Démonstration de l'equation E=mc2

[invite4e96a20a]

bonjour a tous, je veux savoir la démonstartion de l'equation E=mc2 si il est possible merci
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[invite4e96a20a]

aide moi s'il vous plait !!!!!!!!!

[Deedee81]

aide moi s'il vous plait !!!!!!!!!

Bonjour,

Soit pas si pressé, tu as posté tes deux messages en pleine nuit (tu es peut-être canadien ?)

Démontrer ça, ça ne se fait pas en deux lignes.

Tu as toute une discussion sur E=mc² dans http://fr.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc%C2%B2

Pour la relativité restreinte (indispensable pour comprendre) il y a : http://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte et dans cet article une "démonstration" (très sommaire) pour cette relation.

Et quelque chose de beaucoup plus complet dans :
http://www.edu.upmc.fr/physique/bobi.../jlb-rel-5.pdf
Qui fait partie du cours :
http://www.edu.upmc.fr/physique/bobin_04001/
Niveau L3 quand même.

Bon courrage,

[mach3]

Pour démontrer cela il suffit d'intégrer la force (relativiste) par rapport à la distance parcourue depuis un état de repos jusqu'à un état de vitesse donnée (je l'ai retrouvée tout seul, en partant de la démo de l'énergie cinétique en classique). On obtient l'énergie cinétique sous la forme d'une énergie à la vitesse donnée moins une énergie à vitesse nulle, mc².

c'est ce qui est fait dans ce lien de deedee : http://www.edu.upmc.fr/physique/bobi.../jlb-rel-5.pdf mais je n'aime pas du tout car ils utilisent la masse relativiste. La mode est plus à considérer une masse invariante multipliée par le facteur gamma.

Tu peux aussi la trouver ici : http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...uivmassenergie
mais c'est aussi en masse relativiste vs masse au repos.

Je n'ai pas le temps tout de suite, mais j'essaierai de te poster une belle démo d'ici ce soir.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Bonjour,

mais je n'aime pas du tout car ils utilisent la masse relativiste. La mode est plus à considérer une masse invariante multipliée par le facteur gamma.

Je préfère aussi. J'ai un bouquin chez moi (Relativité Restreinte de Vladlimir Ougarov, je crois qu'il est devenu introuvable) dans lequel il y a une "démonstration" bien foutue mais hélas il utilise aussi la masse relativiste.

Mais ce n'est pas dramatique, il suffit d'ajouter le gamma

il suffit d'intégrer la force (relativiste)

Ce n'est pas si trivial, du moins si on veut être rigoureux car il faut d'abord trouver l'expression de la force relativiste. Ce n'est pas si compliqué, bien sûr, mais il ne faut pas l'oublier et le justifier. Dans le bouquin précité c'est les deux tiers de la démo ! Je suppose que la démo que tu vas poster (si tu as le temps, t'es drôlement courageux ) en tient compte.

[invite9c9b9968]

Il y a une manière de "démontrer" cette formule plus "simplement" (bon ok s'pas super rigoureux, mais très physique). Je l'ai fait dans mon TIPE, ça consiste à construire le 4-vecteur impulsion, et d'identifier la partie temporelle comme étant une énergie. Tu tombes alors sur la relation fondamentale

E²- p²c² = m²c⁴ et pour p=0, ça donne bien E=mc²

[mach3]

Ce n'est pas si trivial, du moins si on veut être rigoureux car il faut d'abord trouver l'expression de la force relativiste. Ce n'est pas si compliqué, bien sûr, mais il ne faut pas l'oublier et le justifier.

oui, c'est le point important, la force relativiste étant la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement relativiste

mais on peut s'en sortir sans écrire l'expression de la force en partant de ceci



m@ch3

[invite93279690]

On peut aussi le trouver en partant de l'action d'une particule libre en RR personnelement c'est comme ça que je retiens le mieux la démonstration (j'utilise aussi le truc de Gwyddon quand j'ai pas le temps de faire de beaux calculs ).
Pour la démo utilisant la force relativiste je n'arrive bizarrement jamais à retenir correctement l'expression du quadri-veteur force, en particulier parce qu'il faut effectivement justifier la tête qu'on donne à cette force relativiste comme l'a dit Deedee 81.

[mach3]

Donc on considère une masse m, initialement au repos qui, par l'intermédiaire d'une force atteint un état de vitesse v. On va considérer que la force s'applique colinéairement à la vitesse v.

La force F est définie par:

, avec

L'énergie acquise par la masse m de l'état initiale de repos à l'état final est égale au travail de la force:



on a , d'où:





On peut montrer que , donc :







On a donc , qui se trouve après quelques lignes de calcul être

et E(0), l'énergie au repos CQFD

Qu'en pensez vous?

m@ch3

[Deedee81]

Qu'en pensez vous?

Impec, mais :

avec

Comment justifies-tu ça "facilement" ?

Moi je dirais :
impulsion "covariante" : p = m dx/dtau
mais la vitesse c'est v = dx/dt
donc p = mv dt/dtau = mv gamma

Qu'en penses-tu ?

[invite9c9b9968]

Impec, mais :



Comment justifies-tu ça "facilement" ?

Moi je dirais :
impulsion "covariante" : p = m dx/dtau
mais la vitesse c'est v = dx/dt
donc p = mv dt/dtau = mv gamma

Qu'en penses-tu ?

J'en pense que c'est tout à fait correct

C'est comme ça que ça tombe d'ailleurs en passant par ma démo

[mach3]

Comment justifies-tu ça "facilement" ?

ben en fait je prenais ça pour un prérequis...

De ce que j'avais compris, la quantité de mouvement est construite de façon à se conserver lors de collisions élastiques. En classique c'est mv et en relativité ça devient , mv ne se conservant plus.

J'ai d'ailleurs eu beaucoup de mal à comprendre d'où venait , et en étudiant des collisions élastiques j'ai constaté que ça marchait. Est-ce que ça ça se démontre clairement? je serais intéressé.

m@ch3

[Deedee81]

J'ai d'ailleurs eu beaucoup de mal à comprendre d'où venait , et en étudiant des collisions élastiques j'ai constaté que ça marchait. Est-ce que ça ça se démontre clairement? je serais intéressé.

En dehors du raisonnement que j'ai donné (et dans le livre que je citais c'est ça en un peu plus élaboré), une démonstration rigoureuse basée sur la conservation, de but en blanc, euh... Avec l'invariance par translation spatiale peut-être ? Mais il faut forcément postuler autre chose.

Un crac sait-il nous éclairer ?

[invite9c9b9968]

Tu suis le raisonnement de Deedee

[invite6754323456711]

Donc on considère une masse m, initialement au repos qui, par l'intermédiaire d'une force atteint un état de vitesse v. On va considérer que la force s'applique colinéairement à la vitesse v.

La force F est définie par:

, avec

L'énergie acquise par la masse m de l'état initiale de repos à l'état final est égale au travail de la force:



on a , d'où:

J'avais vue une autre démarche dans le calcul de l'intégrale qui permet d'arriver assez rapidement à l'énergie cinétique relativiste :








L'intégrale au final donne




Patrick

[invite4e96a20a]

j'ai pas bien compris pourquoi P=gamma.m.V ???

[b@z66]

Personellement, vos démonstrations me laissent assez froid. Je suis d'accord sur les écarts "relatitifs" d'énergie calculés (deltaE) mais j'ai quand même du mal à comprendre comment vous en déduisez une valeur "absolue" de l'énergie au repos. Comment déduisez vous E(0) à partir de:
deltaE=E(v)-E(0), en considérant que seul deltaE a été calculé et que E(v) n'est pas connu? J'ai déjà vu cette démo pas mal de fois mais il faut reconnaitre qu'elle opère un tour de passe-passe assez énorme.

[juliendusud]

Démonstration par l'absurde :

supposons que E ne soit pas égal à mc², mais alors, mais alors ... ?

[Deedee81]

Bonjour,

j'ai pas bien compris pourquoi P=gamma.m.V ???

J'ai expliqué plus haut.

Le quadrivecteur impulsion est m * le quadrivecteur vitesse. La partie tridimensionnelle vaut donc dx/dtau (x = vecteur position, tau temps propre). Tandis que la vitesse ordinaire c'est dx/dt. Etc....

Et on vérifie, bien sûr, que pour v<< on retrouve bien l'impulsion ordinaire.

Personellement, vos démonstrations me laissent assez froid. Je suis d'accord sur les écarts "relatitifs" d'énergie calculés (deltaE) mais j'ai quand même du mal à comprendre comment vous en déduisez une valeur "absolue" de l'énergie au repos. Comment déduisez vous E(0) à partir de:
deltaE=E(v)-E(0), en considérant que seul deltaE a été calculé et que E(v) n'est pas connu? J'ai déjà vu cette démo pas mal de fois mais il faut reconnaitre qu'elle opère un tour de passe-passe assez énorme.

Bonne remarque

Dans "Relativité Restreinte" de Vladimir Ougarov, après tout le développement il pose la même question. Et il montre qu'un choix "d'origine" différent pour l'énergie implique que l'impulsion n'est plus identique (pour v<<) à l'impulsion ordinaire. Si on veut donc que l'énergie et l'mpulsion relativiste soient la généralisation relativiste des grandeurs classiques, on n'a pas le choix. Mais je ne sais plus comment il le montre et je n'ai pas le bouquin sous la main.

Je regarderai ce soit au cas où personne n'aurait répondu d'ici là.

[Deedee81]

Et il montre qu'un choix "d'origine" différent pour l'énergie implique que l'impulsion n'est plus identique (pour v<<) à l'impulsion ordinaire.

Ben oui, c'est évident, "biesse" que je suis .

L'énergie c'est la quatrième composante du quadrivecteur (énergie-)impulsion. On doit donc le modifier pour avoir E(0)=0 et toujours un quadrivecteur.

Je laisse baz66 vérifier ou... attendre demain (je suis trop fainénant pour refaire les calculs, je regarderai ce soir ).

[invite6754323456711]

Bonjour,
J'ai expliqué plus haut.

Le quadrivecteur impulsion est m * le quadrivecteur vitesse. La partie tridimensionnelle vaut donc dx/dtau (x = vecteur position, tau temps propre). Tandis que la vitesse ordinaire c'est dx/dt. Etc....

Et on vérifie, bien sûr, que pour v<< on retrouve bien l'impulsion ordinaire.

Ce n'était pas si évident que cela à comprendre sans avoir connaissance du film depuis le début.

La quantité de mouvement non relativiste n'est pas conversé lors d'une transformation de Lorentz.

Il faut donc modifier la définition de la quantité de mouvement pour la rendre relativiste afin qu'elle se conserve dans toutes les collisions. Cette nouvelle quantité de mouvement relativiste doit tendre vers la valeur classique pour de petite vitesse par rapport à c.

Dans l'espace de Minkowski la distance qui sépare deux évènements est un invariant. Le carré de cet intervalle est le produit pseudo-scalaire du 4-vecteur qui relie les deux évènements par lui-même.

Le 4-vecteur distance est covariant.

Si on divise ses quatre composantes par l'invariant qu'est le temps propre, on a encore un 4-vecteur (vitesse) covariant

Sachant que nous avons alors

noté 4-vecteur vitesse :

Soit maintenant m₀ la masse propre de la particule (masse au repos) qui est un attribut de la particule et donc indépendant de l'état cinématique de celle-ci. Si on multiplié les quatre composantes de par m₀, celles-ci restent covariantes. Nous obtenons ainsi un nouveau 4-vecteur ayant les dimensions d'une quantité de mouvement :



Patrick

[invite6754323456711]

Le 4-vecteur distance est covariant.

Patrick

erratum Le 4-vecteur distance est covariant

[Deedee81]

Bonjour,

Il faut donc modifier la définition de la quantité de mouvement pour la rendre relativiste afin qu'elle se conserve dans toutes les collisions.

Impec.

Concernant la valeur de l'énergie définie à une constante près, après vérification, c'est exactement ce que je disais : si on modifie E(0) le quadrivecteur impulsion ne correspond plus (pour les petites vitesses) à l'impulsion classique (dans le bouquin de V.Ougarov il le montre sur un changement de repère).

D'une manière générale, dans ce bouquin il procède en gros comme discuté dans ce fil. Si ce n'est qu'il commence par des justifications physiques basées sur les lois de conservation de l'énergie et de l'impulsion. C'est un peu plus verbeux.

D'une manière peut-être plus informelle, on pourrait dire que : principe de relativité => invariance aux translations spatio-temporelles => existence d'un quadrivecteur P conservé (Noether) qui s'identifie au vecteur impulsion classique et à l'énergie pour la quatrième composante => etc... (tes développements, ceux de mach3,...)

Je laisse dockers4 faire la synthèse de ce fil un peu embrouillé J'espère qu'il s'y retrouvera.

[mach3]

existence d'un quadrivecteur P conservé (Noether)

alala, qu'est ce qu'elle était géniale cette Emmy Noether. Quand j'ai découvert l'existence de son théorème, ça m'a sidéré...

m@ch3

[Deedee81]

alala, qu'est ce qu'elle était géniale cette Emmy Noether. Quand j'ai découvert l'existence de son théorème, ça m'a sidéré...

On est deux

Ca et les champs de jauge sont ce qui m'a donné des étoiles dans les yeux (parmis les centaines de choses qui m'ont émerveillé en physique théorique)

[Tropique]

Le sujet revient régulièrement. Il n'est pas nécéssaire de faire appel à l'artillerie lourde: Maxwell suffit largement, par le biais de la pression de radiation.
Pour cette démonstration et qques autres, voir dans le lien ici:
http://forums.futura-sciences.com/post1063362-17.html
A+

[invite9c9b9968]

Non tu dis des bêtises Tropique, la relation E=mc² n'a rien à voir avec l'électromagnétisme et est typiquement relativiste, tu confonds avec E=pc qui effectivement peut se voir en EM via la pression de radiation.

[Deedee81]

Le sujet revient régulièrement. Il n'est pas nécéssaire de faire appel à l'artillerie lourde: Maxwell suffit largement, par le biais de la pression de radiation.

Bonjour,

Pour un amateur, Maxwell c'est aussi de l'artillere lourde

Ceci dit, merci pour le lien, sympa toutes ces dérivations. Ca fera sans doute plaisir à docker.

Mais j'ai une question : la dérivation avec la pression de radiation c'est E=pc pour les photons. Comment en déduis-tu E=mc² ????

[Tropique]

Mais j'ai une question : la dérivation avec la pression de radiation c'est E=pc pour les photons.

Maxwell ne connaissait pas les photons; cependant il existe bien dans son cadre une définition de la pression de radiation:
f= 1/c*dE/dt
C'est la force exercée sur un objet absorbant ou émettant un flux d'ondes.
On peut choisir de l'exprimer en termes de quantité de mouvement:
dp= 1/c*dE
Nous nous intéréssons à la variation de masse associée à l'émission ou l'absorption des ondes, or p vaut également m*v, ou m*c dans le cas qui nous occupe.
dm*c= 1/c*dE
Et donc, E=mc².
Bon, d'accord, écrit par moi ça a l'air lourdingue, mais ça fait des années que je suis rangé des bécanes. Je l'ai vu écrit de façon beaucoup plus élégante et convaincante par des gens sérieux, mais fondamentalement, c'est ça: rien qui sort du 19éme siècle. Et ce n'est vraiment pas compliqué.
A+

[Deedee81]

Maxwell ne connaissait pas les photons; cependant il existe bien dans son cadre une définition de la pression de radiation: [...]

Oui, ça, no problemos, d'ailleurs on le voit directement à partir du vecteur de Poynting et de là l'expression de l'énergie et de l'impulsion du champ EM.

p vaut également m*v, ou m*c dans le cas qui nous occupe.
dm*c= 1/c*dE
Et donc, E=mc².

Pas con

Ceci dit, j'aurais quand même deux objections. Comment justifier que p=mc est bien valable dans le cas relativiste et les "ennuis" suivant :
- le fait que cette formule s'applique ici aux photons et non aux particules massives
- ce n'est pas la formule E=mc² "au repos"
- m ? Les photons n'ont pas de masse propre. Il s'agit donc de la vieille masse relativiste. Risque de confusion.
Bien évidemment, les trois problèmes forment un tout (par exemple, p=mc est faux pour la masse propre et un objet massif)

Donc, je ne présenterais pas ce genre de déduction à un amateur !

Par contre la déduction E=pc dans le lien, elle est pas mal du tout