Analyse dimensionnelle utilisant les 4 constantes fondamentales en espace 1 à 5

[stefjm]

Bonjour,

Suite au soucis constaté dans ce fil avec l'hypothèse gravitationnelle, je me suis recentré sur une analyse dimensionnelle en partant de des quatre constantes fondamentales , c, G et e.
J'ai cherché à former un nombre sans dimension à partir de cette quadruplette, mais comme la solution en 3 dimensions d'espace était par trop évidente, j'ai généralisé à n dimensions d'espace et une de temps.

J'ai donc pris comme dimension pour chaque constante :
: (tout ce qu'il y a de plus classique)

: (itou)

pour généraliser à la dimension n d'espace.

e en dim 3 :
qui se généralise en dimension n


4 équations, 4 inconnues, je laisse le calcul à ceux qui aiment les exercices, et je trouve si je ne me suis pas gourré :

est sans dimension.


J'avoue que la progression des exposants ne m'a pas laissé indifférent. (n-1, n-2, n-3, n-4)
J'aurais voulu le faire exprès...

On constate donc que selon le nombre de dimension d'espace envisagé (1, 2, 3 ou 4) , une des constantes fondamentales ne joue aucun rôle pour obtenir la grandeur physique adimensionnée pertinente.

Pour n=1, une seule dimension d'espace.
Apparemment, c'est la charge qui ne joue aucun rôle. (un monde dominé par la charge?)
On obtient comme grandeur N une longueur au carré, ce qui est pour le moins curieux dans un monde où n=1 (monodimensionnel)
De plus, cette longueur N s'apparente à la longueur de Planck au carré:

Pour n=2, hbar ne jour aucun rôle. (Un monde purement quantique???)
Si rappelle quelque chose à quelqu'un?
Merci de me le signaler.

Pour n=3, G ne joue aucun rôle. (Un monde purement gravitationnel?)
On trouve , l'inverse de la constante de structure fine. Du connu...

Pour n=4, c'est presque sans surprise que c disparait. (un monde purement relativiste?)


Pour n=5, on retrouve les 4 constantes.

Cordialement.
Bonnes fêtes de fin d'année.
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[coussin]

Pour qu'elles raisons les dimensions de G et e dépendent de la dimension de l'espace ?

[stefjm]

C'est des considération sur la conservation des flux
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...lux-divergence

On peut aussi "l'intuiter" en regardant la décroissance d'un champ ou d'un potentiel quand on supprime une dimension d'étude en allant à l'infini pour la source.

Exemple pour un champ électrique
Charge ponctuelle R^0 dans R^3 : champ en 1/r^2
Charge linéique R^1 dans R^2 : champ en 1/r
Charge surfacique R^2 dans R^1 : champ constant. (tant qu'on va pas trop loin mais comme le plan est infini...)
Charge volumique R^3 dans R^0 : Champ linéaire en r. (si symétrie sphérique)

Pour hbar et c, j'ai supposé qu'elle n'en dépendais pas, mais peut-être que je me plante?

Cordialement.

[stefjm]

e en dim 3 :
qui se généralise en dimension n

Argh...
Il fallait bien qu'il y ait une coquille.
e en dim 3 :
qui se généralise en dimension n

J'ai oublié de divisé par deux le coeff du temps. (Uniquement une typo sur le post, mon calcul est bon.)

Il est marrant le coefficient 1/2 sur G. On dirait que la constante qui ne correspond à rien de physique ne "mérite" pas son coeff entier...
Les autres (e, h et c) ont un coeff entier.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

ces calculs d'analyse dimensionnelle me conduisent à faire quelques remarques.
Je ne sais pas si elles sont utiles et vraiment reliées au fil mais c'est ce qui m'est venu à l'esprit
quand j'ai lu le premier post.

Dans ce qui suit, je pose
ce qui permet de faire des identification .

Dans ce cas, la formule donnée montre que G est sans dimension pour n=1 et e est sans dimension pour n=3.
Ces deux résultats sont bien connus et assez fondamentaux en théorie quantique des champs.
On peut penser à e comme à la constante de couplage de l'électromagnétisme (dans ce qui suit, on peut
en fait remplacer l'électromagnétisme par n'importe quelle théorie de jauge) et G comme à la constante de couplage
de la gravitation. Soit g une constante de couplage d'une théorie des champs (dans la suite, on pourra prendre g= e
ou g=G). Supposons que g ait pour dimension L^m. Si on étudie des phénomènes physiques dont les énergies typiques
sont E alors par analyse dimensionnelle, on s'attend à ce que la grandeur sans dimension intéressante qui contrôle
les phénomènes, "la constante de couplage effective" à l'énergie E, soit proportionnelle à .
On voit donc que ce qui se passe dépend essentiellement du signe de m : si m>0, la constante de couplage effective augmente avec E, la
théorie est fortement couplée à haute énergie, si m<0, la constante de couplage effective diminue, la théorie est faiblement couplée à
haute énergie, si m=0, le couplage ne dépend pas de l'échelle d'énergie.
Lorsqu'on essaye de quantifier une théorie des champs, on ne sait en général le faire que de manière perturbative
i.e. en développant en série de puissances en la constante de couplage les quantités physiques intéressantes.
Si on fait les choses naïvement, on trouve des résultats infinis pour les coefficients du développement en série.
Il est possible de trouver des résultats finis si les interactions à grande énergie ne sont pas trop fortes. On dit alors que
la théorie est renormalisable. Ce qui précède montre que c'est le cas si la constante de couplage g est de dimension L^m
avec m<=0. (Remarque pour les spécialistes : ce critère de renormalisabilité est "naïf", pour savoir si vraiment une théorie est renormalisable,
il faut travailler...).
Par exemple, le fait que e soit sans dimension pour n=3 montre qu'on est dans le cas limite m=0 : l'électromagnétisme est renormalisable en dimension
d'espace n=3, la théorie quantique des champs associée, "l'électrodynamique quantique" est bien définie perturbativement.
Si n<=3, l'électrodynamique est renormalisable, elle ne l'est pas si n>3.

Le fait que G soit sans dimension pour n=1 montre que la gravitation est renormalisable pour n<=1 et non renormalisable pour n>1,
et donc en particulier pour n=3 qui est le cas qui nous intéresse a priori. Pour n=3, G est une aire égale à la longueur Planck au carré.
Le fait que G ait cette dimension implique par ce qui précède que les calculs perturbatifs perdent leur sens à des énergies de l'ordre
de l'énergie Planck. Cette simple analyse dimensionnelle montre qu'on va avoir des problèmes pour quantifier la gravitation.

Puisque j'ai posé , je ne peux rien dire sur les cas n=2 et n=4.

[stefjm]

Merci 0577,
Je comprends enfin la symétrie e,G lié au dimension 1 et 3 d'espace.
Je n'arrivais pas à comprendre le lien entre la charge et la masse.

En particulier cela éclaire le GQ^2 chrono géométrique que j'avais trouvé en SI pour n=3 :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4199168

[/QUOTE]

GQ^2 de dimension L^6T^{-4}

Cordialement.

[Ludwig]

Salut

Le fait que G soit sans dimension pour n=1 montre que la gravitation est renormalisable pour n<=1 et non renormalisable pour n>1,
et donc en particulier pour n=3 qui est le cas qui nous intéresse a priori. Pour n=3, G est une aire égale à la longueur Planck au carré.
Le fait que G ait cette dimension implique par ce qui précède que les calculs perturbatifs perdent leur sens à des énergies de l'ordre
de l'énergie Planck. Cette simple analyse dimensionnelle montre qu'on va avoir des problèmes pour quantifier la gravitation.

Puisque j'ai posé , je ne peux rien dire sur les cas n=2 et n=4.

En ce qui me concerne, j'ai toujours pensé, à tord ou à raison d'ailleurs, que G est localement le résultat de ce qui est défini par construction, c.a.d. une variable de type potentiel selon l'endroit ou l'on se trouve, donc pas une constante. De ce point de vu ce n'est donc pas une caractéristique intrinsèque du système étudié, mais une variable qui prend naissance dans le système considéré.

Par contre e, h, c oui.



Cordialement


Ludwig

[Ludwig]

Bien que c soit une constante, rien ne prouve que ce n'est pas la structure de ce qui est définit par construction qui impose sa valeur.
Si on pousse ce raisonement encore plus loin, on découvre que peut'être la seule constante c'est le temps, plus précisement l'inverse d'un temps.
Comme l'a fait remarquer Prigogine, nous sommes les enfants du temps.


Cordialement


Ludwig

[stefjm]

Dans ce qui suit, je pose
ce qui permet de faire des identification .
[...]
Puisque j'ai posé , je ne peux rien dire sur les cas n=2 et n=4.

Sur le même modèle,
Pour n=2 ou n=4, on peut poser
ce qui permet de faire des identification .

Mais cela ne parait pas aussi sympa!?

Cordialement.

[stefjm]

Pour qu'elles raisons les dimensions de G et e dépendent de la dimension de l'espace ?

Bonjour,
Un autre doute m'assaille : que deviennent les valeurs numériques quand on bidouille comme cela les dimensions d'espace?
Cordialement.

[Zefram Cochrane]

Bonjour.
Pourquoi h barre et c ne dépendent pasdu nombre de dimension pour L?

[stefjm]

Bonjour.
Pourquoi h barre et c ne dépendent pasdu nombre de dimension pour L?

C'est une hypothèse assez habituelle et c'est celle que fait 0577 lorsqu'il pose sans dimension.

c est une vitesse linéique donc L/T.
hbar est lié au moment cinétique, donc au moins n=2, mais aussi à l'impulsion et donc n=1 à du sens.

On trouve en physique des dimension 2 et 3 qui correspondent à des carrés ou cube géométriques mais aussi à des dérivées secondes ou troisième.

n=2 correspond à une théorie quantique puisque hbar est à la puissance 0, et ce n=2 correspond au minimum. On retrouve là les complexe...

Pour n=4 minimum , correspondant à la relativité, on retrouve les quadrivecteurs (ou quaternions) de la RR.

A se demander si n=5 n'est pas la valeur suivante où il se passe un truc intéressant?

Cordialement.

[stefjm]

Un autre doute m'assaille : que deviennent les valeurs numériques quand on bidouille comme cela les dimensions d'espace?

J'ai

J'aimerais calculer mais je n'ai pas trop d'idée pour la valeur numérique de ???

Est-ce la même qu'en dimension 3?

Cordialement.

[stefjm]

est sans dimension.

J'avoue que la progression des exposants ne m'a pas laissé indifférent. (n-1, n-2, n-3, n-4)
J'aurais voulu le faire exprès...

Bonjour,
Quelle grandeur physique veriez-vous comme candidate pour continuer ce produit avec un puissance (n-5)? (ou (n-5)/2 ?)
Cordialement.