Subtilités de la Relativité Restreinte

[Zefram Cochrane]

Bonjour

J'ouvre un nouveau sujet sur la relativité restreinte. Il y aura du Latex, ce n'est pas pour en mette plein la vue, c'est pour donner une liste exhaustive et objective de tous les éléments à ma dsposition.

Dans son livre La théorie de la relativité restreinte et générale (existe aussi sous le titre la relativité)
A Einstein fait apparaître les équation suivantes dans l'annexe consacrée aux transformations de Lorentz.
On ne parle que de coordonnées spatiales et temporelles

Je fait une citation préalable :
Un signal lumineux qui avance le long de l'axe positif des x se propage dans le systèmes de coordonnées K d'après l'équation
x = ct
ou
x - ct = 0

puisque le signal lumineux se propage aussi relativement à K' avec la vitesse c, la propagation relativement à K' sera représenté par la formule analogue

x' - ct' = 0

Les points spatiotemporels (événements) qui satisfont à l'équation (1) doivent aussi satisfaire ) l'équation (2). ceci sera le cas si la relation

est généralement satisfaite, où désigne une constante car la disparition de
(x - ct) entraîne la dispartion de (x' - ct').
Une considération tout à fait analogue appliquée à des rayons lumineux se propageant le long de l'axe des x négatifs fournit la condition.



J'arrête là la citation, pour résumer :
Si j'imagine un observateur O à bord d'une station (système de coordonnées K)
Si j'imagine un observateur O' à bord d'un vaisseau en MRU à v le long de l'axe positif de x (K)
Si j'imagine un observateur O' à bord d'un chasseur en MRU à w le long de l'axe positif de x (K) ; en MRU à w' le long de l'axe positif de x' (K')
qu'à t = t' = 0 ; x = x' = 0 et O' se trouve en O :

Pour un photon se propageant le long de l'axe des x positifs


Pour un photon se propageant le long de l'axe des x négatifs:



Je vais réécrire ces formules sous une autre forme :

Pour un photon se propageant le long de l'axe des x positifs
(1)

Pour un photon se propageant le long de l'axe des x négatifs
(1')

Si je divise (1) par (1') ou inversement :

J'obtiens :


D'où la loi de composition des vitesses :



Je voudrais vous faire remarquer la chose suivante : comme
(2)

Si à présent je multiplie (1) par (1'), j'obtiens :
(3)
C'est l'équation de la métrique de Minkowsky pour un espace-temps 2D ( 1D + 1)

Si à présent je remplace dans les équations (1) et (1') par son expression donnée dans la loi de compositions des vitesses, j'obtiens la TL pour le temps
(4)
et en replaçant dans (4) ct par ; ct' par et en remplaçant par son expression donnée par la loi de composition des vitesses, j'obtiens la TL spatiale
(5)

Passons aux questions :
Dans ce message Amanuensis porpose un changment de coordonnées :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4771853

Si je propose




avec et

J'ai
et l'équation de la métrique de Minkowski.

J' ai egalement
Mathématiquement, c'est la propriété de l'identité remarquable mais physiquement?

Si U est un élément du cône passé, V serait il un événement du cône futur?

Cordialement,
Zefram
-----

[Amanuensis]

Si je propose

Si je comprends μ = x-ct et ν=x+ct, et μ' = x'-ct' et ν'=x'+ct', alors il y a une erreur de signe dans les formules citées.

De même, il semble y avoir quelques problèmes de signe ensuite.

Mathématiquement, c'est la propriété de l'identité remarquable mais physiquement?

Physiquement, faut arriver à réfléchir sur la signification des coordonnées (μ, ν). Une possibilité est la suivante: sur le rayon lumineux x-ct, je gradue par pas d'une longueur d'onde (ou d'un période, pareil), de même sur x+ct avec un autre pas (rayon d'une autre longueur d'onde), les deux longueurs d'onde étant celles mesurées par un même observateur inertiel.

L'événement (μ, ν) est le point atteint comme suit: on émet un rayon à partir de l'événement origine, on compte μ unités et on place un miroir en mouvement inertiel, l'événement (μ, ν) est celui ν unités après la réflexion.

Le changement (μ, ν) -> (μ', ν') qui correspond à une TL consiste à changer les deux longueurs d'onde de manière à ce que leur produit reste constant. Et c'est bien ce que constatent deux observateurs inertiels de vitesse relative non nulle. La longueur d'onde des rayons dans une direction a varié de manière inversement proportionnelle à la longueur d'onde dans l'autre direction.

Si U est un élément du cône passé, V serait il un événement du cône futur?

U et V ne sont pas des événements. Si?

En termes de coordonnées (μ,ν) [je ne comprends pas l'intérêt d'introduire U et V] les événements du cône total de l'origine sont (μ=0 ou ν=0). La distinction entre passé et futur se fait par le signe de ν-μ. D'où cône passé : (μ=0 et ν<0) ou (μ>0 et ν=0).

Pour un événement quelconque (μ0, ν0) le cône total est composé des événements (μ=μ0 ou ν=v0).

[Amanuensis]

Au passage, un peu hors-sujet mais peut-être intéressant, les coordonnées (μ, ν) sont celles utilisées pour obtenir des diagrammes conformes (1) via un changement de coordonnées (μ,ν) -> (f(μ), f(ν)), f une fonction C-infinie croissante. On obtient ainsi un diagramme de Penrose en prenant une fonction f d'image un segment fini.

Cela est assez "naturel" d'un certain point de vue, puisque ce qui a un sens physique "global" en RR sont les cônes de lumière, et non les coordonnées genre temps+espace. Pour un observateur local c'est le contraire...

(1) Par conforme on entend que la métrique est modifiée par un facteur multiplicatif dépendant de l'événement. On peut vérifier aisément que dμdν est effectivement juste multiplié par un facteur dépendant de l'événement quand on procède au changement (μ,ν) -> (f(μ), f(ν)).

[Zefram Cochrane]

Salut,

Si je comprends μ = x-ct et ν=x+ct, et μ' = x'-ct' et ν'=x'+ct', alors il y a une erreur de signe dans les formules citées.

En fait
;
;

et
;
;
Pour les calculs j'ai utilisé ces dernières variables.

Pour la suite je me permettrait de transformer dans ton message les coordonnées en coordonnées ( U, V)

Physiquement, faut arriver à réfléchir sur la signification des coordonnées (U, V). Une possibilité est la suivante: sur le rayon lumineux x-ct, je gradue par pas d'une longueur d'onde (ou d'un période, pareil), de même sur x+ct avec un autre pas (rayon d'une autre longueur d'onde), les deux longueurs d'onde étant celles mesurées par un même observateur inertiel.

Si je prends l'exemple type de O' s'écartant de O à une vitesse de O,8c dans le sens des x positifs, pendant une durée propre de t' = 18ans ; t = 30ans.

Dans le référentiel de O, au bout de t = 30 ans , O' se trouve à x = 24AL
donc U = -6AL.

Quand O' à 18ans, il voit O a la coordonnée spatiale x' = -8AL et à l'âge apparent de 6ans.

C'est ce qui m'avait conduit à proposer dans ce fil
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4763388
que O et O' fuyaient chaqu'un dans leur référentiel l'événement origine à c, mais qu'en s'écartant l'un de l'autre à v, O avait l'impression que O' fuyait moins vite l'événement origine que lui et vice et versae.

L'événement (U, V) est le point atteint comme suit: on émet un rayon à partir de l'événement origine, on compte U unités et on place un miroir en mouvement inertiel, l'événement (U, V) est celui V unités après la réflexion.

J'ai un peu de mal à visualiser, il faudra que je fasse un diagramme.

Le changement (U, V) -> (U', V') qui correspond à une TL consiste à changer les deux longueurs d'onde de manière à ce que leur produit reste constant. Et c'est bien ce que constatent deux observateurs inertiels de vitesse relative non nulle. La longueur d'onde des rayons dans une direction a varié de manière inversement proportionnelle à la longueur d'onde dans l'autre direction.

UV = U'V' est l'équation de la métrique de Minkosky exprimées en cordoonnées UV

[QUOTE=Amanuensis;4775363]
U et V ne sont pas des événements. Si?

Une fois qu'on comprend que u constant et t<0 est une partie du cône passé, il devient (ou devrait devenir) clair que c'est adapté à ce que l'on voit.

Maintenant on peut se poser la question pourquoi on ne travaille pas en général avec ces coordonnées. Simplement parce que ce ne sont pas des coordonnée 1+3. En effet, u constant est une hypersurface de genre nul. (v constant aussi.)

En fait non U et V sont deux coordonnées comme x et t

En termes de coordonnées (U;V) les événements du cône total de l'origine sont (U=0 ou V=0). La distinction entre passé et futur se fait par le signe de V-U. D'où cône passé : (U=0 et V<0) ou (U>0 et V=0).

Pour un événement quelconque (Uo, Vo) le cône total est composé des événements (U=Uo ou V=Vo).

Je veux bien avoir des précisions sur cette partie.
Cordialement,
Zefram

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

J'obtiens :

@ Amanuensis : C'est le genre de relation symétrique que tu m'avais envoyé en MP?

[Amanuensis]

@ Amanuensis : C'est le genre de relation symétrique que tu m'avais envoyé en MP?

Il me semble bien. En regroupant tous les - d'un côté et tous les + de l'autre, peut-être.

[Amanuensis]

(...)

Message trop fouillis pour y réagir. Coupé en morceaux plus digestes?

[Zefram Cochrane]

avec et

J'ai
et l'équation de la métrique de Minkowski.

J' ai egalement

je suis impardonable sur ce coup là



Je reprends mes équations (1) et (1')
Pour un photon se propageant le long de l'axe des x positifs
(1)

Pour un photon se propageant le long de l'axe des x négatifs
(1')

Si le chasseur reste dans le hangar du vaisseau



pour t = 30 ans et


c'est la distance séparant l'événement origine se déplacant à c le long de l'axe des x positifs du vaisseau dans le référentiel K.
donne que qui est la distance séparant l'événement origine se déplacant à c le long de l'axe des x positifs du vaisseau dans le référentiel K'.

6 ans correspond aussi à l'âge apparent de O quand O' aura 18ans.


c'est la distance séparant l'événement origine se déplacant à c le long de l'axe des x négatifs du vaisseau dans le référentiel K.
donne que qui est la distance séparant l'événement origine se déplacant à c le long de l'axe des x négatifs du vaisseau dans le référentiel K'.

54 ans correspond aussi à l'âge de O quand O' aura un âge apparent de 18ans.

Cordialement,
Zefram

[stefjm]

Il me semble bien. En regroupant tous les - d'un côté et tous les + de l'autre, peut-être.

Oui, c'est bien cela, en changeant le signe de la composition pour avoir une relation plus symétrique avec les - d'un coté et les + de l'autre.
w+u+v+u.v.w=0 : une composition de vitesses vue comme une composition de tensions qui font 0.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
juste une idée qui peut être vous inspirera :
Lorsque O' s'éloigne de O à une vitesse de 0.8c.
O s'éloigne de l'événement origine à c, et de son point de vue, O' s'éloigne de cet événement à 1-0.8 = 0.2c . Pour t = 30ans; c (1-0.8)*30ans = 6AL
Dans son référentiel O' s'éloigne de l'événement origine à c et donc lorsqu'il a 18ans ct' = 18AL.

SI O' se rapproche de O à une vitesse de 0.8c et que je fixe l'événement origine à l'instant du départ.
O s'éloinge de l'événement origine à c, et de son point de vue, O' s'éloigne de cet événement à 1+0.8 = 1.8c. Pour t = 30ans, c(1+0.8)*30ans = 54AL
Dans son référentiel O' s'éloigne de l'événement origine à c et donc lorsqu'il a 18ans ct' = 18AL.

mon avis est que les équations (1) et (1') généralisent ce concept.
Cordialement,
Zefram