Espace de Hilbert

[Amanuensis]

Est-ce que le sujet couvre l'histoire de la physique, ainsi que des échanges d'opinion sur les contributeurs historique à la PhyQ?
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[mariposa]

Est-ce que le sujet couvre l'histoire de la physique, ainsi que des échanges d'opinion sur les contributeurs historique à la PhyQ?

Bonjour,

Bien sur que non. C'est pourquoi je me suis contenté de rectifier une erreur grossière et rien de plus et il ne s'agit pas d'une opinions. Faut pas exagérer quand même.

Le sujet est Espace de Hilbert et donc je ne suis pas intervenu, car c'est une question de mathématiques, et par principe je n'interviens jamais sur les questions mathématiques, car je ne suis pas.... mathématicien.

Toutefois le sujet de Oss118 fait référence a la MQ cad dans son esprit le rapport entre MQ et Espace de Hilbert.

Face a une telle question il y a 2 catégories de réponses possibles:

1- Comment çà fonctionne ensemble la MQ et les espaces de Hilbert?

2- Comment en est-on arriver a ce que les espaces de Hilbert soient un des piliers de la MQ?

Dans la question 1 il peut y avoir des réponses de mathématiciens ou de physiciens.

Dans la question 2 seuls les physiciens peuvent répondre et la réponse peut largement prendre l'espace d'un livre.


En conclusion je suis strictement resté dans le fil de Oss118.

[Ludwig]

Salut,

C'est une question interessante, et qui l'un dans l'autre est liée à la question de Mariposa.
J'ai bien une réponse, mais... elle ne me satisfait pas completement car elle "prend" un peu le film a l'envers (néanmoins conceptuellement c'est souvent l'histoire qui prend le film a l'envers, et on ne rend compte qu'a la fin de comment il faut le voir dans le bon sens... donc bon).
Personnellement j'ai tendance à voir la mecanique quantique comme un long processus de mutation de la notion d'espace d'etat. C'est probablement une vision parcellaire, meme si elle est sans conteste elegante.
Je ne suis pas spécialiste en histoire de la MQ, mais il me semble que la premiere constation fondamentale sur le point experimentale, c'est à dire celle de Heisenberg, cela a été de dire, l'espace des etats d'un petit systeme ne peut pas etre modélisé de la meme façon qu'on le fait pour les gros systemes. Il y avait un point crucial auxquel on ne pouvait pas echapper, qui etait le fait que l'algèbre des fonctions sur l'espace des etats (encore à definir) d'un systeme microscopique devrait absolument etre non commutative. C'est à mon sens le point le plus fondamental de toute la mecanique quantique.
A partir de là (bon l'histoire ne s'est pas faite exactement comme ca, mais d'un point de vue coneptuel, c'est, je pense, une excellente façon de comprendre ce qu'il s'est passé, ce qui a été fait et aussi... ce qui reste à faire), il a fallu trouver le bon objet mathématique pour remplacer la notion d'espace d'etat, et ca a mis un peu de temps à se decanter mais ca s'est fait, parce que le temps était mur, et qu'en fait les matheux s'etaient posés exactement les questions qui amenaient sur les chemins de la réponse. En fait c'est assez surprenant parce que les physiciens n'ont pas trop vu les choses comme ça au depart (meme aujourdh'ui d'ailleurs), mais les matheux juste avec l'avènement de la MQ, et sans vraiment trop le savoir d'ailleurs, etaient en train de developper pile poil les outils qui permettraient d'interpreter les calculs que l'on fait en MQ et les objets que l'on introduit exactement comme les analogues des objets classiques, que l'on introduisait sur les espaces d'etats classiques, mais sur ces "espaces d'etats quantiques". La notion d'espace de Hilbert, et son introduction en MQ, a été un premier pas vers cette conceptualisation. Mais comme je l'ai dit plus tot, ca n'etait pas du tout suffisant.
Je détaille tout à l'heure mon laius (la tout ce que j'ai dit reste flou) et je reviens sur le fait que la notion d'espace de Hilbert n'etait pas suffisant, il fallait ajouter de la structure additionnelle pour que l'on retrouve un "espace d'etat".

Edit: Bon c'est des choses que j'ai deja raconté quelques fois ici, plus ou moins en detail, de façon plus ou moins heursitiques, donc ceux qui ont l'habitude de lire ma prose ne trouveront pas grand chose de nouveau.

J'ai juste lu en diagonale, je ne sais pas de quel espace d'état tu veux parler, mais historiquement l'espace d'état c'est Kalman dans les années 60. Si tu prends cet espace d'état, tu coupes en deux ça resemble comme un petit frère à l'espace de Hilbert.


Cordialement


Ludwig

[Ludwig]

Salut,

les physiciens lui préfèrent celle de Paul Dirac, publiée en 1930 et qui s'appuie sur une étrange fonction, la fonction δ de Dirac (laquelle est en fait une distribution, au sens que formalisera Laurent Schwartz quelques années plus tard).

La fonction δ de Dirac intervient effectivement dans la théorie des distributions selon Laurent Schwartz, elle intervient comme fonction indicatrice me semble t'il, elle n'est pas une distribution en soi.


Cordialement


Ludwig

[Amanuensis]

La fonction δ de Dirac[...] n'est pas une distribution en soi.

Intéressant...

Encore un cas, selon vous, où le Wiki (exemple au hasard), tant francophone (https://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac) qu'anglophone, raconterait n'importe quoi?

[Ludwig]

Salut,

Intéressant...

Encore un cas, selon vous, où le Wiki (exemple au hasard), tant francophone (https://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac) qu'anglophone, raconterait n'importe quoi?

Tu viens de semer le doute dans mon esprit, j'ai donc vérifié, dans la théorie des distributions, on considère la fonction delta comme une " fonction test", note que ce n'est pas la seule fonction à qui on peut atribuer ce status.
Ce que je n'ai pas vérifié est de savoir si nous parlons de la même fonction Delta.


Cordialement


Ludwig

[Amanuensis]

Dans la théorie des distributions que j'ai apprise, les fonctions tests sont indéfiniment dérivables (continues en particulier), et la distribution de Dirac est une distribution.

La distribution delta peut se définir comme la forme linéaire qui a une fonction test f associe f(0).

On la trouve aussi définie comme la limite (dans le complété de l'ensemble des fonctions tests) de diverses suites de fonctions se "resserrant" sur 0 tout en gardant une intégrale égale à 1.

S'agit d'autre chose?

[Ludwig]

Salut,



Tu viens de semer le doute dans mon esprit, j'ai donc vérifié, dans la théorie des distributions, on considère la fonction delta comme une " fonction test", note que ce n'est pas la seule fonction à qui on peut atribuer ce status.
Ce que je n'ai pas vérifié est de savoir si nous parlons de la même fonction Delta.


Cordialement


Ludwig

Distribution de Dirac noté δa


c'est l'application phi --------------> phi(a)

qui à tte fct phi E D fait correspondre sa valeur en a


< δa,phy> = phi(a)

par abus on peut parler de δ comme étant la distribution de Dirac,
mais en toute rigueur une distribution se note < δa,phy>
me semble t'il

Cordialement


Ludwig

[Amanuensis]

Débat stérile.

[invite02232301]

Je m'apercois d'un oubli bien malheureux dans le laïus que j'ai ecrit plus haut.

Pour le dire vite, le theoreme de Gel'fand assure une equivalence de catégorie entre la catégorie des espaces topologiques compacts et celle des C^*-algèbres commutatives unitales. C'est donc toute la struture de C^* algèbre qu'il faut retenir (donc la structure complexe et la conjugaison) pour pouvoir s'affranchir de la donnée de l'espace X.

[Ludwig]

Salut,

Débat stérile.

tout à fait


Cordialement


Ludwig

[Noix010]

Une question liée à l'avant dernier post:

que peut on dire sur cette catégorie de C*-algèbres commutatives? est t-elle très différente de la catégorie de C*-algèbres en générale?

Des références accessibles? un lien avec la physique?

(cela me fait juste penser à qqch d'assez éloigné, mais que je soupçonne d'être lié: on ne définit la somme directe comme coproduit que pour des groupes abéliens, mais pour un groupe quelconque le coproduit est très différent du produit et il me semble qu'on parle alors même pas de somme directe. pareil pour les anneaux)

[0577]

Bonjour,

ce qui suit à pour but d'expliquer une manière de comprendre l'origine du formalisme de la MQ. Ici, "origine" signifie "origine logique reconstruite a posteriori" et non pas "origine historique" et "formalisme de la MQ" signifie la formulation "standard" (Dirac, von Neumann...) Ce qui suit n'est pas mathématiquement rigoureux et ne s'intéresse pas aux "détails mathématiques". Je considère que toutes les "difficultés" de la MQ sont déjà présentes dans le cas des systèmes de dimension finie et à la fin, je me restreindrai essentiellement à ces cas. Certains passages sont fortement inspirés par http://arxiv.org/pdf/1303.6917v4.pdf.

Je suppose qu'il existe quelque chose qui s'appelle le temps et qui est modélisé par la droite réelle Etant donné un système S, une théorie physique associe à S un "espace des états" M(S) qu'on va supposé être une variété différentielle (éventuellement de dimension infinie) munie d'une structuremathématique supplémentaire. Soit G le groupe des automorphismes de la structure de M(S). On suppose que c'est un sous-groupe de Lie (éventuellement de
dimension infinie) du groupe des difféomorphismes de M(S). L'évolution temporelle du système S est décrite par un morphisme de groupes de Lie
, t -> g(t) : si le système est dans l'état x à l'instant t=0 alors il est dans l'état g(t).x à l'instant t. Le générateur infinitésimal de l'évolution temporelle s'appelle l'hamiltonien, c'est un élément de l'algèbre de Lie Lie(G) de G.

Exemples :

a) Physique classique, M(S) = espace des phases = variété symplectique, G=groupe des symplectomorphismes de M(S) = groupe des transformations canoniques.

b) Physique quantique, M(S) = P(H) espace projectif d'un espace de Hilbert (complexe) H, i.e. l'ensemble des droites complexes de H. L'espace des états n'est pas H mais P(H) : un état est représenté par un vecteur normalisé lui-même défini qu'à une phase près. G=SU(H) groupe des transformations unitaires de déterminant 1 de H, qui agit naturellement sur P(H).

Le but de ce qui suit est d'expliquer pourquoi les structures 1) et 2) sont particulières parmi toutes les structures mathématiques possibles.

Jusqu'à présent, je n'ai mentionné que l'aspect dynamique (= évolution temporelle) d'une théorie physique. L'autre aspect essentiel d'une théorie physique est celui des observables i.e. des quantités expérimentalement mesurables. Soit O(S) l'ensemble des observables du système S. Etant donné un état x dans M(S) et une observable A dans O(S), on a deux possibilités :

1) Le résultat de la mesure de A sur le système dans l'état x est uniquement déterminé par x. On peut alors voir A comme une fonction à valeurs réelles sur M(S). Il est alors naturel de penser que O(S)=C(M), l'ensemble des fonctions continues sur M(S) à valeurs réelles.

2) Le résultat de la mesure de A sur le système dans l'état x est n'est pas déterminé par x, on a plusieurs résultats possibles A(x)_i chacun apparaissant au hasard avec une probabilité p_i.

On va obtenir des contraintes non-triviales sur la forme des théories physiques en faisant l'hypothèse qu'il existe une relation entre l'aspect dynamique et l'aspect des observables. Plus précisément, on suppose qu'il existe une identification Lie(G) = O(S) compatible avec l'action adjointe de G sur Lie(G) et l'action de G sur O(S) induite par l'action sur M(S). Les éléments de Lie(G) sont des générateurs de transformations, i.e. des hamiltoniens. Un hamiltonien est associé à une observable qui s'appelle l'énergie d'où Lie(G) inclu dans O(S). Réciproquement, la mesure d'une observable du système S ne peut se faire que par couplage de S avec le système de mesure via un hamiltonien d'interaction, d'où une inclusion de O(S) dans Lie(G). Autrement dit, à toute observable de S est associée une déformation de l'hamiltonien.

(Cette idée d'un lien entre hamiltonien-évolution temporelle d'une part et observables-mesures d'autre part peut sembler surprenante a priori mais elle a le mérite de clarifier un peu ce qu'on entend par mesure. Cette idée est en fait essentielle si on veut comprendre la notion de groupe de renormalisation en physique statistique et en théorie des champs, où on déforme un hamiltonien par des opérateurs).

Supposons maintenant qu'on soit dans le cas 1) avec Lie(G)=C(M). Sur Lie(G), on a un crochet de Lie et sur C(M) on a un produit. La compatibilité avec l'action de G implique que ces deux structures sont compatibles : le crochet de Lie définit une structure d'algèbre de Poisson sur C(M). L'isomorphisme entre Lie(G) et C(M) implique que cette structure de Poisson est non-dégénérée i.e. provient d'une structure symplectique : on a retrouvé a). Résumé de l'argument : les observables sont des fonctions, les hamiltoniens sont des champs de vecteurs, une structure symplectique est précisément l'identification des deux.
(Remarque : dans ce qui précède, j'ai oublié les fonctions constantes pour ne pas alourdir...)

On suppose désormais qu'on est dans le cas 2). Ca va être plus compliqué car la description 2), contrairement à 1), ne dit pas qui est précisément O(S).
On a O(S)=Lie(G) i.e. on a une structure d'algèbre de Lie sur O(S). A-t-on un produit ? Soient A dans O(S) et x dans M(S). Si la mesure de A sur x donne pour résultat A(x)_i avec probabilité p_i alors il existe sûrement une observable dont la mesure sur x donne pour résultat (A(x)_i)^n avec probabilité p_i. On le note A^n. Si A^n=0, c'est que tous les résultats possibles sont nuls d'où A=0. Si A,B sont dans O(S), il n'est pas a priori clair ce que peut être BA car la mesure de A change l'état du système en général puisque juste après la mesure de A, une nouvelle mesure de A doit redonné le même résultat avecprobabilité 1. Mais puisqu'on sait définir A^2, on peut définir un produit, noté .. par A..B = 1/2((A+B)^2-A^2-B^2). C'est clairement un produit commutatif mais il n'est pas a priori associatif. La compatibilité avec l'action de G implique que le crochet de Lie [,] est une dérivation par rapport à (..).
Soit (A,B,C) = (A..B)..C - A..(B..C). Puisqu'on a (A,B,C)+(B,C,A)+(C,A,B)=0 et (A,B,C) = -(C,B,A), il est naturel de penser que (A,B,C) est proportionnel à l'unique expression construite à partir du crochet de Lie [,] ayant ces propriétés, à savoir [[A,C],B]. Il existe donc x nombre réel tel que (A,B,C) = x[[A,C],B].En considérant des systèmes composés, on peut montrer que ce x est universel au sens où il doit être le même pour tous les systèmes décrits par la théorie considérée.

Si x=0, alors .. est un produit commutatif associatif sur O(S) et [,] est un crochet de Poisson sur O(S) : on est en fait dans le cas 1) déjà traité.

A partir de ce moment, on suppose O(S) de dimension (réelle) finie n.

Si x n'est pas nul alors le produit .. n'est pas associatif mais on peut essayer de le modifier en un produit associatif (mais qui ne sera plus commutatif...) Si x<0, on pose y=(-x)^{1/2} et un simple calcul montre que le produit . défini par A.B = A..B + y [A,B] est associatif. Alors O(S)
munie de . est une algèbre réelle associative de dimension finie sans élément nilpotent (on a vu que A^n = 0 implique A=0). La classification des
algèbres réelles associatives semisimples de dimension finie entraîne alors que O(S) est une somme de copies de ,
en particulier le crochet [,] est trivial et la théorie est sans intérêt.

On suppose donc x>0 et on note Il n'est plus possible de modifier .. en un produit associatif sur O(S)
mais c'est possible sur la complexification de en posant
A.B = A..B +i \hbar [A,B]. (Première apparition des nombres complexes !)

Suite à venir.

[Noix010]

impressionnant!

que dire... peut être
- identifier l'algèbre de Lie de toutes les symétries avec les observables est trop abrupte. (quelle est alors la distinction évolution/symétries? tout est générateur de symétries...) Je trouve en revanche très interessant le problème (mathématique, désolée) de déterminer les définitions possibles de produit sur un espace vectoriel, sachant qu'on a déja produit associatif commutatif d'un élément avec lui même.
En revanche pour une algèbre de Lie on déja l'algèbre universelle enveloppante...(construit de telle sorte que l'on a un produit associatif compatible avec le crochet) qui est cependant toujours de dimension infinie.

-"déformer" l'hamiltonien, ça reste à définir...

[0577]

Suite :

A.B = A..B + i \hbar [A,B] définit un produit associatif (non-commutatif) sur .
est une algèbre complexe associative de dimension finie et semisimple (conséquence du fait que
O(S) soit semisimple car sans nilpotent) donc isomorphe à une somme d'algèbres de matrices. Quitte à décomposer le système en morceaux
(règles de supersélections), on peut supposer et O(S) s'identifie
au sous-espace des matrices hermitiennes et le crochet de Lie sur O(S) s'identifie à fois le commutateur dans
l'algèbre des matrices. En particulier, O(S) est isomorphe à l'algèbre de Lie formée par les opérateurs antihermitiens avec le commutateur
pour crochet et comme O(S) = Lie(G), on en déduit G=U(n).

Notons M(n) l'espace des états.

Soit A dans O(S). Si x est un résultat de mesure de A alors x^n est un résultat de mesure de A^n et donc x est racine du polynôme
minimal de A i.e. x est valeur propre de A. S'il existait une valeur propre de A qui n'est pas résultat d'une mesure de A alors il existerait un
polynôme en A de degré strictement plus petit que celui du polynôme minimal tel que l'observable correspondante donne toujours 0 comme résultat de mesure, donc est nulle, contradiction. Conclusion : résultats possibles d'une mesure de A = spectre de A.

Soit A dans O(S) la matrice diagonale de diagonales (a_1,...., a_n) avec les a_i deux à deux distincts. Pour tout i, soit x_i dans M(n)
un état tel que la mesure de A donne pour résultat a_i avec probabilité 1. Soit U dans G=U(n). La compatibilité de l'action de G=U(n) sur M(n) et
de G=U(n) sur O(S) implique que Ux_1 est un état sur lequel la mesure de UAU^{-1} donne pour résultat a_1 avec probabilité 1.
Si UAU^{-1} est différent de U, alors Ux_1 est différent de x_1. Réciproquement, pour tout état x dans M(n), il existe une observable
de résultat a_1 sur x avec proba 1 et d'autres résultats possibles a_2,...,a_n. Une telle observable est de la forme UAU^{-1} pour un
U dans G=U(n). Conclusion : M(n) s'identifie à l'orbite de A sous U(n) i.e. à

et l'action de U(n) sur M(n) provient de l'action linéaire de U(n) sur
SU(n) est le groupe d'isométrie de munie de sa métrique naturelle (Fubini-Study) provenant de la
forme hermitienne standard sur .

Exemple : n=2, SU(2)/U(1) = SO(3)/SO(2) = P^{1} = S^{2} = sphère de Riemann = sphère de Bloch =...

Soit A dans O(S). Les images des vecteurs propres de A dans P^{n-1} sont exactement les points fixes du groupes à un paramètre
engendré par A sous l'identification Lie(G)=O(S). On en déduit que ces n+1 points fixes correspondent aux états x_1,...,x_n sur laquelle
la mesure de A donne respectivement les valeurs propres a_1,..., a_n avec probabilité 1.
Soit x = avec (relèvement à ).
Quelle est la formule donnant la probabilité p_i d'obtenir x_i lorsqu'on mesure A sur l'état x ? On cherche p_i avec
et donnés par une formule invariante sous G=U(n), seule solution


(Remarque sur la comparaison entre "calcul quantique" et "calcul des probabilités usuels". Comme rappelé par Amanuensis, un exemple de structure
vectorielle dans un cas classique est donné par l'ensemble des états d'un mélange statistique. Si on a un mélange de n espèces, un état d'une mélange est donné par les probas p_1,..., p_n. On obtient une structure vectorielle en considérant l'espace des vecteurs (p_1, ..., p_n). De la même façon qu'en MQ, le "vrai" espace des états n'est pas l'espace de Hilbert mais l'espace projectif associé, le "vrai" espace des états d'un mélange statistique n'est pas cet espace vectoriel mais l'ensemble S(n) des p_i compris entre 0 et 1 tels que la somme des p_i soit égale à 1. S(n) est un simplexe de dimension n-1 à n sommets : les n sommets
correspondent aux n états purs et le reste correspond aux états mixtes.
En M(Q), si on fixe une observable A dans O(S), on a exactement la même structure. A tout état x on peut associé les probas p_i d'obtenir les différents résultats
possible de la mesure de A. On a donc une application M(n) -> S(n). Mais le point essentiel est qu'il y a plusieurs observables ! Pour chaque observable,
la description des états quantiques peut se réduire à un mélange statistiques des états propres via une application M(n) -> S(n) mais quand l'observable change,
les états propres changent et l'application M(n) -> S(n) change.
Pour A donné, à quoi ressemble l'application M(n) -> S(n)? M(n) est un espace projectif complexe de dimension complexe n-1 i.e de dimension réelle
2(n-1) et S(n) est un simplexe de dimension réelle n-1. La fibre générique de M(n) -> S(n) est un tore réel de dimension n-1 et contient les
phases relatives des coefficents c_i )(c'est la description classique de l'espace projectif comme variété torique).

[0577]

- identifier l'algèbre de Lie de toutes les symétries avec les observables est trop abrupte. (quelle est alors la distinction évolution/symétries? tout est générateur de symétries...) Je trouve en revanche très interessant le problème (mathématique, désolée) de déterminer les définitions possibles de produit sur un espace vectoriel, sachant qu'on a déja produit associatif commutatif d'un élément avec lui même.
En revanche pour une algèbre de Lie on déja l'algèbre universelle enveloppante...(construit de telle sorte que l'on a un produit associatif compatible avec le crochet) qui est cependant toujours de dimension infinie.

Il aurait peut-être fallu que je parle de "symétrie cinématique" i.e. de symétrie du formalisme de la théorie. Il ne s'agit pas de "symétries dynamiques".
Lorsque je dit symétrie = observable, en MQ, je dis juste, opérateur unitaire = opérateur hermitien (via exp(i_)).
Tout opérateur unitaire est "symétrie cinématique" de la MQ au sens où il préserve la structure mathématique à l'aide de laquelle la théorie est définie.
Mais bien sûr, les "symétries dynamiques" d'un système donné avec un hamiltonien donné sont formées uniquement des opérateurs unitaires qui commutent
avec l'hamiltonien. Les observables associées à ces symétries sont précisément les observables "conservées au cours du mouvement".

-"déformer" l'hamiltonien, ça reste à définir...

Si H est un hamiltonien, déformer H signifie ajouter quelque chose à H : H + H'. Si H est un hamiltonien et si A est un opérateur hermitien,
on peut déformer H par A en considérant H+aA où a est un "couplage" (qui est en général dimensionné: A n'a pas forcément la dimension d'une énergie).

[invite02232301]

Merci pour cette longue présentation qui va dans un sens un peu orhtogonnal à celui que j'avais en tete, et qui le complete donc joliment. J'ignorais en bonne partie tout cela.
J'essairai de continuer mon laius que j'ai laissé en suspend a mi chemin... mais là je n'ai pas trop trop de temps (et faut que je reflechisse a comment je veux exposer les choses, surtout apres un texte de la qualité de celui de 0577, et je dois avouer que j'ai un peu la flemme là )

[Noix010]

bel effort que je ne saurai egaler meme dans la critique. Il y a les bonnes idées generales mais les détails sont importants à partir d'un moment

Je veux revenir un peu à la 1ere partie
- dire Lie(G)= O(S) n'est pour moi toujours pas tres justifiée, mais de toute facon ca ne dit pas tant de chose que ca puisque G n'est qu'un "sous groupe du groupe de diffeomorphismes". Donc finalement on dit qu'un truc assez indetermine est egal a un autre truc indeterminé.

En effet qui te dit que ton algebre de Lie est represente par des elements hermitiens, et que tes observables sont unitaires? Que se passe-t-il quand on a une symetrie discrete, plus de groupe de Lie?

Par ailleurs, il y a peut etre egalite d'ensemble, mais pas d'algèbre, puisque l'on cherche a munir O(S) d'un produit associatif.

Deuxième partie:
- je n'ai pas saisi pourquoi O(S) devait etre semi-simple. C'est une condition suffisante pour avoir des regles de superselections, mais ce n'est pas necessaire. (en fait il faut preciser un peu, on pourrait avoir une algebre quelconque, et une representation de cette algebre qui se decompose en somme directe. en generale on exige pas directement que l'algebre soit semi simple.)

- dans l'example meme que tu donne on a plutot l'inclusion Lie(U(N)) dans puisque l'algebre de Lie n'a que des elements hermitien/antihermitien

- Je ne comprends pas a partir de quoi tu demontres mesures prennent leur valeur dans le spectre. Je l'ai toujours consideré par definition que le spectre est l'ensemble des valeurs mesurables possibles, je ne vois pas ce que tu as prouve.

- Je ne comprends pas pourquoi l'orbite s'identifie au quotient que tu as donné. Et meme remarque que precedement, que signifie s'identifie? L'orbite est un ensemble, consideres tu qu'il a une structure de groupe ou de quoique ce soit d'autre? (et dans ce cas quel est le produit? )
As tu une reference?

- lorsque l'on a des regles de superselection, certain points (disctincs) de l'espace projectif peuvent correspondre au meme etat, donc finalement cet espace n'est pas exactement l'espace des etats, il faudrait le quotienter par qqch.

Une dernière remarque: S(n) est un simplexe mais pas M(n) en generale. (sous certaines condition. mais d'habitude on dit juste que M(n) un convexe)