Mécanique Quantique

[invitee9efe10e]

Bonsoir!

Je rencontre un problème lors de la résolution d'un petit exercice.

Soit un opérateur A tel que :

• A|1> = a|1> + ib|2>

• A|2> = -ib|1> + a|2>

Dont on exprime la matrice : A = (a -ib ; ib a)

Le but est de déterminer les valeurs propres et les états propres de cette matrice.

Pour les états propres, pas de problème, on trouve (a+b) et (a-b).

Par contre, concernant les états propres, je ne sais pas comment m'y prendre. S'agit-il de calculer les vecteurs propres?

J'ai la correction qui est :

• |+> = (1/√2)|1> + (i/√2)|2>

• |-> = (1/√2)|1> - (i/√2)|2>

D'où sort les |+> et |-> ? Représentent-ils les valeurs propres ?

Pourriez-vous me mettre sur la voie pour retrouver la correction ?

Merci d'avance!!
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[albanxiii]

Bonjour,

Oui, les états propres sont les vecteurs propres. Vous pouvez les déterminer par la technique habituelle, , sans oublier de les normaliser ensuite (on utlise quasiment toutle temps des états propres normalisés, orthonormaux ici puisque la matrice est hermitienne).

Bonne soiree.

[invitee9efe10e]

Merci beaucoup albanxiii!!

Et concernant |+> et |->, représentent-ils bien les valeurs propres ?

[AbbasBadre]

Salut,
|+> et |-> representent les vecteurs propres associés à l'operateur A.. On peut les determiner par le resolution de AX=[lambda]X..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee9efe10e]

Merci pour ta réponse AbbasBadre!!

Mon problème, c'est que, partant de ce principe, je ne retombe pas sur la solution.

Voilà ce que j'ai :

• |+> = (|1> ; i|1>)

• |-> = (|1> ; -i|1>)

Du coup, il me reste à les normaliser.

J'imagine obtenir quelque chose comme :

• |+> = (1/√2)|1> + (i/√2)|1>

• |-> = (1/√2)|1> - (i/√2)|1>

Je me retrouve à tout exprimer en fonction de |1> seulement (ou de |2> suivant le calcul).

Comment parvenir à exprimer |+> et |-> en fonction de |1> et |2> en même temps ?

[albanxiii]

Bonjour,

Je me retrouve à tout exprimer en fonction de |1> seulement (ou de |2> suivant le calcul).

C'est que votre calcul est faux.

Comment parvenir à exprimer |+> et |-> en fonction de |1> et |2> en même temps ?

En faisant comme on vous l'a dit DEUX fois : résoudre l'équation où est UNE valeur propre et un vecteur propre (ce que vous cherchez). Cette équation vous donne un système de deux équations à eux inconnues (les composantes de ), et il y a deux systèmes comme ça à résoudre car il y a deux valeurs propres.

Peut-ête qu'un petit coup d'oeil sur un cours d'algèbre linéaire élémentaire s'impose là....

Bonne journée.

[AbbasBadre]

Salut Aon

Les etats |1> et |2> representent la base d'etude, les vecteurs propres obtenus (|+> et |->), il faut les representer par une combinaison lineaire des vecteurs dans cette base, ça nous donne que |+> ou |-> est une matrice colonne dans la base {|1> , |2>},C.à.d. X = x|1> + y|2>; alors après resoudre AX=[lambda]X :
|+> = (1/√2)|1> + (i/√2)|2>
|-> = (1/√2)|1> - (i/√2)|2>

Bonne journée..

[invitee9efe10e]

Après une piqûre de rappels sur mes anciens cours de math, je me suis rendu compte que je me trompais lors de la résolution de l'équation AX=[lambda]X.

Enfin bref, du temps perdu pour rien.

Merci pour vos réponses qui m'ont permis de réaliser mon erreur.

Bonne journée..