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Conduction chaleur dans un cylindre

  1. franzis

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Messages
    29

    Question Conduction chaleur dans un cylindre

    Bonjour,
    j'ai vu que pas mal de postes en parlent déjà mais je n'ai pas encore trouvé de réponses à mon problème.
    Voilà j'aimerai modéliser la chauffe de matériau cylindrique (de hauteur H) par conduction de chaleur par un four, le but étant de déterminer l'évolution de la température en fonction du temps et de l'espace.

    Je connais la chaleur fournie (Q en W), le Cp (capacité calorifique moyenne en J.kg-1.K-1), Rho (masse volumique moyenne en kg.m-3) et lamda (conductivité thermique moyenne en W.m-1.K-1) du matériau.

    Le flux de chaleur traversant une paroi étant donné par:
    Q=-lamda * 2Pi() * R*H* dT/dr

    Le probème c'est qu'on ne peut pas intégrer cette équation entre le rayon et le centre!
    Et je n'arrive pas non plus à utiliser la loi de fourier; car mon système diverge et je ne sais pas pourquoi.

    Je suis un peu perdu.
    Est-ce que vous auriez des idées?

    Merci d'avance.

    -----

     


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  2. Arkantis

    Date d'inscription
    juin 2006
    Âge
    31
    Messages
    104

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    C'est un exercice ou un problème que tu te poses tout seul ?
    Spontanément j'essaierai d'appliquer le premier principe en entier dans un premier temps...
    La simplicité est la sophistiquation suprême.
     

  3. pephy

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    Aquitaine
    Âge
    71
    Messages
    2 525

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par franzis Voir le message
    Le flux de chaleur traversant une paroi étant donné par:
    Q=-lambda * 2Pi() * R*H* dT/dr

    Le probème c'est qu'on ne peut pas intégrer cette équation entre le rayon et le centre!
    bonjour

    à intégrer pour T variant de T1 à T2 et r variant de 0 à R
    Se déduit de la loi de Fourier:

    non?
     

  4. franzis

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Messages
    29

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Oui je suis d'accord mais qu'on intègre, on tombe sur Ln(r/R1), r variant entre R1=0 et R...
    donc là je suis coincé. je peux toujours m'approcher vers 0.001 mais bon...
     

  5. cerfa

    Date d'inscription
    mars 2007
    Messages
    378

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par pephy Voir le message
    bonjour

    à intégrer pour T variant de T1 à T2 et r variant de 0 à R
    Se déduit de la loi de Fourier:

    non?
    Non

    Ce que franzis a écrit c'est le flux sur la surface latérale. C'est à dire que l'on ne connaît la dérivée de T par rapport à r que pour une valeur r=R.

    Pour le reste du cylindre il faut faire des hypothèses. Si le cylindre est assez long tu peux supposer que T est une fonction uniquement de r.

    Soit tu utilises ensuite le Laplacien en coordonnées cylindriques, soit tu fais un bilan entre deux cylindres de rayons r et r+dr (attention à la surface du deuxième).

    Dans tous les cas tu arrives à une équation différentielle en T(r) (normalement du second ordre).

    Il ne restera plus qu'à l'intégrer en tentant compte de la condition en r=R déjà évoquée.
     


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  6. pephy

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    Aquitaine
    Âge
    71
    Messages
    2 525

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    oui en effet.
    Je ne pense pas qu'il y ait une autre solution que de prendre R1 non nul
     

  7. pephy

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    Aquitaine
    Âge
    71
    Messages
    2 525

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par cerfa Voir le message
    Non

    Ce que franzis a écrit c'est le flux sur la surface latérale. C'est à dire que l'on ne connaît la dérivée de T par rapport à r que pour une valeur r=R.
    oui mais moi j'ai mis r
    et je suppose que le flux est constant
     

  8. pephy

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    Aquitaine
    Âge
    71
    Messages
    2 525

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    je n 'avais pas bien lu le problème initial;on n'est pas en régime stationnaire;il s'agit d'étudier l'évolution en fonction du temps.
    Dans ce cas l'équation à résoudre est (sauf erreur):

    on traite çà habituellement par des méthodes numériques
     

  9. cerfa

    Date d'inscription
    mars 2007
    Messages
    378

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par pephy Voir le message
    je n 'avais pas bien lu le problème initial;on n'est pas en régime stationnaire;il s'agit d'étudier l'évolution en fonction du temps.
    Dans ce cas l'équation à résoudre est (sauf erreur):

    on traite çà habituellement par des méthodes numériques
    Oui j'ai la même équation.

    Il y a peut-être moyen de cherche une solution sous la forme f(r)g(t), c'est également un démarche classique.
     

  10. franzis

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Messages
    29

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par pephy Voir le message
    je n 'avais pas bien lu le problème initial;on n'est pas en régime stationnaire;il s'agit d'étudier l'évolution en fonction du temps.
    Dans ce cas l'équation à résoudre est (sauf erreur):

    on traite çà habituellement par des méthodes numériques
    Oui c'est ce que j'ai fais, sauf que j'ai seulement et je l'ai simulé sous le logiciel Matlab mais c'est la que j'obtiens une matrice dont les valeurs propres sont supérieures à 1 et donc mon système diverge!
    et je ne sais pas pourquoi car à priori l'équation est juste et le programme bien écris ...
     

  11. cerfa

    Date d'inscription
    mars 2007
    Messages
    378

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par franzis Voir le message
    Oui c'est ce que j'ai fais, sauf que j'ai seulement
    Ce n'est pas la bonne équation. cf celle de pephy et la mienne.

    et je l'ai simulé sous le logiciel Matlab mais c'est la que j'obtiens une matrice dont les valeurs propres sont supérieures à 1 et donc mon système diverge!
    et je ne sais pas pourquoi car à priori l'équation est juste et le programme bien écris ...
    Pas très étonnant si tu ne fais qu'apporter le l'énergie par la surface latérale, on voit mal comment T pourrait ne pas croître infiniment...(jusu'à la fusion, cf fonctionnement d'un fusible)
     

  12. franzis

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Messages
    29

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    merci de répondre aussi rapidement.
    je ne vois pas à quoi correspond le terme supplémentaire que pephy et vous avez en plus.
    Et c'est normal que j'apporte de l'énergie par la surface latérale car je cherche à modéliser la chauffe d'un four, qui chauffe par les côtés.

    Ce que j'aimerai faire c'est connaissant la chauffe latérale et la température en périphérie c'est déterminer le gradient de T°C qui d'installe dans le four en fonction de t et r.
     

  13. cerfa

    Date d'inscription
    mars 2007
    Messages
    378

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    Citation Envoyé par franzis Voir le message
    merci de répondre aussi rapidement.
    je ne vois pas à quoi correspond le terme supplémentaire que pephy et vous avez en plus.
    Fais un bilan entre deux cylindres de rayon r et r+dr en faisant très attention à la surface du rayon externe ou utilise le laplacien en coordonnées cylindriques, cela revient au même.

    Et c'est normal que j'apporte de l'énergie par la surface latérale car je cherche à modéliser la chauffe d'un four, qui chauffe par les côtés.
    Donc c'est normal que cela diverge au cours du temps.

    Ce que j'aimerai faire c'est connaissant la chauffe latérale et la température en périphérie c'est déterminer le gradient de T°C qui d'installe dans le four en fonction de t et r.
    Si tu as la simulation numérique avec Matlab tu dois pouvoir faire tracer à chaque instante le gradient qui t'intéresse, non ? Tu auras alors seulement des graphes, pas des expressions numériques. Ou alors il me manque une info.

    As-tu tenté une recherche en variable séparable f(r)g(t) ?
     

  14. franzis

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Messages
    29

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    je crois que je commence à comprendre.. lol
    c'est en fait la traduction de l'équation de fourier en coordonnées cylindrique (laplacien en coordonnée cylindrique, c'est loin tout ça....).

    Donc je vais reprendre mon code avec le terme supplémentaire que vous m'avez indiqué.
    Merci encore pour tout.

    PS: oui j'ai des graphes et sur les graphes j'ai des oscillations (donc à cause de la divergence de mon système)
     

  15. franzis

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Messages
    29

    Re : Conduction chaleur dans un cylindre

    re bonjour à tous!
    je viens de trouver un super cours divisés en plusieurs fichiers pdf sur les problèmes de thermique dans les cours de l'école polytechnique de lausanne:

    http://mxsg3.epfl.ch/ltp/Cours/

    vraiment très bien faits, si ça peut servir..

    PS: j'y ai retrouvé le laplacien en coordonnée cylindrique! et tous les détails sur la loi de fourier et quelsques applications.
     


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