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Thermodynamique irreversible et fluide entropique



  1. #1
    mariposa

    Thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Bonjour,


    La question de la compréhension de l'entropie revient souvent sur Futura (et pas seulement sur Futura!). Je propose donc un cadre pour comprendre la nature de l'entropie en toute ignorance de la nature microscopique de la matire (pas même la notion de désordre). Aucunes connaissances mathématiques ne sont nécessaires au delà de ce que l'on apprend dans la première année de l'enseignement supérieur.
    .
    J'ai évité de faire un truc trop bien léché, a la fois pour aller vite (plus de 3H quand même) et pour laisser ce petit exposé très ouvert à la discussion. Je suis nul en Latex et je m'en excuse. J'ai essayé de compenser cette lacune par des notations adéquates.

    Je prépare une version .doc où je pourrais écrire à la main les bonnes formules et aussi faire des dessins qui aident beaucoup à la compréhension. Bien entendu j'intégrerais tous les élements nécesaires issus de ce fil.



    I- Introduction :

    1- Objectif : Introduire le concept de fluide entropique afin de mieux comprendre la thermodynamique classique et bien sur ce fameux concept d’entropie mais sans aucune référence microscopique.

    2- Ce qui est usuellement enseigné.

    Lors d’un cursus de physicien la plupart reçoivent 3 types de cours.

    a- La thermodynamique classique en 1ier cycle.

    On découvre les 2 principes de la thermodynamique avec bien sûr le concept d’entropie.

    b- Un cours de physique statistique des systèmes à l’équilibre.

    C’est la trilogie des ensembles micro canonique, canonique et grand canonique.
    Dans ce cadre statistique on défini l’entropie par :

    ....................... S= k.lnW

    c- Pour une partie des étudiants un cours de statistique hors d’équilibre.

    Ce qui recouvre en grande partie l’équation de Boltzmann.
    ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Remarque :Il y a une cohérence entre la version statistique et la version classique de la thermodynamique d’équilibre. A contrario quelle est la version classique de l’équation de Boltzmann ? Cette version pas ou peu enseignée existe depuis les années 1930 avec les travaux d’Onsager (et d’autres). Nous voudrions montré que c’est la bonne façon de comprendre sans difficulté aucune l’entropie comme un nouveau type de fluide.
    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


    II- L’approche hydrodynamique.

    Le principe de l’approche est de traiter la thermodynamique classique avec une vision mécanique des fluides. En effet l’hypothèse fondamentale de la mécanique des fluides consisté a définir une échelle intermédiaire, l’échelle mésoscopique est qui beaucoup plus grande que l’échelle microscopique et beaucoup plus petite que l’échelle macroscopique. C’est ainsi que l’on établit le concept de particule fluide qui est à l’équilibre thermodynamique. Il en résulte l’équations de Naviers-Stokes qui est la traduction de la loi de Newton. Le prix a payer est d’introduire des coefficients empiriques (viscosités) qui representent le couplage des particules fluides. La thermodynamique du non-équilibre suit cette démarche. Il est alors facile de comprendre l’origine du concept de fluide entropique.


    III- Les lois de l’équilibre de la thermodynamique classique.

    Il s'agit ici du'un très court résumé dans le seul but d'introduire des notations.

    On démontre que :





    dU et dS sont les variations d’énergie interne et d’entropie du système délimité par une paroi qui le sépare du milieu externe.
    .
    dQ et dW sont respectivement la chaleur et les travaux échangés avec le milieu extérieur. On notera que le signe peut être quelconque. Par construction le signe est positif lorsque la grandeur est dirigée de l’extérieur vers le système.
    .
    Enfin on a rajouté le terme dSi qui représente la production d’entropie interne (toujours positive) et qui est négligeable pour les transformations infiniment lentes.

    Par intégration sur un cycle on a :

    Intégrale [dQ/T] < Intégrale [dSi]

    Relation bien connue.


    IV-Les équations locales.

    Le principe consiste à faire le bilan d’une quantité N (x,y,z,t) qui peut se déplacer dans l’espace et dépendre du temps. Pour un volume élémentaire on écrira :


    ..........................dN/dt = [P] – [D] – div.J


    Pour fixer les idées N représente une quantité dune espèce chimique, C’est donc le nombre de mole par unité de volume.

    [P] c’est le taux de production de l’espèce chimique.
    [D] c’est le taux de disparition de l’espèce chimique.
    J c’est le flux par unité de surface et par une unité de temps de A.
    div.J c’est le bilan entrée-sortie de l’espèce chimique.

    On retrouve souvent cette équation quand la quantité A est conservée. Dans ce cas [P] et [D] sont nuls et l’on écrit :

    dN/dt + div.J = 0

    Exemple : Si N représente la densité de charges électriques, J est le courant qui vaut en régime linéaire J = sigma.E



    V- Le fluide entropique.

    On peut écrire suivant ( ) :

    dS/dt = dSi/dt + 1/T. dQ/dt

    par identification avec ( ) on a :

    [P] = dSi/dt

    div.J = - 1/T. dQ/dt

    On a donc bien la forme générale :

    dS/dt = [P] –divJ

    qui justifie le statut de fluide entropique.



    On notera qu’il y a un terme de production d’entropie mais pas de terme de création d’entropie, ce qui est bien l’essence de la thermodynamique.

    Soit un système porté hors d’équilibre thermodynamique par des contraintes extérieures et en contact avec un thermostat.

    Intégrons ( ) dans le volume du système thermodynamique :

    Intégrale [dS/dt] = Intégrale [P] – Intégrale [div.J]

    Avec Intégrale [div.J] = - Intégrale(surface) [J]

    Donc après intégration on pour le système tout entier :

    dSt/dt = [P]t + Flux de J

    L’indice t signifie ici total (càd intégrale sur le volume).
    .
    Dans le cas stationnaire (mais hors d’équilibre)

    [P]t = - Flux de J

    Ce qui veut dire que la production d’entropie intérieure est évacuée à chaque instant par un flux d’entropie dirigée vers l’extérieur qui se manifeste par un flux de chaleur dans le milieu éxtérieur.



    VI- L’hypothèse De Onsager.

    Jusqu'à maintenant nous n’avons rien dit sur la substance de cette création d’entropie. Comment faire ? C’est Onsager qui a résolu le problème (à vérifier quand même).


    Le principe consiste à écrire qu’une production d’entropie nécessairement positive doit être le produit d’une force généralisée F et d’un flux généralisé X. Le flux généralisé est la réponse à la force généralisée. Soit formellement :

    [P] = F.X

    avec X = X(F)

    En régime linéaire X = k.X

    [P] = k. X2

    Sauf avis contraire nous ne sommes pas a priori en régime linéaire.

    Pour ne pas tomber dans un formalisme nous procédons empiriquement en supposant que nous procédons par essais erreurs à partir de l’expérience.
    .
    Exemple1:

    La dissipation joule s’écrit U.I soit en unités normalisées J.grad.V

    [P] = (1/T).grad.V.J

    F= 1/T.gradV

    X = J est le flux électrique.

    Exemple 2:

    On montre qu’en présence d’un gradient de température:

    [P] = (1/T). grad.T. dQ/dt

    F= (1/T). grad.T

    X = dQ/dt qui est le flux de chaleur



    Exemple 3 :

    Un travail de changement de volume produit de l’entropie.

    On écrira :

    [P] = (1/T).grad.P.dv/dt

    F = 1/T.grad.P

    X = dv/dt qui est un flux de volume.

    Remarques :

    1-Ces exemples sans commentaires montrent qu’il a bien une cause qui est un gradient (potentiel électrique, température, pression) qui est à un facteur T prêt la force généralisée et dont la réponse (densité de courant, courant de chaleur, courant de volume) est un flux généralisé. On voit ainsi la méthode de construction de ces forces et flux généralisés.

    2- On vérifiera sur les 3 exemples ci-dessus que les productions d’entropie sont positives quelque soient le sens du gradient.
    .
    3-A titre d’exercice démontrer ces relations en partant de 2 systèmes macroscopiques hors d’équilibre formant un système isolé. Faire tendre les différences de température ou de pression pour faire apparaître les gradients, ccàd établir les forces généralisées.
    .



    VII- Thermodynamique hors d’équilibre : Le régime linéaire.

    Bien que ce soit hors sujet voici les conséquences de l’approche d’Onsager

    Onsager a postuler d’une manière générale en régime linéaire càd dans l’hypothèse où :

    X = . k.F

    Une production d’entropie de la forme :


    ............................[P] = Lij.Xi.Xj avec sommation sur les indices.

    Qui est donc une forme bilinéaire positive

    En présence de forces généralisées on remarque qu’il y a des termes diagonaux qui correspondent par exemple aux 3 exemples du paragraphe précédent ci-dessus mais aussi des termes croisés.

    C’est ainsi que l’on peut expliquer des phénomènes tels que l’effet Peltier, l’effet Seebeck, l’effet Thomson, l’effet Ettinghshausen etc… sans aucune considérations microscopiques. C’est un véritable tour de force intellectuelle.
    .
    Bien entendu tous ces effets peuvent se calculer avec précision au niveau de la statistique hors d’équilibre thermodynamique par résolution de l’équation de Boltzmann (du moins dans le cadre de la physique des semiconducteurs).

    -----

    Dernière modification par deep_turtle ; 30/03/2008 à 13h37. Motif: latexisation partielle, à suivre si l'auteur est OK

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  3. #2
    Philder

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Merci pour cet expose.

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    On notera qu’il y a un terme de production d’entropie mais pas de terme de création d’entropie, ce qui est bien l’essence de la thermodynamique.
    Je ne comprends pas cette phrase, quelle est la difference entre production et creation?

    Sinon voici quelques bouts de Latex tires de tes formules (a peu pres, j'ai peut-etre insere quelques fautes) pour t'inspirer pour la suite:


    \int \frac{dQ}{T} < \int dS_i

    dS = dS_i + \frac{dQ}{T}

    \int \frac{dS}{dt} = \int {P} - \int \nabla \cdot J
    Sinon j'avais jamais entendu parler de 'fluide entropique', c'est une appellation courante?

  4. #3
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Philder Voir le message
    Merci pour cet expose.


    Je ne comprends pas cette phrase, quelle est la difference entre production et creation?
    .

    Effectivement c'est une phrase idiote, je l'écris correctement de la façon suivante:

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    On notera qu'il y a un terme de production d'entropie (ou source d'entropie) mais pas de terme de destruction d'entropie (puit d'entropie) ce qui est bien l'essence de la thermodynamique.
    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Sinon j'avais jamais entendu parler de 'fluide entropique', c'est une appellation courante?
    .
    C'est une appelation en effet pas très courante, parceque la thermodynamique classique hors d'équilibre n'est pas ou peu enseignée.
    .
    Quand à l'origine de ce terme il faudrait faire une recherche historique. Elle remonte au minimun à 1930 càd de l'époque d'Onsager. J'ai même l'impression que c'est l'adaptation du mystérieux fluide calorique qui s'est évaporé lorsque l'on a découvert que la chaleur n'était qu'une forme d'énergie. Par contre un dQ/T a le statut de fluide. Je mettrais un pointeur sur un cours de Balian propsé par Rincevent qui parle bien de flux entropique.
    .
    Merci beaucoup pour ta lecture et tes observations.

  5. #4
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Ci-joint le lien pointant sur le cours de Balian


    http://ipht.cea.fr/articles/t03/213/


    Page 32 il définit une densité de courant d'entropie et écrit un bilan d'entropie locale sous une forme qui ressemble a la mienne. Heureusement.

  6. #5
    Rincevent

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Page 32 il définit une densité de courant d'entropie et écrit un bilan d'entropie locale sous une forme qui ressemble a la mienne. Heureusement.
    si ça peut te rassurer , ça se généralise même dans le cas relativiste. On introduit alors un "quadri-courant" dont la composante temporelle est l'entropie par unité de masse, le 3-vecteur associé étant le vecteur densité. Le fluide entropique est à traiter exactement sur le même pied que les courants associés à des types de particules, et si on se restreint à un fluide idéal en évolution adiabatique, le quadri-vecteur courant d'entropie peut alors être inclus dans un lagrangien, et on montre que son quadri-moment conjugué a pour composante temporelle la température. Perso, je trouve ça très joli

    Si tout n'est pas adiabatique, on prend en compte la non-conservation de l'entropie ainsi que celles des densités particulaires (qui peuvent changer en raison de réactions), exactement de la même façon...

    [edit] beaucoup de choses autour de ça ont été développées par Brandon Carter... certaines sont illustrées dans cet article où tout ça est appliqué à la dynamique de superfluides relativistes.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gatsu

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Bonjour,

    Merci également pour l'exposé. C'est effectivement une théorie très générique associée à l'entropie thermodynamique.

    Je suis peut être idiot, mais je n'ai pas compris, dans ton exposé comment on faisait pour discriminer les "bons" flux généralisés et force généralisée qui conduisent à la production d'entropie...ça marche avec n'importe quoi ?

    Par contre je n'ai pas compris en quoi ça expliquait "mieux" ce qu'était l'entropie (mais la réponse à ma première question me permettra sans doute d'y voir plus clair).

    En ce qui concerne ton .doc final je pourrais même le faire en TEX si tu veux.

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  10. #7
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Bonjour,

    Merci également pour l'exposé. C'est effectivement une théorie très générique associée à l'entropie thermodynamique.

    Je suis peut être idiot, mais je n'ai pas compris, dans ton exposé comment on faisait pour discriminer les "bons" flux généralisés et force généralisée qui conduisent à la production d'entropie...ça marche avec n'importe quoi ?
    .
    Oui çà marche avec n'importe quoi. C'est tellement générale qu'il y a une version relativiste où le courant entropique est la composante temporelle d'un quadrivecteur. C'est fou. voir le post de Rincevent immédiatement avant le tien.
    .
    Le mieux pour avancer doucement c'est de prendre le cas de l'exemple 2 dont j'ai donné la réponse "fausse" mais que j'ai proposé en exercice.
    .
    Je développe maintenant:
    ;
    Soient 2 systèmes I et II à temperature T1 et T2 (avec T2>T1) qui constituent ensemble un système fermé et qui échange une quantité de chaleur dQ.
    .
    Pourle premier il gagne dS1 = dQ/T1

    Pour le deuxième il gagne dS2 = -dQ/T2

    L'entropie totale du système varie de:

    dS = dS1 + ds2 = dQ (1/T1-1/T2) qui est bien > 0

    C'est le mécanisme de production d'entropie interne d'entropie de I+II
    .
    En supposant la différence de température petite et le système infinitésimal la production d'entropie par unité de temps devient:

    ..............dSi/dt = (1/T).gradT.(1/T).dQ/dt

    la force généralisée s'écrit: F = (1/T).gradT

    Le flux entropique vaut (1/T).dQ/dt

    Par comparaison avec ce que j'ai donné il est facile de voir l'erreur (il manque un facteur 1/T)
    .
    Maintenant on peut écrire la variation totale d'entropie. dS/dt = dSi/dt + 1/T.dQ/dt

    .........dS/dt = dSi/dt = (1/T).gradT.(1/T).dQ/dt + 1/T.dQ/dt
    .
    Quand le gradT tend vers zéro la variation d'entropie tend vers 1/T.dQ/dt Mais le flux de chaleur est proportionnel au gradT (loi de Fourier) donc à la limite ou le terme de production d'entropie est nul les échanges de chaleur sont lents. Ce que l'on traduit en disant que les systèmes sont réversibles dans la limite d'une transformation quasi-statique. Ceci est donc une démonstration de cett propriété.
    .
    On note qu'il y une seule valeur dQ qui contribue de 2 façons à la variation d'entropie du système. Le langage d'un dQr et d'un dQirr souvent utilisé est une source d'incompréhension de la thermodynamique comme nous pouvons le montrer proprement sans ambiguité aucune.
    .
    Remarque très importante:

    Cet exemple à l'avantage d'être clair a traiter, mais d'une manière générale ce n'est pas un gradient de température qui crée l'irreversibilité. A température constante tous les gradients contribuent comme source d'irreversibilité.(gradient de potentiel de concentration de particules, de pression etc....).
    ;
    Le concept de fluide entropique permet de montrer comment une production d'entropie interne va se manifester comme un flux de chaleur externe.


    Par contre je n'ai pas compris en quoi ça expliquait "mieux" ce qu'était l'entropie (mais la réponse à ma première question me permettra sans doute d'y voir plus clair).
    .
    C'est justement le challenge pédagogique qui consiste à éclaircir ce qu'est l'entropie. Je ferais évoluer le texte pour que tout devienne évident. Enfin j'espère.

    En ce qui concerne ton .doc final je pourrais même le faire en TEX si tu veux.
    .
    Ta proposition me fait plaisir et je compte sur toi le moment venu. cela me parait intéressant de contruire une pédagogie sur des points délicats de la physique. Merci d'avance.

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    le 3-vecteur associé étant le vecteur densité.
    Je ne comprends pas ce qu'est un vecteur spatial densité?

    Le dimensionnement m'échappe aussi (mais faut que je trouve les bonnes lectures, j'imagine). L'entropie par unité de masse c'est la dimension Θ-1. Je m'attend à ce que la dimension de la partie spatiale soit alors en LΘ-1T-1, et je ne vois pas comme raccrocher cela à "densité" (ni ce que représente cette grandeur).

    SI je pars de l'idée générale (mais peut-être pas applicable ici) qu'un q.v. flux est dimensionnellement de la forme U(L-3, L-2T-1) -premier terme temporel, second spatial- avec U une grandeur extensive, un terme temporel en 1/Θ donne U comme L3/Θ; c'est bien extensif, mais c'est difficile de voir ce qu'il représente

    Cordialement,

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Sinon, le sujet m'intéresse pas mal, merci pour les différents pointeurs. J'ai beau faire différents essais sur Google, on ne trouve pas grand chose concernant des flux d'entropie par ce moyen.

    Je me demandais si c'était compatible avec une approche que j'aime bien, mais qui est peut-être fumeuse, qui est de voir dans l'entropie un nombre de degrés de liberté actifs.

    La température est alors l'énergie sur un degré de liberté, ce qui se conçoit très bien (en particulier un solide en mouvement se retrouve avec une température quasi infinie, ce qui fait sens). Les degrés de liberté étant portés par des particules, cela ne pose pas de problème de se visualiser une densité d'entropie et donc un flux d'entropie.

    Cordialement,

  13. #10
    Thwarn

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    .........dS/dt = dSi/dt = (1/T).gradT.(1/T).dQ/dt + 1/T.dQ/dt
    J'avais vu ce genre d'équation en cours (car il existe au moins un cours sur le sujet en France, en licence à Ulm. Cours nul et archi mal enseigné par ailleurs...)

    Mais il y a quelques choses qui me chiffonnent :
    1- si la différence de température est petite, je suppose que cela veut dire que .
    2- quand tu écris ton équation utilise un T, mais est-ce T1, T2, la moyenne des deux? Ce n'est jamais explicité, mais ça ne me parait pourtant pas être un détail...
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    1-Ces exemples sans commentaires montrent qu’il a bien une cause qui est un gradient (potentiel électrique, température, pression) qui est à un facteur T prêt la force généralisée et dont la réponse (densité de courant, courant de chaleur, courant de volume) est un flux généralisé. On voit ainsi la méthode de construction de ces forces et flux généralisés.
    Le facteur T est juste multiplicatif. Si on l'enlève on trouve:

    Ces exemples sans commentaires montrent qu’il a bien une cause qui est un gradient (potentiel électrique, température, pression) qui est à un facteur près la force généralisée et dont la réponse (densité de courant, courant de chaleur, courant de volume) est un flux généralisé.

    Ce n'est pas en rapport avec la généralisation de la loi de Lenz, qui veut que la réaction va dans le sens de diminuer la cause?

    2- On vérifiera sur les 3 exemples ci-dessus que les productions d’entropie sont positives quelque soient le sens du gradient.
    Ca aussi, c'est une conséquence de la loi ci-dessus, non? C'est à dire le flux va dans un sens déterminé par celui du gradient.

    ---

    Ca ne va pas à l'encontre de ce qui est écrit, c'est juste l'interprétation qui m'échappe. On a d'une part l'idée générale d'une cause et d'un effet; un produit gradient par flux, qui donne une grandeur à préciser; et enfin la division par une température. Les deux premières étapes semblent indépendantes de la notion d'entropie, mais ne doivent pas l'être!

    La division par la température semble intervenir indépendamment...

    Cordialement,

  15. #12
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    J'avais vu ce genre d'équation en cours (car il existe au moins un cours sur le sujet en France, en licence à Ulm. Cours nul et archi mal enseigné par ailleurs...)
    .
    Encore un privilège des normaliens!

    Mais il y a quelques choses qui me chiffonnent :
    1- si la différence de température est petite, je suppose que cela veut dire que .
    ;
    Excate.

    2- quand tu écris ton équation utilise un T, mais est-ce T1, T2, la moyenne des deux? Ce n'est jamais explicité, mais ça ne me parait pourtant pas être un détail...
    .
    En effet c'est maladroit de parler de T1 et T2 il serait plus claire de dire que une partie est à T+delta T/2 et l'autre partie à T- Delta/2 (avec delta> 0). C'est plus symétrique, neanmoins une partie est plus chaude que l'autre, c'est çà qui est important.

    Si bien qu'en passant à limite de Delta T tend vers zéro on a un gradient local de T. Je rectifierais le document d'origine dans ce sens. merci.

  16. Publicité
  17. #13
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message


    Ce n'est pas en rapport avec la généralisation de la loi de Lenz, qui veut que la réaction va dans le sens de diminuer la cause?

    Ca aussi, c'est une conséquence de la loi ci-dessus, non? C'est à dire le flux va dans un sens déterminé par celui du gradient.
    .
    Le role des gradients est , équivalent a l'image du gradient de potentiel gravitationnel (qui va devenir la force généralisée) et le mouvement de la boule (qui va devenir le flux généralisé).

    ---
    Ca ne va pas à l'encontre de ce qui est écrit, c'est juste l'interprétation qui m'échappe. On a d'une part l'idée générale d'une cause et d'un effet; un produit gradient par flux, qui donne une grandeur à préciser; et enfin la division par une température. Les deux premières étapes semblent indépendantes de la notion d'entropie, mais ne doivent pas l'être!

    La division par la température semble intervenir indépendamment...

    Cordialement,
    La température n'est pas rajoutée a la main. elle résulte directement du calcul. J'ai développé en détail le cas du gradient de température au post de 19H19.
    ;
    Ultérieurement je développerais le cas du gradient de potentiel. En fait il suffit de transposer le cas du gradient de température.

  18. #14
    Thwarn

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    .
    Encore un privilège des normaliens!
    Vu le niveau du cours, ce n'était clairement pas un privilège, tu peux me croire...
    C'est le différents topic sur la thermo hors équilibre qui m'a donné envie de comprendre les formules que j'ai appris "par cœur" pour l'examen... A ce niveau là, tu as réussi ton coup

    P.S.: Quand je disais que ce n'était jamais explicité, je ne parlais pas que de tes messages, mais aussi de mon cours ou de mes différents TD
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  19. #15
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Vu le niveau du cours, ce n'était clairement pas un privilège, tu peux me croire...
    ;
    Ca peut s'expliquer en partie de la façon suivante: Quand on demande a une assemblée de profs: qui veut faire un cours de thermo classique? tout le monde baisse la tête comme des gamins. le cours de Thermo, c'est une patate chaude. le problème c'est a qui le refiler. Il semble qu'a Ulm cela ne fasse pas exception.

    C'est le différents topic sur la thermo hors équilibre qui m'a donné envie de comprendre les formules que j'ai appris "par cœur" pour l'examen... A ce niveau là, tu as réussi ton coup
    ;
    Merci

    P.S.: Quand je disais que ce n'était jamais explicité, je ne parlais pas que de tes messages, mais aussi de mon cours ou de mes différents TD
    C'est ainsi que je l'avais compris. Cela n'empèche que je guette toute les occasions pour améliorer ce que j'ai écrit, sur le fond comme sur les détails.

  20. #16
    Rincevent

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je ne comprends pas ce qu'est un vecteur spatial densité?
    la même chose que le vecteur densité volumique de charge [le vecteur J, je sais plus son nom officiel] à part que là ça porte de l'entropie...

    Le dimensionnement m'échappe aussi (mais faut que je trouve les bonnes lectures, j'imagine). L'entropie par unité de masse c'est la dimension Θ-1. Je m'attend à ce que la dimension de la partie spatiale soit alors en LΘ-1T-1, et je ne vois pas comme raccrocher cela à "densité" (ni ce que représente cette grandeur).
    si j'ai dit "unité de masse", c'est un lapsus.... désolé... c'est bien évidemment une densité volumique. Comme tu l'as compris, tout est identique à ce qu'on fait quand on forme le 4-vecteur densité de courant, à part que là c'est de l'entropie et non de la charge. Tu peux aussi utiliser des trucs par unité de masse (c'est par exemple utile quand tu regardes avec un point de vue lagrangien), mais dans ce cas la partie spatiale suit la même logique évidemment...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  21. #17
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    si ça peut te rassurer , ça se généralise même dans le cas relativiste. On introduit alors un "quadri-courant" dont la composante temporelle est l'entropie par unité de masse, le 3-vecteur associé étant le vecteur densité. Le fluide entropique est à traiter exactement sur le même pied que les courants associés à des types de particules, et si on se restreint à un fluide idéal en évolution adiabatique, le quadri-vecteur courant d'entropie peut alors être inclus dans un lagrangien, et on montre que son quadri-moment conjugué a pour composante temporelle la température. Perso, je trouve ça très joli
    .
    Bonjour,
    .
    En effet c'est très joli.
    ;
    On peut deviner a peu près d'où çà vient.
    .
    L'équation locale remaniée s'écrit:

    dS/dt = [P] –divJs

    J'ai rajouté l'indice s pour signifier qu'il s'agit dune densité de courant entropique.
    .
    On peut réecrire sous la forme:

    .....T.dS/dt + div.J = T.[P]

    Ce coup si J est un flux de chaleur.

    On a bien au premier membre un quadrivecteur. En fait ce n'est pas vrai si l'on remarque qur J =dQ/dt. en fait cela n'est pas grave parceque j'ai écris pour le fluide entropique la composante attachée aux flux de chaleur. Il manque dans l'exposé les transferts de matière. Donc dans le contexte de la supraconductivité il n'y a pas de transfert de chaleur (qui doit être nul mais transport de matière) et J doit representer un transfert de matière.

    Si tout n'est pas adiabatique, on prend en compte la non-conservation de l'entropie ainsi que celles des densités particulaires (qui peuvent changer en raison de réactions), exactement de la même façon...
    .
    Ca me semble cohérent avec ce que j'ai écrit ci-dessus.

    [edit] beaucoup de choses autour de ça ont été développées par Brandon Carter... certaines sont illustrées dans cet article où tout ça est appliqué à la dynamique de superfluides relativistes.
    Merci pour cet article. Je l'ai rajouté dans ma collection à la rubrique étoile a neutron. Aurais-tu un article a me conseiller qui argumente en faveur de la supra dans les objets astrophysiques (supra de type II ?-Pourquoi etc...). Je suppose que c'est pour les mêmes raisons que l'appariement dans les noyaux.

  22. #18
    Anacarsis_47

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Salut Mariposa,

    as-tu lu les travaux de Prigogine sur le sujet? La notion de flux entropique y est abordée de façon générale (avec son théorème du minimum de production d'entropie) et les équation de conservation de flux y apparaissent à mon avis du moins de façon assez intuitive... Un très bon livre sur le sujet est celui de Vidal, Borckmans et al. Sorry je ne me rappelle pas du titre... je n'ai hélàs plus ce livre chez moi....

    cordialement.

    Anacarsis.

  23. Publicité
  24. #19
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Anacarsis_47 Voir le message
    Salut Mariposa,

    as-tu lu les travaux de Prigogine sur le sujet? La notion de flux entropique y est abordée de façon générale (avec son théorème du minimum de production d'entropie) et les équation de conservation de flux y apparaissent à mon avis du moins de façon assez intuitive... Un très bon livre sur le sujet est celui de Vidal, Borckmans et al. Sorry je ne me rappelle pas du titre... je n'ai hélàs plus ce livre chez moi....

    cordialement.

    Anacarsis.
    Bien sur que j'ai lu les travaux de Prigogine. J'ai découvert son livre structure stabilité er fluctuations en 1972, il y a donc 36 ans,un pur régal.
    ;
    Sinon le théorème de production minimal d'entropie n'est pas l'oeuvre de Prigogine mais de Onsager, si je ne me trompes.
    ;
    Merci pour les références que tu donnes que je ne connais pas.

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    La température n'est pas rajoutée a la main. elle résulte directement du calcul. J'ai développé en détail le cas du gradient de température au post de 19H19.
    ;
    Ultérieurement je développerais le cas du gradient de potentiel. En fait il suffit de transposer le cas du gradient de température.
    Bonjour,

    Je cherche à comprendre le fond du calcul. Dans les exemples donnés, on peut très bien ignorer dans un premier temps la température, et essayer de comprendre le produit d'un gradient par un flux.

    Interprétation générique. Le gradient est celui d'un potentiel, le potentiel à un endroit représentant l'énergie d'un "quelque chose" à cet endroit. Le flux est celui d'un "quelque chose" par unité de temps et de surface. Le produit est de l'énergie par unité de volume et par unité de temps (typiquement un terme temporel de 4-densité d'énergie).

    Ensuite, comme l'énergie est conservative, elle doit bien aller quelque part; on doit donc pouvoir, au moins pour les cas simples, appairer les termes.

    Voyons si ça colle avec les exemples:

    Exemple1:

    La dissipation joule s’écrit U.I soit en unités normalisées J.grad.V

    [P] = (1/T).grad.V.J
    L'énergie sous forme électrique (travail) se transfère en chaleur. gradV.J apparaît comme une quantité d'énergie électrique transformée en chaleur par unité de volume. En écrivant Q la quantité de chaleur créée par unité de temps et de volume, on a par conservation de l'énergie Q=gradV.J. On peut réécrire

    [P] = (Q/T) - gradV.J/Te, avec Te= infini

    La dimension de P est une densité d'entropie, ou plutôt une densité de création d'entropie.

    Exemple 2:

    On montre qu’en présence d’un gradient de température:

    [P] = (1/T). grad.T. dQ/dt
    gradT.dQ/dt a pour dimension énergie x température par unité de temps. C'est très différent du premier cas, et la signification physique n'est pas claire. Divisé par la température on n'obtient rien qui ressemble à de l'entropie.



    Exemple 3 :

    Un travail de changement de volume produit de l’entropie.

    On écrira :

    [P] = (1/T).grad.P.dv/dt
    La dimension est dans ce cas encore autre chose. gradP.dV/dt à pour dimension une énergie par unité de longueur et de temps. Qui plus est le produit scalaire est difficile à comprendre, le volume n'étant pas de rang 1.

    On doit pouvoir se ramener à quelque chose de similaire à l'exemple 1 en prenant le produit de gradP avec une quantité vectorielle de dimension l'inverse d'un temps, quelque chose comme (dΔx/dt, dΔy/dt, dΔz/dt) où (Δx, Δy, Δz) sont les dimensions d'un parallélépipède. C'est peut-être ce qu'il faut comprendre dans le "dV/dt" de la formule.

    Autre approche, si on interprète le Δx comme x1-x2, xi étant la coordonnée d'une face, l'idée est encore plus claire, en rapport avec les coordonnées particulaires; c'est la divergence du champ de vitesse. Peut-être faut-il lire dv/dt comme div v, v étant la vitesse?

    Si c'est le cas, c'est comme l'exemple 1, c'est de la chaleur créée, et on peut voir [P] comme une création d'entropie en considérant la différence de variation d'entropie, en prenant T infinie pour une consommation ou une création de travail.

    Cordialement,

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    On doit pouvoir se ramener à quelque chose de similaire à l'exemple 1 en prenant le produit de gradP avec une quantité vectorielle de dimension l'inverse d'un temps, quelque chose comme (dΔx/dt, dΔy/dt, dΔz/dt) où (Δx, Δy, Δz) sont les dimensions d'un parallélépipède.
    Lire "de dimension une longueur divisée par une durée (une vitesse)".

    Autre approche, si on interprète le Δx comme x1-x2, xi étant la coordonnée d'une face, l'idée est encore plus claire, en rapport avec les coordonnées particulaires; c'est la divergence du champ de vitesse. Peut-être faut-il lire dv/dt comme div v, v étant la vitesse?
    Et ça c'est peut-être bien n'importe quoi... Pas le temps de réfléchir plus et corriger...

    Cordialement,

  27. #22
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message



    gradT.dQ/dt a pour dimension énergie x température par unité de temps. C'est très différent du premier cas, et la signification physique n'est pas claire. Divisé par la température on n'obtient rien qui ressemble à de l'entropie.
    Bonjour,

    Il manque un facteur T au dénominateur (coquille regrettable). J'ai donc corriger au post 7# et en donnant les calculs détaillés et commentaires d'accompagnement pour dégager le sens physique..

  28. #23
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message

    La dimension est dans ce cas encore autre chose. gradP.dV/dt à pour dimension une énergie par unité de longueur et de temps. Qui plus est le produit scalaire est difficile à comprendre, le volume n'étant pas de rang 1.

    On doit pouvoir se ramener à quelque chose de similaire à l'exemple 1 en prenant le produit de gradP avec une quantité vectorielle de dimension l'inverse d'un temps, quelque chose comme (dΔx/dt, dΔy/dt, dΔz/dt) où (Δx, Δy, Δz) sont les dimensions d'un parallélépipède. C'est peut-être ce qu'il faut comprendre dans le "dV/dt" de la formule.
    Bien vu. J'ai effectivement fait le calcul a 1 dimension (suivant x et j'ai remplacé dP/dx par gradient P ce qui n'est pas correcte. Il faudra corriger çà.
    Merci.

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Il manque un facteur T au dénominateur (coquille regrettable). J'ai donc corriger au post 7# et en donnant les calculs détaillés et commentaires d'accompagnement pour dégager le sens physique..
    Bonsoir,

    Je me serais plutôt attendu à une modification faisant apparaître le gradient de 1/T. Mais grad(T)/T², c'est la même chose, au signe près...

    L'écriture en grad(1/T) est peut-être plus intéressante pour le sens physique...

    A toi de voir!

    Cordialement,

  30. Publicité
  31. #25
    Anacarsis_47

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Sinon le théorème de production minimal d'entropie n'est pas l'oeuvre de Prigogine mais de Onsager, si je ne me trompes.
    .
    non non, c'est bien l'oeuvre de Prigogine, il a publié cela en 1950, c'était sa thèse...

  32. #26
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Anacarsis_47 Voir le message
    non non, c'est bien l'oeuvre de Prigogine, il a publié cela en 1950, c'était sa thèse...
    Très bien. merci du renseignement.

  33. #27
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Bonsoir,

    Je me serais plutôt attendu à une modification faisant apparaître le gradient de 1/T. Mais grad(T)/T², c'est la même chose, au signe près...

    L'écriture en grad(1/T) est peut-être plus intéressante pour le sens physique...

    A toi de voir!

    Cordialement,
    Bonsoir,

    Le choix de présentation est de faire apparaitre une présentation homogène des produits sous la forme:

    ................F.X

    où F est la force généralisée qui ai l'aspect: 1/T .gradient de quelquechose.

  34. #28
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Bonsoir,

    Le choix de présentation est de faire apparaitre une présentation homogène des produits sous la forme:

    ................F.X

    où F est la force généralisée qui ai l'aspect: 1/T .gradient de quelquechose.
    Bonjour,

    C'est un choix. Sur la base de ce que j'ai à ma disposition, et pour mon "sens physique", la création d'entropie du deuxième exemple serait mieux sous la forme



    est un courant de chaleur, dont la dimension est l'énergie par unité de surface et de temps (le flux de chaleur à travers une surface est ).

    Ca parle très bien sous cette forme.

    ---

    Si on remonte au transfert énergétique (c'est à dire sans le facteur 1/T), et si on considère que , le courant de chaleur, est l'effet d'un gradient de quelque chose, le quelque chose doit être sans dimension (pour que le produit soit de dimension une densité chronovolumique d'énergie). Ce gradient doit pouvoir se mettre sous la forme , la solution semble être (ce qui restaure le signe). La "cause" du transfert de chaleur se présenterait alors comme .

    Evidemment, ça ne colle pas avec ce que tu présentes, puisque dans ta présentation la "force généralisée" a en facteur le terme 1/T. Perso, le facteur 1/T n'a de sens que pour la production d'entropie. En terme de cause et d'effet, je ne vois pas trop ce qu'il fait là. En particulier, lors d'une conversion énergie électrique en énergie de mouvement (c'est à dire travail en travail), on ne voit pas trop l'intérêt d'introduire la température.

    C'est juste ma manière de comprendre. Pour ce que ça vaut...

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 30/03/2008 à 06h47.

  35. #29
    mariposa

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Bonjour,

    C'est un choix. Sur la base de ce que j'ai à ma disposition, et pour mon "sens physique", la création d'entropie du deuxième exemple serait mieux sous la forme



    est un courant de chaleur, dont la dimension est l'énergie par unité de surface et de temps (le flux de chaleur à travers une surface est ).

    Ca parle très bien sous cette forme.
    ---
    bonjour,

    Ce que tu écris est juste physiquement, mathématiquement et aisément compréhensible physiquement.
    .
    Le problème vient de la manière de distribuer le facteur 1/T2 qui résulte du calcul.
    .

    Il faut avoir en perspective le fait qu'il s'agit d'écrire une équation locale dans laquelle on relit la production d'entropique au courant de densité entropique qui apparait sous la forme d'une divergence. Et là tu n'as plus de choix:

    il faut faire apparaitre l'expression 1/T.dQ/dt et non dQ/dt

    Si 1/T.dQ/dt est un courant généralisé alors la force généralisée "conjuguée" est:

    1/T.gradT

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    D'ailleurs il y a une manière simple de voir la différence "stratégique" entre dQ/dt et 1/.dQ/dt qui sont liés respectivement au premier et second principe

    .
    Dans un contexte purement thermique on écrit:

    Cv.dT/dt = dQ/dt

    qui est également une équation locale sans source et traduit le fait qu'un flux de chaleur fait varier la température. C'est une expression rattachée au niveau du premier principe de la thermodynamique. on note que dQ peut avoir n'importe quel signe.
    .
    A contrario l'équation locale du second principe montre que la variable pertinente est 1/T/dQ/dt et du coup montre les origines de la source de chaleur qui apparait dans le premier principe sous la forme d'une production d'entropie dont les origines sont diverses.
    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  36. #30
    invité576543
    Invité

    Re : thermodynamique irreversible et fluide entropique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    .
    A contrario l'équation locale du second principe montre que la variable pertinente est 1/T/dQ/dt et du coup montre les origines de la source de chaleur qui apparait dans le premier principe sous la forme d'une production d'entropie dont les origines sont diverses.
    Ca choque mon sens physique que de parler d'un transfert d'entropie (dQ/T a la dimension de l'entropie) créé par un gradient de température. Un transfert de chaleur créé par un gradient de température (ou de log(T), c'est fonctionnellement pareil), ça fait sens quand on met cela en parallèle avec un transfert de charge créé par gradient de potentiel, ou un transfert de volume créé par un gradient de pression, ou un transfert positionnel d'espèce chimique créé par un gradient de concentration.

    Mais c'est vrai que le transfert de la chaleur est un cas difficile, la température jouant plusieurs rôles à la fois, ce qui ne s'applique pas aux autres cas.

    Cordialement,

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