Invariance de l'intervalle en relativité restreinte

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai vu une démonstration de l'invariance de l'intervalle par changement de référentiel galiléen en relativité restreinte, et il y a un point que je ne comprends pas :

En considérant les référentiels galiléens K et K', on cherche une relation entre ds et ds'. Il est dit que, puisque ds et ds' sont du même ordre de petitesse et que si ds=0 alors ds'=0, alors ds² et ds'² doivent être proportionnels.

Je ne comprends pas cet argument ; pourquoi devrions-nous avoir ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Simontheb]

Hum, je suppose que ce serait plutôt une relation de type , non?

Ainsi, et comme ds' est une différentielle, a.ds' aussi, ce qui est cohérent.

[Seirios]

Oui, c'est une faute de frappe, j'aimerais savoir par quel raisonnement l'on trouve que .

[Simontheb]

A-t-il été établi que ?

Si oui, c'est, à mon avis, le même raisonnement qu'au début de la démonstration d'Einstein dans son petit livre. En fait, je pense qu'on peut formuler ça comme ça: si on pose ds comme une fonction de ds', soit , on a . Dès lors, on doit pouvoir factoriser f sous la forme . Et comme , est un différentielle, c'est à dire que est une différentielle. On voit ici que doit être un scalaire. D'où la relation: avec

J'espère que c'est bien ça que tu demandais.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Dès lors, on doit pouvoir factoriser f sous la forme .

Je suis d'accord avec ce que tu as écrit, mis à part ce point, qui me paraît manqué de rigueur.

Y a-t-il un argument solide pour appuyer cette affirmation ?

[Simontheb]

Je ne vois pas d'argument totalement rigoureux sur ce point. Mais n'est-ce pas du ressort de l'algèbre?

[Simontheb]

Hum quoique... On a f(0) = 0 et pour ds' très petit, on a
,
soit pour ds' très petit et f '(0) = a:

Maintenant comme ds' est infinitésimal, cette approximation n'en est pas une:


Tu es d'accord? Moi ça me parait élégant.

[Seirios]

Je reformulerais ton argument ainsi : on a , or dans la suite du développement, on trouvera des ds' avec des puissances, ce qui ne se peut pas puisque ds est une différentielle d'ordre un (d'où l'argument de même ordre de petitesse que j'évoquais dans mon message initial), et donc . On sous-entend ici certaines hypothèses sur la dérivabilité de f, mais on est en physique, cela ne devrait pas être trop gênant

Merci pour ton aide

[Simontheb]

En effet, pas bête. Par simple curiosité, aurais-tu le lien de la démonstration de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps ?
Ça m'intéresse...

[Seirios]

Je viens de voir qu'elle a été retranscrite sur wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Interva...mps#Invariance (première démonstration). La démonstration est tirée du cours de théorie des champs de Landau et Lifchitz.

[Simontheb]

Merci, je ne connaissais pas cette démonstration.

[LoicM]

Bonjour,

En lisant la démo dans Wikipedia, http://fr.wikipedia.org/wiki/Interva...mps#Invariance et en revenant à la source dans Landau-Lifchitz (§2 de "Théorie des champs"), il y a un passage qui me semble manquer d'explication : de la démonstration qu'un intervalle de genre lumière est nul dans tout référentiel ((2.2) de Landau), il déduit que pour tout intervalle entre deux évènements quelconques, ds = 0 dans un référentiel => ds'=0 dans tout référentiel.

Il est vrai que ds=0 pour des évènements séparés par un intervalle qui n'est pas de genre lumière semble impliquer qu'on a deux évènements confondus et donc un seul événement qui est aussi alors un seul et même évènement pour tout observateur, ( un "point" de l'espace-temps), et que cela étant complété par la démonstration donnée pour l'intervalle de genre lumière, on couvre tous les types d'intervalles nuls. Est-ce cela qu'il faut comprendre d'après vous?

Cordialement,

LoicM