z²) est bien une fonction holomorphe (on peut l'identifier à z, donc idem ppour racinenième(z^n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Bonjour
Sur le même sujet tu avais posé un problème sur le calcul d'une intégrale. J'ai avancé sur le calcul (en commençant par un changement de variable) pour avoir un contour plus simple. donc là j'ai le résultat.
Tandis que si je ne fais pas le changement de variable je n'y arrive pas vraiment (contour avec trois "branches") sans arriver au bout surement à cause d'erreurs de calculs.
N'ayant pas de réaction de ta part je n'ai pas mis les détails car c'est un peu long.
Aurait-tu obtenu la solution du calcul? (bien entendu sans faire le changement de variable ni même sans calculer l'intégrale autrement 'car on peut faire le calcul avec la fonction \Gamma).
Le but étant bien sûr d'utiliser la méthode des résidus.

[jossrandal2002]

Bonjour,

Merci pour l'intérêt porté à mon problème. Malheureusement, je ne comprends pas tout (euphémisme pour dire que je n'y comprends rien !).

Je vais prendre .
Soit un réel strictement supérieur à 1.
Soit un complexe qui va tendre vers .
Je choisis la détermination de la racine quatrième sur définie pour avec par .
J'appelle le quadrant et , le quadrant et , etc.
Si est dans , est dans , est dans et est dans car . Il en résulte que tend vers .
Si est dans , est dans , est dans et est dans car . Il en résulte que tend vers .
La fonction n'est donc pas continue en , donc encore moins holomorphe.

Où est (sont) l'(les) erreur(s) dans ce qui précède ?

Merci d'avance.
Cordialement.

[jossrandal2002]

Peux-tu me donner les détails, car je "patauge" !
J'ai expliqué ce qui me chagrine avant d'avoir vu ta dernière réponse.
Oui, bien sur ce deuxième sujet (sur les coupures) est pour essayer d'appliquer la méthode des résidus, mais j'essaie d'avancer pas pas.

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
Il ne s'agit pas de reinventer la roue!
Il y a un certain nombre de résultats qu'il faut connaître et appliquer : d'abord, pour une fonction multiforme, un lacet ne peut changer de détermination la fonction que s'il entoure un point critique. Ici les points critiques sont les racines nièmes de 1. (A noter au passage que zero n'est PAS ici un point critique...)
Topologiquement, tout lacet qui ne fait pas de tour autour de ces points critiques ne peut pas changer la détermination.
Dans l'exemple, les coupures effectuées entre 0 et chaque point critique empêchent de tourner autour d'un seul de ces points, mais elles n'empêchent pas de tourner globalement autour de l'ensemble des points. C'est ce cas qu'il faut examiner de plus près.
Topologiquement, là encore, inutile de s'intéresser à tous les lacets possibles tournant autour de ces points. Il suffit d'en prendre un facile à calculer, pour voir ce qui se passe. Si on montre qu'un tel lacet ne change pas la détermination, on saura que ce sera vrai pour tous les lacets possibles.
On peut choisir un lacet de la forme z= rho exp(itheta), mais avec rho très grand devant 1, et on fait varier theta entre 0 et 2pi.
On peut vérifier facilement que l'argument 1-z^n ne diffère de l'argument de -1*z^n que d'une valeur qu'il est facile de borner et qui ne pourra jamais valoir 2pi.
On peut conclure que l'argument de racinen(1-z^n) quand on fait varier theta va rester proche celui de racinen((-1)*z^n). Cette dernière fonction étant holomorphe, car identifiable à racinen(-1)*z, il en sera de même pour la fonction cherchée...

[JB2017]

Rebonjour
Je viens de mettre les détails (du poins les grandes lignes) de ce que j'ai fait et pas fait sur le sujet en question, ceci pour ne pas interférer avec la question ici.

[JB2017]

Bonjour
La réponse pour n=3, je m'en suis servi pour répondre à ton calcul d'intégrale dont tu trouveras
la réponse à cette adresse
https://www.maths-forum.com/enigmes/...e-t186975.html

La généralisation à n=4 et n quelconque ne pose pas de problème.

j'ai oublié la réponse est aussi sur ce forum à l'endroit où tu as posé la question.

[jossrandal2002]

Merci beaucoup JB2017.

Cordialement.