La relativité restreinte démystifiée

[invite3808862e]

Bonjour,

Merci aux lecteurs volontaires de faire des remarques (un coucou à Deedee81 et Amanuensis et mariposa et tous les autres)

OK.

Je propose une formulation simple de la relativité restreinte. On va comprendre que pour un unique expérimentateur, cela n'a pas de sens de dire que le temps de la relativité est différent de celui de la physique classique : c'est lorsqu'on veut utiliser la datation des évènements par un expérimentateur pour deviner le temps propre s'écoulant effectivement au sein de différentes autre horloges que la sienne qu'il apparait une différence.

Soit un expérimentateur inertiel. Définir son référentiel c'est préciser les lignes d'univers des points matériels qui lui paraissent continument immobiles (l'ensemble de ces trajectoires constitue son espace physique). Il lui est fondamentalement associé une horloge numérique intrinsèquement régulière qui mesure son temps propre et un espace vectoriel réel de dimension trois pour identifier les directions dans lesquelles se trouve les points de son espace physique et pour définir les vecteurs d'espace entre tous les couples de tels points.

Il utilise des systèmes de coordonnées dans le but de nommer et de différencier les évènements, et il définira certains d'entre eux comme étant cartésiens : ce sont ceux qui sont tels que la date d'un évènement est la moyenne arithmétique des dates d'émission et de réception (par lui) d'un signal électromagnétique est réfléchi en l'évènement en se propageant dans le vide, et les coordonnées spatiales sont les composantes dans une certaine base de son espace vectoriel du vecteur d'espace définit par une origine choisie de son espace physique et le lieu où se produit l'évènement.


Exemples

Si est un système de coordonnées cartésien de , on peut lui associer différents autres par les correspondances suivantes :

1/
C'est encore un système de coordonnées cartésien : il a juste modifié l'unité des durée et la base de son repère d'espace.

2/
Les coordonnées spatiales ne sont plus cartésiennes mais la coordonnée temporelle le reste.

3/
Les coordonnées spatiales sont cartésiennes mais la coordonnée temporelle ne l'est plus.

4/
Les coordonnées spatiales et temporelles ne sont plus cartésiennes.

peut choisir d'utiliser un système de coordonnées reconnu comme étant cartésien par un autre que lui et plus généralement toute application bijective définie sur est admissible (on se doute qu'il devra adapter la formulation de la dynamique à son choix arbitraire)


Qu'est ce qu'un système de coordonnées cartésien a de spécial ?

A/

Tout expérimentateur peut définir un système de coordonnées cartésien parce que, étant donné que des lois empiriques et fondamentales en physique décrivent le mouvement d'un signal électromagnétique comme étant indépendant de celui de la source, les temps d'émission et de réception qui lui permettent de dater les évènements de façon cartésienne sont uniquement déterminés.

Mathématiquement, si et sont deux expérimentateurs (éventuellement identiques) qui sont munis chacun d'un système de coordonnées cartésien relatif à une base orthonormée de son espace espace physique, alors la bijection qui réalise la correspondance entres systèmes est telle que sa matrice différentielle soit toujours élément du groupe de Poincaré et le vecteur vitesse dans l'espace physique de d'un point matériel qui est continument immobile dans l'espace physique de s'écrit :



Si est une fonction constante alors on peut mathématiquement confondre (superposer) les espaces physique de et mais on doit distinguer les produits scalaires définissant les structures euclidiennes de ces espaces affines tridimensionnels. Ainsi un repère d'espace qui est orthonormé pour l'un peut être au plus orthogonal pour l'autre (la notion populaire de contraction des longueurs de Lorentz permet de prévoir ce fait).

B/

Si tous les expérimentateurs utilisent les mêmes étalons des durées et des distances spatiales (leurs horloges numériques sont identiques et ils choisissent d'utiliser la même constante pour représenter la vitesse de propagation d'un signal électromagnétique dans le vide) alors pour chacun d'eux, la résultante des forces qui s'exercent sur une particule élémentaire de masse inerte s'écrit :



De plus dans le référentiel d'une particule élémentaire électriquement chargée dont le mouvement est inertiel, la force qu'elle exerce sur une quelconque autre charge électrique est celle de Coulomb :



Il n'y a rien d'étrange dans cette loi qui exprime seulement que tous les référentiel inertiel sont équivalents pour l'énoncé des lois de l'électrostatique le le principe d'équivalence d'Albert Einstein enseigne que cette propriété n'est pas localement affectée par la gravitation (parce que tous les corps tombent).


Quels sont les résultats ?

Si une distribution de charges est animée d'un mouvement de translation uniforme dans un référentiel inertiel alors ce référentiel observe que les vecteurs champs associés à cette distribution sont de nature électromagnétique (agissent sur une particule test suivant la force de Lorentz) et sont solution des équations de Maxwell dites dans le vide.

Habituellement, pour décrire les champs générés par une particule accélérée dans un référentiel inertiel (localement dans un ascenseur d'Einstein), on postule qu'ils sont encore de nature électromagnétique (agissent sur une particule test suivant la force de Lorentz) et solution des équation de Maxwell dans le vide (dans le paragraphe précédent c'était un résultat et pas une hypothèse).

Pour en savoir plus il y a un pdf que je fourni sur demande (sans frais pour le moment).


Et l'espace vectoriel quadridimensionnel ou la variété Plate enseigné en relativité restreinte ?


Le formalisme quadridimensionnel de la relativité restreinte est conçu pour expliquer transformation de Lorentz par des propriétés géométrique d'un espace mathématique qui contient bien plus que le réalisme physique. Un unique expérimentateur ne saurait modéliser son espace physique par un espace vectoriel de dimension quatre car il ne peut pas observer un point matériel se déplacer suivant une quelconque direction de cet espace mais la transformation de Lorentz peut être vue comme étant réalisée entre certaines bases définies comme étant orthonormées. Pour définir en plus le temps propre d'une horloge accélérée en relativité restreinte on utilise habituellement une variété pseudoriemannienne plate :

1/ Le vecteur tangent à une courbe paramétrée par la variable en un évènement est la forme linéaire qui a pour argument les fonctions scalaires définies sur les ouverts contenant l'évènement et qui est telle que . Une fonction bijective du paramétrage donne un autre paramétrage et il faut utiliser des paramétrages ayant une certaine régularité pour donner un sens au scalaire (on peut utiliser des paramétrages qui sont des fonctions régulières des temps propres dans les cas des trajectoires matérielles)

2/ Les espaces tangents étant munis des tenseurs métriques, le temps propre d'une trajectoire matérielle est l'intégrale de la norme des vecteurs tangents.



Cordialement
Rommel Nana Dutchou
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[obi76]

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