Champ electromagnétique et Relativité restreinte

[Palmer Eldritch]

Bonsoir.
Depuis quelques temps, mes connaissances récentes, aquises dans le domaine de l'éléctromagnétismes me posent problème, et à ce problème, je pense que vous aurez peut etre solutions !
Donc, le voici : si on considère une charge éléctrique animée d'une vitesse uniforme, par rapport à un observateur, la charge est perçue par l'observateur comme un courant electrique, L'Observateur détécte donc conformément aux lois de l'éléctromagnétisme, un champ éléctrique, et un champ magnétique, engendré par le courant éléctrique. Bon, maintenant plaçons nous dans le referentiel charge, c'est à dire déplaçons nous en meme temps qu'elle,en suivant son mouvement, nous constatons alors que le champ engendré par celle-ci est un champs éléctrique uniquement (puisqu'on est dans le ref charge).
Or, l'éléctromagnétisme est un principe physique, et la théorie de la relativité restreinte dit que les propriétés physiques sont partout les meme quelque soit le referentiel d'étude. Ce n'est pas le cas avec la charge ....
Eclairez-mvite !
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[Amanuensis]

Pourtant ce que vous avez décrit est bien la même chose.

La loi qui lie la vitesse aux champs électriques et magnétiques dans le premier cas est bien la loi qui lie la transformée de la vitesse à la transformée du champs électrique et la transformée du champs magnétique dans le second cas, "transformée" signifiant l'application de la transformation de Lorentz ou de son adaptation.

En 4D, la loi est plus simple, elle lie directement la 4-vitesse au champs électro-magnétisme qui est un objet 4D unique (un tenseur d'ordre 2).

[Deedee81]

Salut,

Une petite précision. La relativité restreinte ne dit pas que les propriétés physiques sont partout les mêmes quel que soit le référentiel d'étude (par exemple, l'énergie cinétique dépend du référentiel considéré). Elle dit que les lois physiques sont indépendantes du référentiel (inertiel dans le cas de la relativité restreinte) et donc que leur formulation doit être indépendante du référentiel. Ce n'est pas la même chose.

[Amanuensis]

Toute la subtilité est dans "propriétés physiques". La décomposition du champ électro-magnétique en un champ électrique d'une part, un champ magnétique d'autre part, n'est pas une propriété physique du champ électro-magnétique. Mais c'est une propriété physique du couple (champ électro-magnétique, référentiel) (1).

Quand on parle de "propriété physique", faut préciser de quoi est-ce une propriété. Et ne pas l'attribuer à mauvais escient.

(1) Et, de même, la décomposition en facteur gamma et vitesse spatiale n'est pas une propriété physique d'un "mouvement" (d'une trajectoire 4D), mais c'est une propriété physique du couple (4-vitesse = 4-vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire, référentiel).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nicophil]

Bonjour,

et la théorie de la relativité restreinte dit que les propriétés physiques sont partout les mêmes quel que soit le référentiel d'étude.

Ca c'est le principe de relativité, déjà postulé dans la théorie galiléenne de la relativité.

Le conflit entre les lois de Maxwell-Lorentz et la théorie galiléenne de la relativité a éclaté au niveau de la transformation (de référentiel R à référentiel R').
En remplaçant la transformation galiléenne par la TL (transformation de Lorentz), on concilie le principe de relativité et les lois de Maxwell-Lorentz.

[Nicophil]

par la TL, on concilie

"on", c'est Poincaré (en mathématicien), sur une idée de Lorentz (physicien).
Minkowski (mathématicien) inventa un formalisme mathématique particulièrement élégant (géométrie).

[Deedee81]

Toute la subtilité est dans "propriétés physiques". La décomposition du champ électro-magnétique en un champ électrique d'une part, un champ magnétique d'autre part, n'est pas une propriété physique du champ électro-magnétique.

Ah oui, bien vu, il y a un petit problème de vocabulaire là. On n'utilise pas tout à fait les mêmes définitions (je parle plutôt de propriétés intrinsèques ou pas). Mais j'ignore ce qui est d'usage le plus courant (c'est rarement expliqué explicitement). J'ai l'impression qu'il y a encore un flou artistique dans l'usage de ce vocabulaire dans la littérature. Un de plus.

[kalish]

Je ne suis pas sûr qu'il ait compris vos réponses, alors je tente la mienne, je ne garantis pas que ce sera mieux.
La relativité restreinte et les transformations associées, les transformations de lorentz, permettent de calculer un champ électrique et un champ magnétique dans un référentiel à partir des champs électriques et magnétiques dans un autre référentiel. Ces transformations s'appliquent aux vecteurs, et aux tenseurs également (on applique plusieurs transformations de lorentz), et il existe des représentations de ces transformations pour les (bi) spineurs également. En électromagnétisme on peut définir deux objets, un vecteur ou un tenseur. le vecteur est composé des potentiels, si on connait les potentiels dans un référentiel, on applique à ce vecteur une transformation de lorentz pour passer d'un référentiel à l'autre et ensuite on déduit les champs électriques et magnétique de E=-dA/dt - d phi/dx ux -...etc, et B= rot A.
L'autre objet est un tenseur d'ordre deux qui contient déjà toutes les composantes des champs électriques et magnétiques. On lui applique deux transformées de lorentz et le nouveaux tenseur fait apparaitre E' et B' dans le nouveaux référentiel.
Il se trouve que dans ton cas, on peut montrer que le champ électrique pour une charge en mouvement change par rapport à celui d'une charge au repos, et que le champs magnétique est proportionnel aux champ électrique initial, c'est un peu comme si le champ électrique transformé par un changement de référentiel était devenu un champ magnétique.

[albanxiii]

Bonjour,

Je précise qu'on n'applique pas de transformation de Lorentz à des vecteurs, mais à des quadrivecteurs (idem, quadritenseurs, etc.). Et les champs électriques et magnétique ne sont pas des quadrivecteurs, et ils ne sont même pas les parties spatiales de quadrivecteurs.

On ne peut appliquer une transformation de Lorentz qu'au quadripotentiel (dans le système d'unités de Heaviside), ou au tenseur champ életromagnétique à partir duquel on retrouve les champs électrique et magnétique et (attention à l'altitude des indices + conventions habituelles sur les indices grecs ou latins).

(pour info, la transformation de Lorentz s'écrit la déduction des champs électrique et magnétique transformés n'est pas si immédiate que ça, faut prendre un crayon et une feuille de papier).

@+

[kalish]

Quand je disais vecteurs je pensais bien sur quadri vecteurs/ quadri tenseurs etc... C'était pour l'idée générale qu'il y a des quantités qui se transforment comme le (4) vecteur position, ou le 4 vecteur vitesse. Un (4)tenseur d'ordre 2 pouvant se voir comme le produit (cartésien ou tensoriel) de deux (4)vecteurs.
Pour plus de précision encore:
et en coordonnées cartésiennes, je sais c'est bizarre les indices.

[Amanuensis]

Un (4)tenseur d'ordre 2 pouvant se voir comme le produit (cartésien ou tensoriel) de deux (4)vecteurs.

Non. Cela ne couvre qu'une partie des tenseurs 2 fois contravariants.

[kalish]

Ah bon, peut-être si on ne considère pas qu'il peut y avoir des "vecteurs" covariants sinon je ne vois pas pourquoi, je l'ai d'ailleurs lu, et pas sur wikipedia.

[kalish]

Mais wikipdia semble bien d'accord avec moi, y compris avec des vecteurs covariants:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur#D.C3.A9finition

[Nicophil]

en suivant son mouvement, nous constatons alors que le champ engendré par celle-ci est un champ éléctrique uniquement (puisqu'on est dans le ref charge).

Ce changement de référentiel permet de prendre conscience que la séparation en champ électrique et champ magnétique n'est qu'une abstraction/construction de notre esprit, résultant d'un point de vue subjectif.
En réalité, il n'y a que LE champ électromagnétique, qui est un tout indissociable.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...agn%C3%A9tique

[Amanuensis]

Mais wikipdia semble bien d'accord avec moi, y compris avec des vecteurs covariants:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur#D.C3.A9finition

Peut-être ne faites-vous pas la distinction entre produit tensoriel d'espaces et produits tensoriels d'éléments de ces espaces ?

[kalish]

C'est possible vu que je n'en connais qu'un. La page que j'ai donnée parle surtout de produit cartésien, et il existe un (homo) morphisme entre un produit cartésien et un produit tensoriel (donc en gros c'est la même chose mais appliqué à des structures différentes ou moins générales). La page produit tensoriel de wiki donne bien également la même définition, et en pratique elle se résume à multiplier chaque composante d'un tenseur (par exemple d'ordre 1) par toute les autres composantes d'un tenseur (par exemple d'ordre 1).

Ma compréhension du produit tensoriel se limite à peu près à ça, puisque mes sources ne sont que des livres de physique, où il est possible qu'un auteur ait écrit "un tenseur peut se voir comme un produit cartésien de vecteurs", si j'ai le temps je chercherai. Donc si vous pouvez m'éclairer j'en serais très heureux. Ici on parle bien du produit tensoriel entre deux vecteurs appartenant au même espace vectoriel il me semble.

Je n'ai jamais vraiment étudié le produit tensoriel d'espace vectoriel, mais après un rapide coup d'oeil sur ce texte
http://robert.rolland.acrypta.com/te...bre/tensor.pdf il est dit que les couples x cross y (soit les produit tensoriel de x € E et y € F) sont des générateurs de l'espace produit tensoriel E cross F
Je sais c'est très grossier comme compréhension, mais je n'ai jamais étudié les subtilités de la chose.

[Amanuensis]

C'est possible vu que je n'en connais qu'un. La page que j'ai donnée parle surtout de produit cartésien, et il existe un (homo) morphisme entre un produit cartésien et un produit tensoriel

Vous avez dû mal lire.

Ici on parle bien du produit tensoriel entre deux vecteurs appartenant au même espace vectoriel il me semble.

Oui, mais l'espace produit tensoriel ne se limite pas à ces cas. L'espace produit tensoriel de deux espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires de produits tensoriels de vecteurs.

il est dit que les couples x cross y (soit les produit tensoriel de x € E et y € F) sont des générateurs de l'espace produit tensoriel E cross F

Oui, les générateurs. Ce qui est la même chose que dire que l'espace produit en contient toutes les combinaisons linéaires.

Pour une idée de la différence, le "produit" cartésien (qui est la somme directe des espaces) se structure en espace vectoriel de dimension m+n, alors que l'espace produit tensoriel est de dimension mn.

[kalish]

Ah ok, il faut que je lise plus attentivement alors. Sur le wiki anglais ils parlent d'ailleurs de produit directe plutôt que de produit cartésien concernant les produits tensoriels d'espace.

The construction and the universal property of the tensor product can be extended to allow for more than two vector spaces. For example, suppose that V1, V2, and V3 are three vector spaces. The tensor product V1 ⊗ V2 ⊗ V3 is defined along with a trilinear mapping from the direct product

produit directe qui n'est "pas trop loin" du produit cartésien.

Oui, mais l'espace produit tensoriel ne se limite pas à ces cas. L'espace produit tensoriel de deux espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires de produits tensoriels de vecteurs.

Et ça n'est pas le cas également de notre espace vectoriel de départ? Si je fais aU+bV où U et V sont des vecteurs du même espace vectoriel le vecteur résultant appartient encore au même espace vectoriel, je ne comprends pas. Egalement si je fais a U+ bV où U et V sont cette fois des tenseurs d'ordre arbitraire.
Pour revenir à la relativité est-ce que la confusion vient de la dimension 4 où 2+2 =2*2?

[Amanuensis]

En général on ne peut pas écrire

u ⊗ u + v ⊗ v

sous la forme w ⊗ z

Dans un tel cas, u ⊗ u + v ⊗ v est bien un élément du produit tensoriel, mais n'est pas le produit tensoriel de deux vecteurs.

Pour revenir à la relativité est-ce que la confusion vient de la dimension 4 où 2+2 =2*2?

Non. Le produit tensoriel de ExE, avec E un espace tangent de dimension 4, est de dimension 16.

Le tenseur électro-magnétique est antisymétrique, et le sous-espace des tenseurs d'ordre 2 antisymétriques est de dimension 6, mais c'est néanmoins un sous-espace du produit, de dimension 16.

[kalish]

Le tenseur électro-magnétique est antisymétrique, et le sous-espace des tenseurs d'ordre 2 antisymétriques est de dimension 6, mais c'est néanmoins un sous-espace du produit, de dimension 16.

Oui je sais, je ne sais pas pourquoi j'ai écris ça.
Par contre j'aimerais plus de précisions sur le fait que en général on ne peut pas écrire etc...
On peut bien définir une "base" pour l'espace produit tensoriel qui peut être écrit sous la forme d'un produit tensoriel de vecteurs de bases des espaces vectoriels initiaux.
Donc je ne vois pas dans quel cas on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un produit de deux vecteurs, aurais tu un contre exemple?
Je ne sais pas si ma question est très claire.
J'ai un tenseur que je peux écrire
je ne vois vraiment pas comment je ne pourrais pas avoir "d'ailleurs sur la page wiki"
c'est bien ce qu'ils disent.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensoriel
En fait ils disent qu'à partir de deux vecteurs on peut obtenir un tenseur d'ordre 2, mais je ne vois vraiment pas comment l'opération inverse peut ne pas être possible.

[Amanuensis]

Cas 2x2, base i, j

Soit i ⊗ i + j ⊗ j, faudrait a, b, c, d tels que (ai+bj) ⊗ (ci+dj) = i ⊗ i + j ⊗ j

ac=1, 0=bc, ad=0, bd=1

bc=0 => b = 0 ou c =0, ce qui est contradictoire avec ac=bd=1

[kalish]

Ah oué c'est vrai, désolé

Du coup dans ce cas là c'est vrai de tous les tenseurs d'ordre 2 qui ont une représentation diagonale dans la base canonique (1, 0) (0, 1)?

[Amanuensis]

Cela doit être vrai de deux vecteurs non colinéaires.

[Oss118]

Bonjour,

Pour une idée de la différence, le "produit" cartésien (qui est la*somme*directe des espaces) se structure en espace vectoriel de dimension m+n, alors que l'espace*produit*tensoriel est de dimension mn.

C'est sans doute un peu hors sujet, mais les guillemets autour de produit, ainsi que l'italique sur les mots sommes et produits m'intrigue. Qu'avez vous voulu*signifier*par eux? J'ai l'impression qu'il y a quelque chose que vous voulez suggérer. Par exemple, que le produit est en fait une somme, et on emploie un terme impropre? Ou je lis trop entre les lignes.

[Amanuensis]

Par exemple, que le produit est en fait une somme, et on emploie un terme impropre?

Pas impropre, mais qui n'aide pas. Somme directe -> somme des dimensions, produit tensoriel -> produit des dimensions. C'est une aide mnémotechnique. Et l'écriture usuelle est un + dans un rond pour le premier, et un x dans un rond pour le second. Et cela amène à l'algèbre tensorielle, où ces deux opérations se comportent un peu comme dans une algèbre.

Bref, paraît plus simple de penser en terme de somme que de produit cartésien, du moins dans le domaine de l'algèbre linéaire.

[Etorre]

Bonsoir.
Depuis quelques temps, mes connaissances récentes, aquises dans le domaine de l'éléctromagnétismes me posent problème, et à ce problème, je pense que vous aurez peut etre solutions !
Donc, le voici : si on considère une charge éléctrique animée d'une vitesse uniforme, par rapport à un observateur, la charge est perçue par l'observateur comme un courant electrique, L'Observateur détécte donc conformément aux lois de l'éléctromagnétisme, un champ éléctrique, et un champ magnétique, engendré par le courant éléctrique. Bon, maintenant plaçons nous dans le referentiel charge, c'est à dire déplaçons nous en meme temps qu'elle,en suivant son mouvement, nous constatons alors que le champ engendré par celle-ci est un champs éléctrique uniquement (puisqu'on est dans le ref charge).
Or, l'éléctromagnétisme est un principe physique, et la théorie de la relativité restreinte dit que les propriétés physiques sont partout les meme quelque soit le referentiel d'étude. Ce n'est pas le cas avec la charge ....
Eclairez-mvite !

et pourquoi la vitesse de charge est nulle dans un référentiel, et pas dans un autre ? tout n'est pas identique dans les deux référentiels. Le principale, c'est que l'on puisse interpréter le champs électromagnétique mesuré par l' observateur, et qu'on puisse rendre compte des observations dans les deux référentiels sans problème incohérence. A propos si on se place depuis le référentiel de la charge, on peut en déduire que pour l'observateur immobile, celui ci voit le champs électrique varier. Et qui dit champs électrique variable dit champs magnétique.
Évidement si on gratte les équations en faisant un changement de référentiel galiléen, on va tomber sur des problèmes d'incoherence. Seule une transformé de Lorentz laisse inchangée les équations de Maxwell.
cordialement,

[Rincevent]

Bonsoir

remarque en passant :

Donc je ne vois pas dans quel cas on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un produit de deux vecteurs, aurais tu un contre exemple?

en physique quantique ça correspond aux états intriqués (par exemple d'un système à 2 niveaux/états)

[albanxiii]

Bonjour,

Pour plus de précision encore:
et en coordonnées cartésiennes, je sais c'est bizarre les indices.

Bizarre ? Pourquoi ?
L'intérêt des unités de Heaviside est de ne pas se traîner les constantes et . Et dans ce système le champ électrique et le champ magnétique on la même unité.
Si en plus, on prend le système dans lequel , on écrit plutôt

et .

@+

[kalish]

Je disais bizarre parce que j'ai retrouvé sur une page wikipédia des gens qui mettaient des x en indice "haut" quand on avait i= 1. C'est juste pour dire qu'il s'agit bien de la composante x d'un vecteur qui usuellement s'écrit avec un indice en bas, alors qu'en tant que composante de vecteur elle doit s'écrire avec un indice en haut. (et en bas pour le "vecteur" covariant, mais qui ne correspondra pas à la composante x) Bien sûr on est chez minkowsky.

en physique quantique ça correspond aux états intriqués (par exemple d'un système à 2 niveaux/états)

Ah oui effectivement puisque par définition ce sont des états non factorisables. Peut on faire la généralisation matrice/opérateur -> tenseur/ tenseur d'un espace de Hilbert?

[Etorre]

bonjour,
je trouve qu'on s’éloigne quand même vachement de la question de base, qui n'appelle a aucun formalisme excessif, et qui juste a la base du principe de relativité. Enfin bon l'auteur du post ne s'est toujours pas manifesté.
cordialement,