La relativite: quadrivecteur

[morpho314]

Bonjour,
Voila je voudrais poser 2 questions:
1) Qu'est ce que c'est un quadrivecteur ?
2) Comment le reconnait - on?
Par exp (3,4,7,c²) est il un quadrivecteur ? pourquoi (p,E/c) est un quadrivecteur (quadrivecteur impulsion-energie) ??

Merci.

[kognou]

1) Qu'est ce que c'est un quadrivecteur ?

C'est un vecteur Newtonien avec une coordonnée de plus. Cette coordonnée supplémentaire "temporelle" rend compte que espace et temps sont "mêlés" dans l'espace-temps.

2) Comment le reconnait - on?
Par exp (3,4,7,c²) est il un quadrivecteur ? pourquoi (p,E/c) est un quadrivecteur (quadrivecteur impulsion-energie) ??

Il faut qu'il soit homogène. Exemple :
si x,y,z ont la dimension d'une longueur, que c est une vitesse et t un temps, (x, y, z, ct) est un quadrivecteur.

(p, E/c) en est un aussi car la dimension de p est homogène à celle de E/c.

Cordialement.

[Skippy le Grand Gourou]

(p, E/c) en est un aussi car la dimension de p est homogène à celle de E/c.

Sous-entendu bien sûr : p = = (p_x, p_y, p_z).

[morpho314]

Merci de vos reponse. Mais je ne comprends pas toujours. ce que je ne comprends pas c'est qu' en donnant un vecteur (de R^4) par exp V=(a,b,4,6d) comme ca, comment puis je savoir que V est un quadrivecteur? bon voila ma question:
comment demontrer un vecteur de R^4 V=(a,b,c,d) donne, est un quadrivecteur ?
On sait que X=(x,y,z,ct) est un quadrivecteur (par definition) mais pourquoi P=(p,E/c) est aussi un quadrivecteur ? et celui ci Q=(p,E²/c²) est il un quadrivecteur ? (pourqui 'oui', pourquoi 'non' )

[Rincevent]

pour comprendre ça il faut faire appel à la définition "physicienne" d'un vecteur. Par exemple, en physique newtonienne, il te viendrait jamais à l'idée de parler de vecteur pour (E1=mc^2, E2=k T, E3 = q V), pourtant les trois quantités sont homogènes.

C'est parce que du point de vue physicien, on repère un vecteur en regardant comment ce comporte un ensemble de nombres par changement de référentiels. C'est-à-dire en comparant les points de vue de deux observateurs différents.

Les 3 composantes d'un vecteur force forment un vecteur car tu sais que si tu fais un changement de base (par rotation par exemple), les différentes composantes du vecteur vont pas changer n'importe comment : leur composantes sont liées par une matrice de rotation.

Dans le cas d'un quadrivecteur, c'est exactement pareil. Tu prends deux observateurs dont les systèmes de coordonnées sont liés par une transformation de Lorentz : étant données les composantes d'un quadrivecteur pour un observateur, celles mesurées par l'autre observateur devront être liées aux premières elles-aussi par une TF.

regarde par exemple :

http://forums.futura-sciences.com/thread35926.html

[morpho314]

Je pense que je me suis mal exprimé. voila le probleme:
soit E=(R^4,ds) avec ds²=dx²+dy²+dz²-c²dt² on sait que X=(x,y,z,ct) est qdt (quadrivecteur) et que dX/ds est aussi un qdt , d'autre part si A un qdt alors LA est aussi un qdt (L=transformation de Lorenzt)
mon probleme est :
etant donné B=(a,b,c,d) comment je peux savoir si B est un qdt ou non?
si je calcule LB je tombe sur B' (B'=LB) et alors??? cela ne prouve pas que B est un qdt !!!

[gatsu]

Je pense que je me suis mal exprimé. voila le probleme:
soit E=(R^4,ds) avec ds²=dx²+dy²+dz²-c²dt² on sait que X=(x,y,z,ct) est qdt (quadrivecteur) et que dX/ds est aussi un qdt , d'autre part si A un qdt alors LA est aussi un qdt (L=transformation de Lorenzt)
mon probleme est :
etant donné B=(a,b,c,d) comment je peux savoir si B est un qdt ou non?
si je calcule LB je tombe sur B' (B'=LB) et alors??? cela ne prouve pas que B est un qdt !!!

Si B n'est pas un quadrivecteur alors a,b,c,d ne correspondent en fait pas à des composantes d'un vecteur sur une base de E c'est à dire que si on essaie d'exprimer a',b',c',d' (dans une autre base) en fonction de a,b,c,d, on a pas (comme l'a dit Rincevent) la relation de changement de base des composantes:
(1)
Donc en raisonnant de façon inverse et en y incluant le pseudo produit scalaire, un quadrivecteur est une entitée mathematique caractérisée par 4 nombres réels (a,b,c,d) qui vérifie (à l'aide d'un quadrivecteur X=(x,y,z,t) connu) la relation:
ax+by+cz-dt=a'x'+b'y'+c'z'-d't'

[morpho314]

un quadrivecteur est une entitée mathematique caractérisée par 4 nombres réels (a,b,c,d) qui vérifie (à l'aide d'un quadrivecteur X=(x,y,z,t) connu) la relation:
ax+by+cz-dt=a'x'+b'y'+c'z'-d't'

Ok. (a,b,c,d) je l'ai (c'est donné) mais comment trouve -t- on (x',y',z',ct') pour verifier ax+by+cz-dt=a'x'+b'y'+c'z'-d't' c'est ma question depuis au debut !!!

[gatsu]

ba vu que tu pars du fait que (x,y,z,ct) sont le composantes d'un quadrivecteur, pour passer dans le repere R' tu appliques la transformation de lorentz à (x,y,z,ct).

[Seirios]

Salut à tous,
avec tous ça vous me mettez l'eau à la bouche, j'aimerai savoir en quelle année on étudie les quadrivecteurs, pour que je puisse aller jeter un coup d'oeil sur le programme.
Merci d'avance

[BioBen]

avec tous ça vous me mettez l'eau à la bouche, j'aimerai savoir en quelle année on étudie les quadrivecteurs, pour que je puisse aller jeter un coup d'oeil sur le programme.

La relativité restreinte ca s'étudie en L3. Mais bon rine en t'empeche de faire un dossier dessus (dans le cadre des TIPE en prépa, et de la culturé générale en fac).

Il faut avoir un niveau de Terminale S pour pouvoir aborder mathématiquement la relativité restreinte, en partant des postulats de base et en redérivant tout (transformations de Lorentz et compagnie). Après suffit de connaitre la définition d'un quadrivecteur pour "reformuler" tout ca avec.

Le passage à la formulation tensorielle c'est legerement plus chaud, j'ai pas encore eu le temps de m'y mettre, faudrait que je le fasse (enfin les notations ont l'air un peu chelou ).

[Seirios]

La relativité restreinte ca s'étudie en L3. Mais bon rine en t'empeche de faire un dossier dessus (dans le cadre des TIPE en prépa, et de la culturé générale en fac).

Ah...bon ba se sera pour un peu plus tard, pour l'année prochaine pourquoi pas, je n'ai pas encore le niveau de terminal en math.
Merci pour la réponse
Phys2

[morpho314]

En fait je viens de trouver la reponse:
si on designe : X=(ct,x,y,z) et X'=(ct',x',y',z') et L la transformation de Lorenzt: on a: X'=LX
soit A(a,b,c,d) un vect de R^4 , on calcule:
a(ct',x',y',z') on trouve une autre fonction en (ct,x,y,z) par exp: u(ct,x,y,z) meme chose pour les autres composantes.

a(ct',x',y',z')=u(ct,x,y,z)
b(ct',x',y',z')=k(ct,x,y,z)
c(ct',x',y',z')=w(ct,x,y,z)
d(ct',x',y',z')=q(ct,x,y,z)

soit B(u,k,w,q) si B=LA alors A est un quadrivecteur. c'est tout !!!

Autrement dit lorsqu'on fait un changement de repere R en R' (X en X'), A se transforme en B comme les X en X' cad B=LA (comme X'=LX) où B(ct,x,y,z)=A(ct',x',y',z')