Salut, j'espère que vous allez bien
Vous pouvez faire une rédaction pour cet exercice
On considère l'équation différentielle suivante :
x^2.y'+y=x.
1) déterminer une solution formelle au voisinage de zéro de la forme : f^(x)=x^landa.somme de n>0(a_n×x^n) ; ou landa un réel,a_n un réel , que l'on détermine.
2)montrer que f^(x) est de type Gevrey.
3) calculer la transformée de Borel de f^(x).
Lire EXERCICES ET FORUM.
Voir aussi https://les-mathematiques.net/vanill.../equation-diff.
Dernière modification par gg0 ; 15/11/2023 à 07h36.
Une idée pour démarrer
Elle est dite dans l'énoncé.
Il vaut mieux Laisser les autres participer si tu peux pas
https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html
La moindre des choses est d'utiliser l'indication de l'énoncé, et de voir ce qui se passe dans x².y' + y = x quand on utilise la fonction explicitement suggérée... L'as tu fait ?
A toi de montrer ce que tu obtiens et ce que tu en déduis.
Dernière modification par jacknicklaus ; 15/11/2023 à 22h02.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
J'oi éssayé de dériver la fonction explicitement suggérée elle me donne
Landa.x^{landa+1}.somme de n>=0(a_n.x^n)-x^{landa+1}.somme de n>=1(a_n.x^n)+x^landa.somme de n>=0(a_n.x^n) j'arrive pas à monter qu'elle est égal x.
Un peu de sérieux, s'il te plaît :
"Landa.x^{landa+1}.somme de n>=0(a_n.x^n)-x^{landa+1}.somme de n>=1(a_n.x^n)+x^landa.somme de n>=0(a_n.x^n)" Ceci n'est pas la dérivée de f^(x), ni le remplacement de y dans le premier membre de l'équation différentielle. Tu devrais revoir les formules de dérivation. D'ailleurs, écrit ainsi, c'est quasi illisible. Utilise le LaTeX, ou scanne ou photographie un texte écrit très proprement à la main. Avec le calcul de la dérivée de f^(x), puis ce que ça donne.
"je n'arrive pas à montrer qu'elle est égale à x" : C'est normal, à priori, ça n'a aucune raison de donner x. Mais tu dois écrire que f^(x) est une solution de l'équation différentielle, donc écrire que c'est égal à x, et en déduire les valeurs des coefficients an.
A toi de travailler ...
NB : C'est surprenant de te voir t'attaquer à des exercices de ce genre sans les connaissances du lycée (dérivation) ni de L1 (équa diff). Ça arrive souvent parce que l'étudiant n'a jamais vraiment fait seul ses exercices, a beaucoup copié, mais peu appris. Faute de travail de réflexion personnel. Ce n'est pas en regardant les autres faire qu'on apprend en profondeur.
Dernière modification par gg0 ; 16/11/2023 à 08h12.
IMG_20231116_143848.jpg
C'est vrai maintenant
OK.
Le passage de n>=0 à n>=1 dans le calcul ne sert à rien d'autant qu'on peut tout transformer en une seule somme, pour n variant de 0 à +oo.
L'idée, ultra-classique est d'avoir au premier membre une certaine somme et, comme au second membre il y a x, c'est à dire la somme de termes bnxn avec les bn nuls sauf b1, d'identifier.
À toi de faire ...
Attention à ne pas confondre :
Landa
et lambda.
Par ailleurs, la notation f^(x) n'est pas définie.
Autant de red flags...
Not only is it not right, it's not even wrong!
Comme ça CamScanner 16-11-2023 19.21.pdf
On peut faire mieux, en faire une seule somme; puis utiliser l'équation différentielle. Sais-tu ce qu'est une équation différentielle ? Et une solution d'une équation différentielle ?
Oui
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées
Mais le problème c'est au niveau de x à la puissance landa comment faire pour se débarrasser pour faire l'identification que tu as dit les bn s'annulent sauf b1=1
conseils :
inutile de compliquer. Pour dériver facilementil suffit de ré-écrire sous la forme
d'autre part, il faut regrouper par puissance de x. Si tu ne vois pas le truc, développe par exemple avec
dernière chose, quand on manipule des sommes et qu'on fait des regroupements en changeant des index, toujours bien faire attention aux premiers termes. Ne pas hésiter à les mettre à part quitte à regrouper plus tard pour faire joli.
et par pitié, n'écris plus "landa". c'est
Dernière modification par jacknicklaus ; 16/11/2023 à 22h03.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
On ne "s'en débarrasse" pas. On écrit les conditions pour que le terme de plus bas degré soit x.
Ça marche comme çaCamScanner 16-11-2023 22.57.pdf
Non ! Ça ne marche pas comme ça.
Car encore une fois, tu refuses d'écrire que f^ est une solution de l'équation différentielle. Tu n'écris jamais l'égalité. tu ne poses pas le problème à traiter.
Et tu ne tiens aucun compte des conseils, tu te refuses à écrire le premier membre comme une seule somme ce qui t'interdit de faire l'identification.
Au travail, sérieusement !
Un rappel :
voir maintenant
Dernière modification par Achraf ; 17/11/2023 à 10h29.
non.
Autre rappel dont tu auras besoin. Pour regrouper les termes par même puissance, tu vas donc avoir des sommes telles que
de sorte que
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Maintenant
OK jusqu'à "par identification".
A priori, \lambda n'est pas un entier, et n'a rien à voir avec les indices. C'est n qui donne les indices. Donc la première chose à faire est de trouver la valeur de
et ceci
C'est assez mal rédigé.
Les termes de plus bas degré par rapport à x sont
On a alors
Je te laisse continuer.
(*) j'avais parlé de deux cas car j'avais repris ton énoncé initial, mais après réflexion, il est manifestement faux.
(**) Tu as écrit
On y est presque.
La clé est d'établir proprement (je te laisse le faire) :
ce qui amène lambda = 1, a0 = 1 (le prouver, on peut raisonnablement imposer a0 différent de 0 )
ce qui donne
à toi de terminer !
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Excusez moi mais j'ai pas compris : On peut supposer (*) non nul (sinon on aurait factorisé par x dans la somme, ce qui change \lambda, mais pas la méthode) (**)
Et qu'est ce que je dois continuer on a déterminé \lambda et \a_{n} c'est quoi le reste
NB : le n dans l'énoncé >=0
ah bon ?Envoyé par Achraf
où çà ?
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
par identification n'est ce pas
En fait, on obtient le même résultat. Dans le deuxième cas, on peut factoriser x dans la série. c'était assez évident que les deux cas aboutissent au même résultat, si a0=0, la série se réécrit avec un x devant.
Mais comme tu as donné un énoncé avec la somme pour n>0 au départ, puis utilisé un a0 qui ne respecte pas n>0, difficile de savoir ...
Peux-tu donner l'énoncé exact (un scan ou une photo) ?
