Bonjour,
La question de la compréhension de l'entropie revient souvent sur Futura (et pas seulement sur Futura!). Je propose donc un cadre pour comprendre la nature de l'entropie en toute ignorance de la nature microscopique de la matire (pas même la notion de désordre). Aucunes connaissances mathématiques ne sont nécessaires au delà de ce que l'on apprend dans la première année de l'enseignement supérieur.
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J'ai évité de faire un truc trop bien léché, a la fois pour aller vite (plus de 3H quand même) et pour laisser ce petit exposé très ouvert à la discussion. Je suis nul en Latex et je m'en excuse. J'ai essayé de compenser cette lacune par des notations adéquates.
Je prépare une version .doc où je pourrais écrire à la main les bonnes formules et aussi faire des dessins qui aident beaucoup à la compréhension. Bien entendu j'intégrerais tous les élements nécesaires issus de ce fil.
I- Introduction :
1- Objectif : Introduire le concept de fluide entropique afin de mieux comprendre la thermodynamique classique et bien sur ce fameux concept d’entropie mais sans aucune référence microscopique.
2- Ce qui est usuellement enseigné.
Lors d’un cursus de physicien la plupart reçoivent 3 types de cours.
a- La thermodynamique classique en 1ier cycle.
On découvre les 2 principes de la thermodynamique avec bien sûr le concept d’entropie.
b- Un cours de physique statistique des systèmes à l’équilibre.
C’est la trilogie des ensembles micro canonique, canonique et grand canonique.
Dans ce cadre statistique on défini l’entropie par :
....................... S= k.lnW
c- Pour une partie des étudiants un cours de statistique hors d’équilibre.
Ce qui recouvre en grande partie l’équation de Boltzmann.
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Remarque :Il y a une cohérence entre la version statistique et la version classique de la thermodynamique d’équilibre. A contrario quelle est la version classique de l’équation de Boltzmann ? Cette version pas ou peu enseignée existe depuis les années 1930 avec les travaux d’Onsager (et d’autres). Nous voudrions montré que c’est la bonne façon de comprendre sans difficulté aucune l’entropie comme un nouveau type de fluide.
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II- L’approche hydrodynamique.
Le principe de l’approche est de traiter la thermodynamique classique avec une vision mécanique des fluides. En effet l’hypothèse fondamentale de la mécanique des fluides consisté a définir une échelle intermédiaire, l’échelle mésoscopique est qui beaucoup plus grande que l’échelle microscopique et beaucoup plus petite que l’échelle macroscopique. C’est ainsi que l’on établit le concept de particule fluide qui est à l’équilibre thermodynamique. Il en résulte l’équations de Naviers-Stokes qui est la traduction de la loi de Newton. Le prix a payer est d’introduire des coefficients empiriques (viscosités) qui representent le couplage des particules fluides. La thermodynamique du non-équilibre suit cette démarche. Il est alors facile de comprendre l’origine du concept de fluide entropique.
III- Les lois de l’équilibre de la thermodynamique classique.
Il s'agit ici du'un très court résumé dans le seul but d'introduire des notations.
On démontre que :
dU et dS sont les variations d’énergie interne et d’entropie du système délimité par une paroi qui le sépare du milieu externe.
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dQ et dW sont respectivement la chaleur et les travaux échangés avec le milieu extérieur. On notera que le signe peut être quelconque. Par construction le signe est positif lorsque la grandeur est dirigée de l’extérieur vers le système.
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Enfin on a rajouté le terme dSi qui représente la production d’entropie interne (toujours positive) et qui est négligeable pour les transformations infiniment lentes.
Par intégration sur un cycle on a :
Intégrale [dQ/T] < Intégrale [dSi]
Relation bien connue.
IV-Les équations locales.
Le principe consiste à faire le bilan d’une quantité N (x,y,z,t) qui peut se déplacer dans l’espace et dépendre du temps. Pour un volume élémentaire on écrira :
..........................dN/dt = [P] – [D] – div.J
Pour fixer les idées N représente une quantité dune espèce chimique, C’est donc le nombre de mole par unité de volume.
[P] c’est le taux de production de l’espèce chimique.
[D] c’est le taux de disparition de l’espèce chimique.
J c’est le flux par unité de surface et par une unité de temps de A.
div.J c’est le bilan entrée-sortie de l’espèce chimique.
On retrouve souvent cette équation quand la quantité A est conservée. Dans ce cas [P] et [D] sont nuls et l’on écrit :
dN/dt + div.J = 0
Exemple : Si N représente la densité de charges électriques, J est le courant qui vaut en régime linéaire J = sigma.E
V- Le fluide entropique.
On peut écrire suivant ( ) :
dS/dt = dSi/dt + 1/T. dQ/dt
par identification avec ( ) on a :
[P] = dSi/dt
div.J = - 1/T. dQ/dt
On a donc bien la forme générale :
dS/dt = [P] –divJ
qui justifie le statut de fluide entropique.
On notera qu’il y a un terme de production d’entropie mais pas de terme de création d’entropie, ce qui est bien l’essence de la thermodynamique.
Soit un système porté hors d’équilibre thermodynamique par des contraintes extérieures et en contact avec un thermostat.
Intégrons ( ) dans le volume du système thermodynamique :
Intégrale [dS/dt] = Intégrale [P] – Intégrale [div.J]
Avec Intégrale [div.J] = - Intégrale(surface) [J]
Donc après intégration on pour le système tout entier :
dSt/dt = [P]t + Flux de J
L’indice t signifie ici total (càd intégrale sur le volume).
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Dans le cas stationnaire (mais hors d’équilibre)
[P]t = - Flux de J
Ce qui veut dire que la production d’entropie intérieure est évacuée à chaque instant par un flux d’entropie dirigée vers l’extérieur qui se manifeste par un flux de chaleur dans le milieu éxtérieur.
VI- L’hypothèse De Onsager.
Jusqu'à maintenant nous n’avons rien dit sur la substance de cette création d’entropie. Comment faire ? C’est Onsager qui a résolu le problème (à vérifier quand même).
Le principe consiste à écrire qu’une production d’entropie nécessairement positive doit être le produit d’une force généralisée F et d’un flux généralisé X. Le flux généralisé est la réponse à la force généralisée. Soit formellement :
[P] = F.X
avec X = X(F)
En régime linéaire X = k.X
[P] = k. X2
Sauf avis contraire nous ne sommes pas a priori en régime linéaire.
Pour ne pas tomber dans un formalisme nous procédons empiriquement en supposant que nous procédons par essais erreurs à partir de l’expérience.
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Exemple1:
La dissipation joule s’écrit U.I soit en unités normalisées J.grad.V
[P] = (1/T).grad.V.J
F= 1/T.gradV
X = J est le flux électrique.
Exemple 2:
On montre qu’en présence d’un gradient de température:
[P] = (1/T). grad.T. dQ/dt
F= (1/T). grad.T
X = dQ/dt qui est le flux de chaleur
Exemple 3 :
Un travail de changement de volume produit de l’entropie.
On écrira :
[P] = (1/T).grad.P.dv/dt
F = 1/T.grad.P
X = dv/dt qui est un flux de volume.
Remarques :
1-Ces exemples sans commentaires montrent qu’il a bien une cause qui est un gradient (potentiel électrique, température, pression) qui est à un facteur T prêt la force généralisée et dont la réponse (densité de courant, courant de chaleur, courant de volume) est un flux généralisé. On voit ainsi la méthode de construction de ces forces et flux généralisés.
2- On vérifiera sur les 3 exemples ci-dessus que les productions d’entropie sont positives quelque soient le sens du gradient.
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3-A titre d’exercice démontrer ces relations en partant de 2 systèmes macroscopiques hors d’équilibre formant un système isolé. Faire tendre les différences de température ou de pression pour faire apparaître les gradients, ccàd établir les forces généralisées.
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VII- Thermodynamique hors d’équilibre : Le régime linéaire.
Bien que ce soit hors sujet voici les conséquences de l’approche d’Onsager
Onsager a postuler d’une manière générale en régime linéaire càd dans l’hypothèse où :
X = . k.F
Une production d’entropie de la forme :
............................[P] = Lij.Xi.Xj avec sommation sur les indices.
Qui est donc une forme bilinéaire positive
En présence de forces généralisées on remarque qu’il y a des termes diagonaux qui correspondent par exemple aux 3 exemples du paragraphe précédent ci-dessus mais aussi des termes croisés.
C’est ainsi que l’on peut expliquer des phénomènes tels que l’effet Peltier, l’effet Seebeck, l’effet Thomson, l’effet Ettinghshausen etc… sans aucune considérations microscopiques. C’est un véritable tour de force intellectuelle.
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Bien entendu tous ces effets peuvent se calculer avec précision au niveau de la statistique hors d’équilibre thermodynamique par résolution de l’équation de Boltzmann (du moins dans le cadre de la physique des semiconducteurs).
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Envoyé par mariposa 
, ça se généralise même dans le cas relativiste. On introduit alors un "quadri-courant" dont la composante temporelle est l'entropie par unité de masse, le 3-vecteur associé étant le vecteur densité. Le fluide entropique est à traiter exactement sur le même pied que les courants associés à des types de particules, et si on se restreint à un fluide idéal en évolution adiabatique, le quadri-vecteur courant d'entropie peut alors être inclus dans un lagrangien, et on montre que son quadri-moment conjugué a pour composante temporelle la température. Perso, je trouve ça très joli 
