espace complet, intégrale L1

[sleinininono]

Bonjour,

je voulais savoir pourquoi l'espace des intégrales d'une fonction n'est pas complet?
Je parle de celui-ci :
\int _a^b \abs(f(x)) dx

il s'agit pourtant bien de L1 non? et les espaces de Lebesgue sont tous complets ?

merci de vos indications

sleinininono
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[gg0]

Bonjour.

Tu veux parler de L1, l'ensemble des classes de fonctions intégrables sur [a,b], au sens de Lebesgue. Évidemment, a et b sont fixés. Avant de parler de "complet", encore faut-il que tu dises pour quelle distance. Si c'est pour la norme 1, il est classiquement complet. Si c'est une autre distance, il n'y a pas de raison qu'il y ait complétude. De même si on ne considère que l'ensemble des fonctions, car alors il n'y a pas de norme L1 (une fonction d'intégrale nulle n'est pas nécessairement nulle).

Cordialement

[sleinininono]

puis je demander pourquoi parle t -on de classes?

Oui je crois que c'est norme 1 (au sens valeur absolue classique). En quoi est-il complet ? Je vois des contre exemples et certains disent le contraire :
http://www.bibmath.net/dico/index.ph...c/complet.html
sinon j'ai le contre exemple sur 0,1 :
f_n(x) = 0 si x < 1/2 - 1/(5n)
un segment entre les deux
f_n(x) = 1 si x > 1/2 +1/(5n)

je vois bien que ce contre exemple ne marche pas mais je comprends pas pourquoi on dit qu'il est complet alors...



enfin j'ai pas compris la dernière phrase. Pourriez vous répéter svp ?


Par ailleurs j'avais vu ici : http://www.cmls.polytechnique.fr/per...cours311-4.pdf que ce n'est pas une norme comme vous dites ... vous avez un exemple? je pensais utiliser des fonctions orthogonales (polynome de legendre) mais la valeur absolue empeche de faire ça... Mais néanmoins avant on parlait bien d'une norme non? quelle est la différence?

merci encore

[minushabens]

puis je demander pourquoi parle t -on de classes?

entre autres parce qu'une distance d doit vérifier d(x,y)=0 => x=y et que si d est une intégrale on a seulement x=y presque partout.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sleinininono]

comment ça "et que si d est une intégrale on a seulement x=y presque partout. "?

[minushabens]

si l'intégrale de la valeur absolue de f est nulle tu sais que f est nulle sur le complément d'un ensemble de mesure nulle, ensemble sur lequel elle peut prendre n'importe quelles valeurs.

[gg0]

je parlais de classes, parce que celui qui est complet c'est , espace de classes de fonctions intégrables, pas , espace des fonctions intégrables. Sur le premier, il y a une norme 1, et une distance associée, pas sur le deuxième.
est l'ensemble des classes d'éléments de pour la relation
où est la mesure de Lebesgue. Autrement dit, deux fonctions sont dans la même classe si elles sont égales presque partout (de ce fait, elles ont la même intégrale). Les fonctions d'intégrale nulle sont dans la classe de la fonction nulle.

Tu sembles étudier les maths par petits bouts, pas dans une formation progressive, construite. Est-ce bien ça ?

Cordialement.

[sleinininono]

je t'avoue ne pas avoir du tout acquis les notions dont tu parles... je suis désolé. Je ne sais ni ce qu'est un complément, la mesure je vois de loin...

si si je suis des cours de mathématiques mais j'apprécie m'avancer et toucher à des notions futures. Là en ce moment je vois les équas diff et je voulais montrer que ce que tu sembles appeler :
\mathscr{L} est un espace de banach.
J'avais entendu que celui-ci l'est. Mais je dois confondre avec l'autre espace, L_1.

Néanmoins je ne vois pas la différence entre ces espaces... je n'ai pas vu les intégrales de Lebesgues... c'est peut être pour ça que je ne comprends pas?

[gg0]

Complément = complémentaire

[minushabens]

ah oui c'est bien complémentaire, je me suis trompé.

[sleinininono]

je pensais d'ailleurs que L_p était l'espace des fonctions qu'on met à la puissance p, valeur absolue, intégre entre a et b fixé, puis racine p-ième ? cela est donc faux?

mais un ensemble de mesure nulle c'est un point ? donc le complémentaire ce serait tout le reste de l'espace???

[gg0]

Il ne suffit pas d'avoir des idées vagues, il faut apprendre les sens des mots et notations : espaces Lp, ensemble de mesure nulle (négligeables - voir ensemble négligeables pour la mesure de Lebesgue), etc.

C'est pour cela qu'il faut construire progressivement une culture mathématique, et non pas butiner des bouts de maths, on finit par ne plus rien comprendre. On ne peut pas traiter sérieusement des Lp si on ne connaît pas l'intégrale de Lebesgue, et si on ne voit pas sérieusement leur définition.

A ta décharge, on parle de "fonctions Lp", mais Lp n'est pas l'ensemble de ces fonctions.

Cordialement.

[sleinininono]

au final la seule chose que je retiens c'est que je ne sais rien ... est ce que vous pouvez m'expliquer un petit peu svp ? Je lis les articles proposés mais il y a certains passages qui correspondent exactement à ce que je dis. Je dis pas que vous avez tort, simplement que si je regarde la définition de L_1, l'espace des classes des fcts inté... , elle correspond exactement à celle que vous nommiez \mathcard L_1, l'espace des fonctions intégrables...


par ailleurs, on m'avait dit qu'il était intéressant de définir la norme d'une fonction comme la valeur absolue à l'intérieur de l'intégrale car cela définit une norme, mais apparemment même pas? Auriez vous un contre exemple? comme dit plus haut j'en trouve malheureusement pas...

Mais alors à quoi ça sert de dire que les fonctions intégrables sont celles dont la valeur absolue intégrée converge ? pourquoi on dit que sin(t)/t converge mais n'est pas intégrable?
surtout que dans mon cours j'ai pas l'impression qu'on nuance les termes absolument intégrable et intégrable alors que cela devraient représenter deux notions différentes n'est ce pas?

j'espère que j'ai réussi à mieux cerner mes questions

merci !
sleinininono

[gg0]

Tu sembles surtout confondre des choses différentes : le fait pour une fonction d'être L1, c'est à dire absolument intégrable sur R ou sur un intervalle donné [a,b] et l'ensemble L1, plus exactement l'espace de Banach L1. Le fait pour une fonction d'être intégrable est quand même assez important, non ? Ça n'a rien à voir avec l'appartenance ou non à un certain espace de Banach. Même si, pour des raisons de simplicité, on a utilisé les mêmes signe L1 dans les deux cas.

Pour la norme, Minushabens a déjà répondu, mais je détaille parce que tu sembles être à un tout petit niveau :
Pour toute fonction L1 sur [a,b] (a<b), on définit

N est-il une norme sur l'ensemble des fonctions absolument intégrables sur [a,b] (*)?
Soient f1 la fonction nulle sur ]a,b[ et qui vaut 1 en a et en b. N(f)=0, mais f n'est pas la fonction nulle de (le 0 de l'espace vectoriel). Donc N n'est pas une norme sur .

Autre chose : "Je lis les articles proposés mais il y a certains passages qui correspondent exactement à ce que je dis." Ah bon ? pourquoi dis-tu ensuite le contraire, puisque tu parles bien de classes à propos de ? Ce qui n'était pas le cas dans tes messages.

Cordialement.

NB : Tu pourrais faire l'effort de mettre en LaTeX les formules, pour être lisible. Recopier "\mathcard L_1" sans le mettre en LaTeX () est de la flemme ! En mode "répondre", ou en mode "avancé", tu as la balise TeX à ta disposition.
(*) (,+,.) est bien un espace vectoriel, je te laisse le soin de vérifier.

[gg0]

Je continue :
"on m'avait dit qu'il était intéressant de définir la norme d'une fonction comme la valeur absolue à l'intérieur de l'intégrale car cela définit une norme," ?? Qui t'a dit ça ? pas ton prof, j'espère

"Mais alors à quoi ça sert de dire que les fonctions intégrables sont celles dont la valeur absolue intégrée converge ?"
Parce que ça sert effectivement, qu'avec l'intégrale de Lebesgue, il y a alors correspondance de la notion d'intégrabilité, et qu'on aura des problèmes avec les intégrales semi-convergentes.
"...pourquoi on dit que sin(t)/t converge mais n'est pas intégrable? " parce qu'on ne dit pas ça. On dit que sin(t)/t n'est pas intégrable, et on dit que
converge (c'est une limite, on dit qu'elle est finie).
On ne parle pas de la même chose, tu ferais bien de t'en aviser.
"surtout que dans mon cours j'ai pas l'impression qu'on nuance les termes absolument intégrable et intégrable " bien sûr, puisque c'est la même notion (voir la définition de "f est intégrable sur R")

Cordialement.

NB : Je ne suis pas responsable des programmes que tu suis, vois avec ton prof pour ce qui te semble incohérent.

[sleinininono]

merci pour la réponse très précise.

Les balises tex fonctionnent comme des "$" ? je ne savais pas comment les utiliser...

D'accord je comprends mieux.

"Qui t'a dit ça ? pas ton prof, j'espère "

Pourquoi ? c'est pas faux vu votre justification par la suite ? c'est un doctorant qui m'a expliqué cela.
Je ne comprends pas encore l'utilité des différentes normes... pourquoi une valeur absolue dans l'espace des fonctions correspond à la valeur absolue de la fonction intégrée notamment

Et alors pourquoi ne distingue t-on pas intégrable et absolument intégrable ? autrement dit, pourquoi est-ce important que l'un et l'autre soit la même chose? i.e. c'est quoi le problème des intégrales semi-convergentes?

"tu ferais bien de t'en aviser"

je comprends bien que ce n'est pas la même chose je ne vois juste pas pourquoi ne pas distinguer ces notions.


merci

sleinininono

[gg0]

Sleinininono :

Pourquoi ? c'est pas faux vu votre justification par la suite ? c'est un doctorant qui m'a expliqué cela.

Ben oui, c'est faux. Donc celui qui t'a dit ça, doctorant ou pas, a raconté des bêtises; ou tu l'as mal compris.

pourquoi une valeur absolue dans l'espace des fonctions ...

Il ne s'agit pas de valeur absolue, mais d'une idée plus générale, qui est plutôt celle de "longueur d'un vecteur". Et surtout, à priori, il existe de très nombreuses normes, plus ou moins utiles suivant les circonstances.

... correspond à la valeur absolue de la fonction intégrée notamment

Heu ... non, je ne crois pas. Par contre, l'intégrale de la valeur absolue donne une norme. Ça se prouve. Et une norme utile dans certaines circonstances.

Et alors pourquoi ne distingue t-on pas intégrable et absolument intégrable ?

Parce que la bonne définition de "intégrable" est : f⁺=max(f,0) et f^-=max(-f,0) sont des fonctions intégrables. Et comme |f|=f⁺+f^-, f est alors absolument intégrable.
Comme je ne sais pas à quel niveau d'études tu es, je te laisse voir avec ton prof le pourquoi du comment à ton niveau. Repose-lui la question (il est payé pour répondre à ce genre de question). Mais il existe des fonctions qui n'ont pas d'intégrale de Riemann sur [0,1] mais dont l'intégrale de la valeur absolue existe (f(x)=-1 si x est rationnel, f(x)=1 si x est irrationnel); c'est ce qui a justifié l'invention de l'intégrale de Lebesgue. Il me semble que pour l'intégrale de Kurzweil-Henstock, ce n'est pas le cas.

je comprends bien que ce n'est pas la même chose je ne vois juste pas pourquoi ne pas distinguer ces notions.

Encore une fois tu n'as pas lu ce que j'ai écrit !! Je te dis que deux choses sont différentes et tu demandes " pourquoi ne pas distinguer ces notions." Comprends-tu le français ?

Bon, j'ai l'impression que tu fais des incursions sur des notions que tu n'as pas vues en cours sans vraiment apprendre ton cours (l'apprendre à fond, donc le connaître et le comprendre). Autrement dit tu te disperses. Et si en plus tu lis de travers ...

Cordialement.

[minushabens]

@sleinininono: pour une exposition rigoureuse mais limitée à ce qui est utile en Analyse de la théorie de l'intégrale de Lebesgue, je te conseille de lire les premiers chapitres du livre de Walter Rudin : Analyse réelle et complexe.