Origine de l'inertie

[juliendusud]

Considérons un univers globalement homogène et isotrope en masse grave et en charge électrique, une particule de masse grave et de charge q possède une énergie d'interaction qui vaut :

où est le potentiel électrique local et le potentiel gravitationnel local correspondant à la distribution de l'ensemble des charges et des masses de l'univers.
Voyons maintenant comment se déduit le principe fondamental de la dynamique de cette simple relation.

Considérons une accélération de cette particule, dans le référentiel de cette particule, le potentiel vecteur électrique local s'écrit , et le potentiel vecteur gravitationnel local s'écrit .
La force qui s'exerce sur la particule s'écrit , en développant :
.
On définit la masse inertielle de cette particule par le ratio d'où
. Expérimentalement nous savons que l'inertie d'une particule ne dépend pas de sa charge, nous en déduisons donc d'où .
Pour assurer l'équivalence entre la masse inertielle et la masse grave nous en déduisons la relation .
Notons au passage que l'équivalence masse inertielle/énergie se déduit entièrement de la définition de la masse inertielle que nous venons d'adopter.
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[f6bes]

BONJOUR,
Manque la donnée essentielle pour débloquer les claviers.
Bonne soirée

[invite93e0873f]

Bonjour,

Cet argument s'avère erroné.

Considérons un univers globalement homogène et isotrope en masse grave et en charge électrique, une particule de masse grave et de charge q possède une énergie d'interaction qui vaut :

où est le potentiel électrique local et le potentiel gravitationnel local correspondant à la distribution de l'ensemble des charges et des masses de l'univers.

La première moitié de la première phrase me semble inutilisée au cours de l'argument, mais soulève tout de même quelques interrogations. Si les distributions de masse (grave) et de charge électrique sont homogènes et isotropes dans l'Univers, et en supposant qu'il n'y ait aucun courant, alors un raisonnement de symétrie nous amène (en physique classique) à déduire que les fonctions et sont des constantes, de valeurs arbitraires. Toujours dans le cadre classique, ces distributions ne produiraient ainsi aucune force effective... ce qui est bien embêtant pour les visées de l'argument qui suit.

Voyons maintenant comment se déduit le principe fondamental de la dynamique de cette simple relation.

Je pensais que le principe fondamental de la dynamique désignait la seconde loi de Newton et non pas la relation énergie-masse d'Einstein. Dans tous les cas, la seconde loi de Newton est imposée par la suite et non pas déduite.

Considérons une accélération de cette particule, dans le référentiel de cette particule, le potentiel vecteur électrique local s'écrit , et le potentiel vecteur gravitationnel local s'écrit .

Dans la théorie de la gravitation universelle, il n'y a pas de potentiel vecteur gravitationnel, mais nous comprenons qu'il s'agit d'une extension par analogie à l'électromagnétisme. Cependant, en électromagnétisme, en général. Ce genre de « relation de proportionnalité » entre les potentiels scalaire et vecteur tient lorsqu'on considère les potentiels générés par une même source : voir les deux premières équations de cette section. Or, il est implicite dans votre argument (par l'utilisation de la vitesse de la particule assujettie aux forces environnantes) que est généré par cette particule, bien que vous ayez défini plus tôt comme un potentiel scalaire généré par tout de l'Univers et pas seulement cette particule.

Si vous tentiez de modifier l'argument en prenant les comme les potentiels scalaires générés par la particule-test, alors votre relation pour l'énergie serait mal définie, dépendant en particulier du point de l'espace et divergeant probablement à l'emplacement de la particule-test. Et d'ailleurs, ces potentiels changeraient avec le déplacement de la particule, donc il faudrait les dériver dans la formule qui suit pour la force.

La force qui s'exerce sur la particule s'écrit , en développant :
.
On définit la masse inertielle de cette particule par le ratio d'où
. Expérimentalement nous savons que l'inertie d'une particule ne dépend pas de sa charge, nous en déduisons donc d'où .
Pour assurer l'équivalence entre la masse inertielle et la masse grave nous en déduisons la relation .

Je ne sais pas trop d'où vous tirez cette expression pour la force. Il ne s'agit pas de la force de Lorentz, ni de rien ressemblant à ce que j'ai eu l'occasion de voir pour des forces issues de champs d'interaction... Je comprends que ça mène à quelque chose comme , mais il est tout à fait inhabituel de voir des potentiels d'interaction intervenir (ou plutôt, ne pas intervenir) de la sorte dans une expression de force.

Si , quelle est donc la raison de considérer au départ l'électromagnétisme ? D'ailleurs, que désigne le potentiel scalaire généré seulement par la particule-test ou par tout l'Univers, il est inconcevable que ce potentiel soit nul quelle que soit la situation... aussi bien dire alors que l'électromagnétisme n'existe pas !

De plus, il est faux de dire qu'expérimentalement, l'inertie d'une particule ne dépend pas de sa charge. Au tournant du XIXe au XXe siècle, Lorentz tentait bien d'expliquer (avec sa théorie de l'électron) l'inertie de tout corps comme la manifestation de la force d'Abraham-Lorentz causée par les particules électriques composant tout corps.

Notons au passage que l'équivalence masse inertielle/énergie se déduit entièrement de la définition de la masse inertielle que nous venons d'adopter.

La relation relativiste pour une particule en mouvement est , l'équation consistant au cas . Comment prévoyez-vous récupérer cette équation plus générale si vous obtenez le cas à l'aide d'un argument qui, ne laissant jamais entendre que , semble vraisemblablement tenir quel que soit ?

Cordialement,

Universus

[juliendusud]

Bonjour,

La première moitié de la première phrase me semble inutilisée au cours de l'argument, mais soulève tout de même quelques interrogations. Si les distributions de masse (grave) et de charge électrique sont homogènes et isotropes dans l'Univers, et en supposant qu'il n'y ait aucun courant, alors un raisonnement de symétrie nous amène (en physique classique) à déduire que les fonctions et sont des constantes, de valeurs arbitraires. Toujours dans le cadre classique, ces distributions ne produiraient ainsi aucune force effective... ce qui est bien embêtant pour les visées de l'argument qui suit.

Bonjour et merci pour votre réponse.
Je ne vais répondre que sur ce point précis qui est crucial dans la démonstration. Pour simplifier la discussion, je propose que nous restions dans le pur cadre de l'électrodynamique relativiste. Un argument de symétrie nous emmène évidemment à conclure que le potentiel électrique à l'intérieur d'une coquille uniformément chargée est une constante. Là où je ne suis plus d'accord c'est lorsque vous affirmez que cette constante est définie de manière arbitraire et qu'elle n'est donc pas de nature à produire un effet physique mesurable, si tel était le cas toute ma démonstration s'effondrerait mais je vais vous démontrer que ce n'est pas le cas.
Partons du fait que la solution des potentiels retardés (nuls à l'infini) vérifient la jauge de Lorentz et forment un quadrivecteur. La dernière propriété est cruciale car si le quadripotentiel est un quadrivecteur il est alors facile d'exprimer les composantes dans un nouveau référentiel.
En particulier si une particule est plongée dans un potentiel uniforme dans un référentiel R, nous pouvons exprimer le quadripotentiel dans un nouveau référentiel R', nous avons :
et .
Dans ce référentiel R' on peut considérer que c'est la coquille qui est en mouvement à vitesse v, l'expression générale du champ électrique dans R' est
.
En considérant le cas le plus général où la vitesse de la coquille varie dans le temps, nous avons :
où est l'accélération de la coquille.
Selon le principe de relativité, nous sommes tous d'accord que mettre une charge test à l'intérieur d'une coquille et faire accélérer la coquille et strictement équivalent à faire accélérer la charge test à l'intérieur de la coquille. Donc conformément au principe de relativité, une charge q plongée dans un potentiel électrique défini selon la jauge de Lorentz et qui décrit un mouvement accéléré ressent une force qui vaut , qui dépend précisément de l'accélération de la charge et du potentiel électrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[juliendusud]

[QUOTE=Universus;4913265] Cependant, en électromagnétisme, en général.

Attention, et ne sont pas exprimés dans le même référentiel, il s'agit ici d'une transformation de Lorentz. Ici je m'appuie sur la transformaitons relativiste du quadripotentiel, vraie dans tous les cas de figure :





Dans le référentiel de départ d'où le résultat , au passage j'avais oublié le facteur gamma, ce qui répond dans le même temps à votre question sur l'équivalence masse/énergie où il manquait également le facteur gamma pour coller à la formulation plus générale de l'énergie relativiste d'une particule en mouvement.

Ce genre de « relation de proportionnalité » entre les potentiels scalaire et vecteur tient lorsqu'on considère les potentiels générés par une même source : voir les deux premières équations de cette section.

Entièrement d'accord, sur cette page il est question de la dérivation du potentiel vecteur pour certaines distributions de charge dans un même référentiel, moi je parle de l'expression du potentiel vecteur dans un nouveau référentiel, mais comme j'ai oublié de primer mes variables cela aura certainement entretenu la confusion.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Merci beaucoup pour les précisions, précisions changeant immensément l'esprit de l'argument. Il me semble cependant qu'il y a toujours erreur.

Je ne vais répondre que sur ce point précis qui est crucial dans la démonstration. Pour simplifier la discussion, je propose que nous restions dans le pur cadre de l'électrodynamique relativiste. Un argument de symétrie nous emmène évidemment à conclure que le potentiel électrique à l'intérieur d'une coquille uniformément chargée est une constante. Là où je ne suis plus d'accord c'est lorsque vous affirmez que cette constante est définie de manière arbitraire et qu'elle n'est donc pas de nature à produire un effet physique mesurable, si tel était le cas toute ma démonstration s'effondrerait mais je vais vous démontrer que ce n'est pas le cas.

Donc nous ne considérons plus un « univers globalement homogène et isotrope en masse grave et en charge électrique », mais bien une coquille mince (de grand rayon) de distributions de masse grave et de charge électrique autrement uniformes. Soit.

Évidemment, si vous fixez le potentiel à l'infini comme valant 0, alors vous fixez partiellement une jauge et vous ne pouvez plus ajouter de constante au potentiel sans changer cette jauge... Pour autant, il s'agit d'un choix n'affectant pas la valeur des champs électriques et magnétiques, du moins dans le pur cadre de l'électrodynamique relativiste. Si j'ai clamé que ce choix n'était pas de nature à produire (classiquement) un effet physique mesurable, alors je le clame toujours.

Partons du fait que la solution des potentiels retardés (nuls à l'infini) vérifient la jauge de Lorentz et forment un quadrivecteur. La dernière propriété est cruciale car si le quadripotentiel est un quadrivecteur il est alors facile d'exprimer les composantes dans un nouveau référentiel.

Le choix de la jauge de Lorenz n'a rien de crucial dans le fait que les potentiels scalaire et vecteur forment un quadrivecteur, c'est seulement que cette jauge donne aux potentiels des expressions qui sont plus manifestement covariantes sous les transformations de Lorentz.

En particulier si une particule est plongée dans un potentiel uniforme dans un référentiel R, nous pouvons exprimer le quadripotentiel dans un nouveau référentiel R', nous avons :
et .
Dans ce référentiel R' on peut considérer que c'est la coquille qui est en mouvement à vitesse v, l'expression générale du champ électrique dans R' est
.

D'accord.

En considérant le cas le plus général où la vitesse de la coquille varie dans le temps, nous avons :
où est l'accélération de la coquille.

Vous avez oublié ici de dériver par rapport au temps le facteur . Cela devrait être

Selon le principe de relativité, nous sommes tous d'accord que mettre une charge test à l'intérieur d'une coquille et faire accélérer la coquille et strictement équivalent à faire accélérer la charge test à l'intérieur de la coquille. Donc conformément au principe de relativité, une charge q plongée dans un potentiel électrique défini selon la jauge de Lorentz et qui décrit un mouvement accéléré ressent une force qui vaut , qui dépend précisément de l'accélération de la charge et du potentiel électrique.

Au contraire, il est assez subtil d'obtenir un principe de relativité pour les référentiels accélérés ; il n'y a qu'à penser aux forces inertielles qui permettent de distinguer entre divers référentiels. Ensuite, en rechangeant de référentiel depuis le référentiel de la particule-test vers celle de la coquille, les champs électriques et magnétiques et la 4-force changent, de sorte qu'on ne peut dire aussi simplement que avec le ci-dessus.

Après tout, si la coquille est immobile, l'électromagnétisme nous apprend que le champ électromagnétique est nul à l'intérieur de la coquille (du moins, ce qu'elle produit est nul) donc aucune charge-test ne peut subir l'influence de la coquille à l'intérieur de celle-ci. Le fait que vous obteniez autre chose en changeant de référentiel et en invoquant le principe de relativité est, ironiquement, en violation avec l'esprit d'un principe de relativité...

Cordialement.

[juliendusud]

Bonjour,
Merci beaucoup pour les précisions, précisions changeant immensément l'esprit de l'argument. Il me semble cependant qu'il y a toujours erreur.

Donc nous ne considérons plus un « univers globalement homogène et isotrope en masse grave et en charge électrique », mais bien une coquille mince (de grand rayon) de distributions de masse grave et de charge électrique autrement uniformes. Soit.

Bonjour,

On y reviendra plus tard, concentrons nous sur le point crucial de la démonstration, à savoir la transformation relativiste des champs dans un référentiel accéléré.

Évidemment, si vous fixez le potentiel à l'infini comme valant 0, alors vous fixez partiellement une jauge et vous ne pouvez plus ajouter de constante au potentiel sans changer cette jauge... Pour autant, il s'agit d'un choix n'affectant pas la valeur des champs électriques et magnétiques, du moins dans le pur cadre de l'électrodynamique relativiste. Si j'ai clamé que ce choix n'était pas de nature à produire (classiquement) un effet physique mesurable, alors je le clame toujours.

Tant que l'on reste dans un référentiel galiléen (sans accélération) il n'y a effectivement pas d'effet classique mesurable même s'il y a toutefois des effets quantiques (effet Aharonov-Bohm mais ce n'est pas le sujet), les conséquences du choix de jauge interviennent lorsque l'on considère des référentiels accélérés.

Le choix de la jauge de Lorenz n'a rien de crucial dans le fait que les potentiels scalaire et vecteur forment un quadrivecteur, c'est seulement que cette jauge donne aux potentiels des expressions qui sont plus manifestement covariantes sous les transformations de Lorentz.

Il me semble que c'est la même chose, le changement de coordonnées d'un quadrivecteur se fait par transformation de Lorentz, ce qui est synonyme de covariance des coordonnées.

Vous avez oublié ici de dériver par rapport au temps le facteur . Cela devrait être

Je me suis placé volontairement dans le cas des faibles vitesses et faibles accélérations, si on tient compte de la dérivée temporelle de gamma, on retrouve de toute manière l'expression complète de la loi de Newton relativiste, voir http://www.julien-arlandis.fr/relati...te-les-forces/ (chapitre définition de la force).

Au contraire, il est assez subtil d'obtenir un principe de relativité pour les référentiels accélérés ; il n'y a qu'à penser aux forces inertielles qui permettent de distinguer entre divers référentiels. Ensuite, en rechangeant de référentiel depuis le référentiel de la particule-test vers celle de la coquille, les champs électriques et magnétiques et la 4-force changent, de sorte qu'on ne peut dire aussi simplement que avec le ci-dessus.

C'est exactement l'objet du calcul, et le résultat est le suivant.
Lorsqu'un corps est accéléré, la force F' qui s'exerce sur ce corps dans le référentiel accéléré lié à ce corps est exactement (à un coefficient près, qui vaut dans le cas gravitationnel) la transformation relativiste de la force F qu'il a fallu fournir pour l'accélérer depuis un référentiel galiléen. J'y vois là une manifestation de la propriété inertielle des particules.

Après tout, si la coquille est immobile, l'électromagnétisme nous apprend que le champ électromagnétique est nul à l'intérieur de la coquille (du moins, ce qu'elle produit est nul) donc aucune charge-test ne peut subir l'influence de la coquille à l'intérieur de celle-ci.

Là je ne suis pas d'accord, vous ne pouvez pas conclure aussi facilement dans le cas général vu qu'il n'existe pas de transformation générale des champs pour passer d'un référentiel galiléen à un référentiel accéléré. La transformation relativiste des champs n'est valable qu'entre référentiels galiléens, et effectivement dans ce cadre, si E=0 et B=0 dans un référentiel galiléen alors E'=0 et B'=0 dans tout autre référentiel mais pourvu qu'il soit galiléen. Pour établir le champ dans un référentiel accéléré il faut dans un premier temps transformer les potentiels dans ce nouveau référentiel à l'aide des transformations de Lorentz, et dans un second temps dériver les potentiels pour obtenir l'expression complète des champs. Intuitivement on comprend très facilement et sans calcul que si le potentiel vecteur est indépendant du temps dans un référentiel galiléen (par exemple un potentiel vecteur généré par un courant stationnaire), ce même courant deviendra variable dans le temps si on se place dans un référentiel accéléré, et donc le potentiel vecteur sera également dépendant du temps et donc il apparaîtra un champ électrique dans ce référentiel accéléré, et ceci indépendamment du fait qu'il existe ou non un champ magnétique dans le référentiel de départ.

Le fait que vous obteniez autre chose en changeant de référentiel et en invoquant le principe de relativité est, ironiquement, en violation avec l'esprit d'un principe de relativité...
Cordialement.

Justement je n'obtiens pas autre chose entre les deux référentiels puisque j'obtiens exactement des forces de même intensité mais de nature différente (réaction inertielle dans un référentiel galiléen, force électrique ou gravitationnelle dans un référentiel accéléré). Le raisonnement selon lequel l'absence de champ dans un référentiel galiléen doit entraîner l'absence de champ dans un référentiel autre que galiléen n'est pas valable, prenons le cas d'une charge électrique immobile, si on l'accélère elle va générer une onde électromagnétique, mais une onde électromagnétique apparaîtra de la même manière aux yeux de l'observateur si c'est lui qui accélère. Donc selon le référentiel on peut voir un champ électrostatique ou bien du rayonnement dans un référentiel accéléré. Il faut analyser très attentivement cette situation dans un cadre relativiste pour lever toute contradiction ou paradoxe apparent.

Cordialement,

Julien Arlandis

[invite93e0873f]

Bonjour,

Tant que l'on reste dans un référentiel galiléen (sans accélération) il n'y a effectivement pas d'effet classique mesurable même s'il y a toutefois des effets quantiques (effet Aharonov-Bohm mais ce n'est pas le sujet), les conséquences du choix de jauge interviennent lorsque l'on considère des référentiels accélérés.

Je vois bien mal en quoi l'invariance de jauge de l'électromagnétisme ne vaudrait plus lorsque la théorie est énoncée dans des référentiels accélérés. Ce n'est pas parce qu'il est souligné à gros traits ici et là que l'électromagnétisme de Newton est une théorie foncièrement relativiste, en ce sens que la relativité restreinte offre un cadre conceptuel plus naturel pour cette théorie que ne le permet la relativité et la dynamique classiques, qu'elle n'est que « relativiste restreinte ». Une formulation réellement invariante de ces théories (par exemple, géométrique) permet de le voir aisément.

Les équations de l'électromagnétisme classique dans n'importe quel référentiel inertiel s'écrivent comme suit. Étant donné l'espace de Minkowski et des coordonnées inertielles sur celui-ci, l'électromagnétisme classique s'écrit

et

avec le tenseur électromagnétique (une 2-forme différentielle), J le champ de courant (ici écrit comme un champ de quadri-(co)vecteur), la différentielle extérieure et la différentielle duale de Hodge. Écrites ainsi, ces équations ne laissent pas explicitement apparaître les coordonnées inertielles : il est bien possible que ces coordonnées soient inutiles. En fait, ces équations font du sens de façon invariante sur l'espace de Minkowski ; le principe du « couplage minimal » nous invitant à généraliser l'électromagnétisme à tous les systèmes de coordonnées en considérant ces équations valides dans chacun d'eux. La première équation sur F indique alors qu'il existe de manière invariante un champ de quadri-(co)vecteurs tel que , ce champ étant unique à l'ajout près d'un terme de la forme avec une fonction quelconque. Tant que sont des quantités « géométriques », donc « covariantes » en particulier sous les transformations de Lorentz. Ainsi, les transformations de jauge existent indépendamment d'un choix de coordonnées. Le choix d'une jauge est plutôt utilitaire, souvent justifié par certains soucis calculatoires dans un système de coordonnées : la jauge de Lorenz est essentiellement invariante sous les transformations de Lorentz, ce qui en fait un choix « visuellement » compatible avec la relativité, mais dans un sens plus général toutes les jauges le sont.

Il me semble que c'est la même chose, le changement de coordonnées d'un quadrivecteur se fait par transformation de Lorentz, ce qui est synonyme de covariance des coordonnées.

C'est ce que je dis. La jauge de Lorenz se comporte bien via des changements de coordonnées inertielles, ce qui la rend utile pour certaines fins, mais elle n'a rien de fondamental pour la formulation de l'électromagnétisme classique.

Je me suis placé volontairement dans le cas des faibles vitesses et faibles accélérations, si on tient compte de la dérivée temporelle de gamma, on retrouve de toute manière l'expression complète de la loi de Newton relativiste, voir http://www.julien-arlandis.fr/relati...te-les-forces/ (chapitre définition de la force).

Merci pour la précision.

C'est exactement l'objet du calcul, et le résultat est le suivant.
Lorsqu'un corps est accéléré, la force F' qui s'exerce sur ce corps dans le référentiel accéléré lié à ce corps est exactement (à un coefficient près, qui vaut dans le cas gravitationnel) la transformation relativiste de la force F qu'il a fallu fournir pour l'accélérer depuis un référentiel galiléen. J'y vois là une manifestation de la propriété inertielle des particules.

Cette première phrase, en elle-même, sans considération de la parenthèse, me paraît presque triviale. Seulement, elle ne me semble pas nécessiter votre argument pour être démontrée, argument qui, à l'inverse, ne me paraît pas adéquat pour démontrer cette affirmation.

Là je ne suis pas d'accord, vous ne pouvez pas conclure aussi facilement dans le cas général vu qu'il n'existe pas de transformation générale des champs pour passer d'un référentiel galiléen à un référentiel accéléré. La transformation relativiste des champs n'est valable qu'entre référentiels galiléens, et effectivement dans ce cadre, si E=0 et B=0 dans un référentiel galiléen alors E'=0 et B'=0 dans tout autre référentiel mais pourvu qu'il soit galiléen. Pour établir le champ dans un référentiel accéléré il faut dans un premier temps transformer les potentiels dans ce nouveau référentiel à l'aide des transformations de Lorentz, et dans un second temps dériver les potentiels pour obtenir l'expression complète des champs. Intuitivement on comprend très facilement et sans calcul que si le potentiel vecteur est indépendant du temps dans un référentiel galiléen (par exemple un potentiel vecteur généré par un courant stationnaire), ce même courant deviendra variable dans le temps si on se place dans un référentiel accéléré, et donc le potentiel vecteur sera également dépendant du temps et donc il apparaîtra un champ électrique dans ce référentiel accéléré, et ceci indépendamment du fait qu'il existe ou non un champ magnétique dans le référentiel de départ.

Je vois bien mal pourquoi une expression existerait pour la transformation des potentiels entre des référentiels quelconques, mais qu'il n'en existerait pas pour les champs (sans compter le fait que l'existence de la première implique l'existence de la seconde). Ceci dit, je suis d'accord avec l'essentiel de ce que vous écrivez là. Seulement, ça n'a rien de troublant : le tenseur électromagnétique F est défini invariablement, mais pas sa décomposition en champs électrique et magnétique.

Justement je n'obtiens pas autre chose entre les deux référentiels puisque j'obtiens exactement des forces de même intensité mais de nature différente (réaction inertielle dans un référentiel galiléen, force électrique ou gravitationnelle dans un référentiel accéléré). Le raisonnement selon lequel l'absence de champ dans un référentiel galiléen doit entraîner l'absence de champ dans un référentiel autre que galiléen n'est pas valable, prenons le cas d'une charge électrique immobile, si on l'accélère elle va générer une onde électromagnétique, mais une onde électromagnétique apparaîtra de la même manière aux yeux de l'observateur si c'est lui qui accélère. Donc selon le référentiel on peut voir un champ électrostatique ou bien du rayonnement dans un référentiel accéléré. Il faut analyser très attentivement cette situation dans un cadre relativiste pour lever toute contradiction ou paradoxe apparent.

Vous obtenez des choses différentes. Quel que soit le référentiel, à l'intérieur de la coquille (et en ne considérant que la coquille comme source), nous avons à résoudre les équations et , ce qui signifie que la 2-forme est harmonique à l'intérieur de la coquille ; par symétrie sous rotation de la coquille, cela oblige . Ceci fait du sens de façon invariante, même dans des coordonnées non inertielles sur . Cependant, l'argument de symétrie est basé implicitement sur le fait que la coquille a un mouvement foncièrement inertiel. Le calcul que vous faites est basé au contraire sur le fait que vous êtes dans un référentiel inertiel et que vous percevez la coquille comme ayant un mouvement accéléré, donc non inertiel ; vous obtenez alors le champ qu'elle produit.

C'est bien différent, car dans la première situation, une charge-test instantanément immobile relativement à la coquille le restera, mais pas dans la seconde situation. D'ailleurs, si une charge foncièrement accélérée émet bien un rayonnement électromagnétique, ce n'est pas vrai qu'une charge foncièrement inerte paraîtra émettre un rayonnement électromagnétique pour un observateur qui est accéléré. En des termes géométriques, pour ces deux situations, le quadri-courant J ne se « comporte » pas du tout de la même manière vis-à-vis de la métrique minkowskienne, montrant qu'il y a une différence profonde entre les deux.

Cordialement.

[juliendusud]

Bonjour,



Je vois bien mal en quoi l'invariance de jauge de l'électromagnétisme ne vaudrait plus lorsque la théorie est énoncée dans des référentiels accélérés. Ce n'est pas parce qu'il est souligné à gros traits ici et là que l'électromagnétisme de Newton est une théorie foncièrement relativiste, en ce sens que la relativité restreinte offre un cadre conceptuel plus naturel pour cette théorie que ne le permet la relativité et la dynamique classiques, qu'elle n'est que « relativiste restreinte ». Une formulation réellement invariante de ces théories (par exemple, géométrique) permet de le voir aisément.

Les équations de l'électromagnétisme classique dans n'importe quel référentiel inertiel s'écrivent comme suit. Étant donné l'espace de Minkowski et des coordonnées inertielles sur celui-ci, l'électromagnétisme classique s'écrit

et

avec le tenseur électromagnétique (une 2-forme différentielle), J le champ de courant (ici écrit comme un champ de quadri-(co)vecteur), la différentielle extérieure et la différentielle duale de Hodge. Écrites ainsi, ces équations ne laissent pas explicitement apparaître les coordonnées inertielles : il est bien possible que ces coordonnées soient inutiles. En fait, ces équations font du sens de façon invariante sur l'espace de Minkowski ; le principe du « couplage minimal » nous invitant à généraliser l'électromagnétisme à tous les systèmes de coordonnées en considérant ces équations valides dans chacun d'eux. La première équation sur F indique alors qu'il existe de manière invariante un champ de quadri-(co)vecteurs tel que , ce champ étant unique à l'ajout près d'un terme de la forme avec une fonction quelconque. Tant que sont des quantités « géométriques », donc « covariantes » en particulier sous les transformations de Lorentz. Ainsi, les transformations de jauge existent indépendamment d'un choix de coordonnées. Le choix d'une jauge est plutôt utilitaire, souvent justifié par certains soucis calculatoires dans un système de coordonnées : la jauge de Lorenz est essentiellement invariante sous les transformations de Lorentz, ce qui en fait un choix « visuellement » compatible avec la relativité, mais dans un sens plus général toutes les jauges le sont.




C'est ce que je dis. La jauge de Lorenz se comporte bien via des changements de coordonnées inertielles, ce qui la rend utile pour certaines fins, mais elle n'a rien de fondamental pour la formulation de l'électromagnétisme classique.




Merci pour la précision.



Cette première phrase, en elle-même, sans considération de la parenthèse, me paraît presque triviale. Seulement, elle ne me semble pas nécessiter votre argument pour être démontrée, argument qui, à l'inverse, ne me paraît pas adéquat pour démontrer cette affirmation.



Je vois bien mal pourquoi une expression existerait pour la transformation des potentiels entre des référentiels quelconques, mais qu'il n'en existerait pas pour les champs (sans compter le fait que l'existence de la première implique l'existence de la seconde). Ceci dit, je suis d'accord avec l'essentiel de ce que vous écrivez là. Seulement, ça n'a rien de troublant : le tenseur électromagnétique F est défini invariablement, mais pas sa décomposition en champs électrique et magnétique.



Vous obtenez des choses différentes. Quel que soit le référentiel, à l'intérieur de la coquille (et en ne considérant que la coquille comme source), nous avons à résoudre les équations et , ce qui signifie que la 2-forme est harmonique à l'intérieur de la coquille ; par symétrie sous rotation de la coquille, cela oblige . Ceci fait du sens de façon invariante, même dans des coordonnées non inertielles sur . Cependant, l'argument de symétrie est basé implicitement sur le fait que la coquille a un mouvement foncièrement inertiel. Le calcul que vous faites est basé au contraire sur le fait que vous êtes dans un référentiel inertiel et que vous percevez la coquille comme ayant un mouvement accéléré, donc non inertiel ; vous obtenez alors le champ qu'elle produit.

C'est bien différent, car dans la première situation, une charge-test instantanément immobile relativement à la coquille le restera, mais pas dans la seconde situation. D'ailleurs, si une charge foncièrement accélérée émet bien un rayonnement électromagnétique, ce n'est pas vrai qu'une charge foncièrement inerte paraîtra émettre un rayonnement électromagnétique pour un observateur qui est accéléré. En des termes géométriques, pour ces deux situations, le quadri-courant J ne se « comporte » pas du tout de la même manière vis-à-vis de la métrique minkowskienne, montrant qu'il y a une différence profonde entre les deux.

Cordialement.

Bonjour,

J'ai du mal à vous suivre, vous glissez sur le terrain des mathématiques pour énoncer des généralités à partir desquelles vous semblez invalider le raisonnement qui a conduit au calcul du champ électrique que vous avez vous même confirmé (en tenant compte de la dérivée temporelle de gamma).
Pour vous montrer que le champ électrique ne peut pas être nul du point de vue de l'observateur qui accélère à l'intérieur de la coquille je m'en tiendrai à la série d'arguments suivants.

1er argument : il ne peut pas exister de transformations des champs entre référentiels accélérés car les champs ne contiennent pas suffisamment d'information pour établir cette transformation. Si nous considérons une région de l'espace vide de champ électrique et magnétique, cette seule information s'avère insuffisante pour savoir si l'espace tout autour de nous est vide ou si nous sommes par exemple à l'intérieur d'une coquille chargée. Donc si E=0 et B=0 dans un référentiel galiléen, on ne pourra rien déduire de la valeur des champs E' et B' dans un référentiel accéléré car on ne peut pas en déduire à partir des données de départ si l'espace autour de nous contient des charges et encore moins quel est leur état de mouvement. Rappelons que les champs dépendent explicitement de la position, de la vitesse et de l'accélération des charges au temps retardé. À l'inverse, avec la jauge de Lorenz, les potentiels retardés contiennent une information sur la répartition des charges et le potentiel vecteur sur l'état d'entrainement globales de celles ci.

2ème argument : si on considère l'énergie globale du système coquille + charge test, l'énergie potentielle ne sera pas la même si la charge est située à l'intérieur ou à l'extérieur de la coquille. En effet le champ électrique est nul seulement à l'intérieur de la coquille mais pas à l'extérieur il faudra donc fournir un travail pour faire franchir la barrière de la coquille à la charge test. Or la dynamique relativiste nous enseigne que l'énergie étant différente dans les deux situations, la masse inertielle du système complet sera également différente. L'inertie de la charge test sera donc différente lorsqu'elle est à l'intérieur de la coquille de ce qu'elle est à l'extérieur de la coquille. Le fait qu'un champ électrique apparaisse à l'intérieur de la coquille dans le référentiel de la charge lorsqu'elle accélère est absolument nécessaire pour rendre compte de la différence d'inertie entre les deux situations. Mieux encore cela permet de retrouver la différence de masse inerte entre les deux systèmes .

3ème argument : Nous savons que les charges accélérées produisent un champ électrique maximal perpendiculaire à la ligne d'accélération et que ce champ électrique à la même direction que l'accélération de la charge. De fait, si on se place dans un référentiel galiléen et que la coquille accélère, pour des raisons de symétrie évidentes il y a aura un champ électrique (de rayonnement) qui apparaîtra à l'extérieur de la coquille mais aussi à l'intérieur.

4ème argument : Le principe de relativité ne nous permet pas de distinguer qui de la coquille ou de l'observateur est en mouvement, de ce fait si nous considérons le cas où c'est la coquille qui est immobile dans un référentiel galiléen et l'observateur qui est accéléré celui-ci observera de la même façon un champ électrique, le même que celui développé dans le 3ème argument. Cet argument rejoint l'idée que les deux formes d'induction connues au 19ème siècle (l'induction de Von Newmann et l'induction de Lorentz) devaient avoir la même origine physique, en effet, que l'aimant oscille dans la bobine, ou que la bobine oscille autour de l'aimant sont des situations strictement équivalentes. Ce constat établi par Einstein est à la base de la théorie de la relativité restreinte.

5ème argument : Le quadripotentiel est covariant sous une transformation de Lorentz, la transformation des potentiels est donc valable que le référentiel soit accéléré ou non (seul importe dans la transformation la vitesse instantanée entre les deux référentiels). Comme les champs se dérivent des potentiels il est possible d'en déduire l'expression des champs dans tous les référentiels à partir des potentiels. Ce calcul est développé dans le post initial et vous l'avez vous même généralisé en tenant compte de la variation du facteur gamma.

6ème argument : je viens de prendre connaissance de ce cours qui expose les idées que j'ai développées dans ce fil sur le sujet de l'inertie. <http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9781461456223-c1.pdf?SGWID=0-0-45-1364319-p174609485>. Ce n'est pas un argument en soit, mais les arguments se trouvent sur le lien indiqué.

Cordialement,

Julien Arlandis

[invite93e0873f]

Bonjour,

J'ai du mal à vous suivre, vous glissez sur le terrain des mathématiques pour énoncer des généralités à partir desquelles vous semblez invalider le raisonnement qui a conduit au calcul du champ électrique que vous avez vous même confirmé (en tenant compte de la dérivée temporelle de gamma).
Pour vous montrer que le champ électrique ne peut pas être nul du point de vue de l'observateur qui accélère à l'intérieur de la coquille je m'en tiendrai à la série d'arguments suivants.

Vous affirmiez vouloir vous placer dans le cadre stricte, ou pur, de l'électromagnétisme classique. Or, votre raisonnement sort de ce cadre dès que vous inférez des calculs fait dans un référentiel (celui de la particule-test) les champs produits par la coquille (dans son propre référentiel, qui est accéléré par rapport au précédent). Outre ce passage, les calculs peuvent se justifier dans le cadre de cette théorie (encore que j'ai quelques doutes concernant le calcul pour les champs de la coquille accélérée, malgré mon accord antérieur).

1er argument : il ne peut pas exister de transformations des champs entre référentiels accélérés car les champs ne contiennent pas suffisamment d'information pour établir cette transformation. Si nous considérons une région de l'espace vide de champ électrique et magnétique, cette seule information s'avère insuffisante pour savoir si l'espace tout autour de nous est vide ou si nous sommes par exemple à l'intérieur d'une coquille chargée. Donc si E=0 et B=0 dans un référentiel galiléen, on ne pourra rien déduire de la valeur des champs E' et B' dans un référentiel accéléré car on ne peut pas en déduire à partir des données de départ si l'espace autour de nous contient des charges et encore moins quel est leur état de mouvement. Rappelons que les champs dépendent explicitement de la position, de la vitesse et de l'accélération des charges au temps retardé. À l'inverse, avec la jauge de Lorenz, les potentiels retardés contiennent une information sur la répartition des charges et le potentiel vecteur sur l'état d'entrainement globales de celles ci.

Les champs et s'obtiennent des potentiels par les formules bien connues que vous avez d'ailleurs utilisées (ces champs s'obtiennent du moins de ces formules dans un repère inertiel). Donc si vous savez comment les potentiels changent par changement de référentiel, vous savez aussi comment les champs changent par ce changement de référentiel. En fait, et se réunissent en le 2-tenseur que nous savons bien comment changer sous les transformations de Lorentz, voire sous toutes les transformations de l'espace-temps si nous supposons, via le principe de couplage minimal, que F est un « véritable » 2-tenseur et pas seulement un « 2-tenseur de Lorentz ».

Ainsi, l'accent que vous mettez à dire qu'il existe une loi générale pour la transformation des potentiels, mais aucune pour les champs, m'est incompréhensible. D'autant plus que les potentiels ont une symétrie de jauge les rendant encore moins déterminés que les champs ; cette indétermination est partiellement réduite en se plaçant dans la jauge de Lorenz et l'est totalement si en plus les potentiels peuvent être pris nuls à l'infini, mais dans tous les cas les potentiels ne sont pas davantage déterminés que les champs qu'ils induisent.

2ème argument : si on considère l'énergie globale du système coquille + charge test, l'énergie potentielle ne sera pas la même si la charge est située à l'intérieur ou à l'extérieur de la coquille. En effet le champ électrique est nul seulement à l'intérieur de la coquille mais pas à l'extérieur il faudra donc fournir un travail pour faire franchir la barrière de la coquille à la charge test. Or la dynamique relativiste nous enseigne que l'énergie étant différente dans les deux situations, la masse inertielle du système complet sera également différente. L'inertie de la charge test sera donc différente lorsqu'elle est à l'intérieur de la coquille de ce qu'elle est à l'extérieur de la coquille. Le fait qu'un champ électrique apparaisse à l'intérieur de la coquille dans le référentiel de la charge lorsqu'elle accélère est absolument nécessaire pour rendre compte de la différence d'inertie entre les deux situations. Mieux encore cela permet de retrouver la différence de masse inerte entre les deux systèmes .

Je ne saisis pas ce qui est en argumenté dans ce point. Dès que la charge-test se trouve à l'extérieur de la coquille, le champ électrique effectue automatiquement un travail sur celle-ci de sorte que l'énergie mécanique (globale) soit préservée. Si de ce fait la particule entre à l'intérieur de la coquille, plus aucun travail ne sera fait dès qu'elle y restera, mais l'énergie sera toujours conservée. J'exclus ici volontairement la radiation émise lors de cette interaction naturelle, radiation rendant le système non conservatif ; mais en incluant le champ électromagnétique dans le système, le système devenant fermé, l'énergie est encore conservée. Si vous voulez interférer avec cette interaction coquille/particule-test, il est possible que vous fournissiez un travail modifiant l'énergie, mais c'est votre intervention qui change la donne, pas l'interaction naturelle ayant cours dans ce système. Je ne vois pas d'où vous en concluez que la masse du système change. Je ne vois pas plus le lien entre ces considérations et les changements de référentiel.

3ème argument : Nous savons que les charges accélérées produisent un champ électrique maximal perpendiculaire à la ligne d'accélération et que ce champ électrique à la même direction que l'accélération de la charge. De fait, si on se place dans un référentiel galiléen et que la coquille accélère, pour des raisons de symétrie évidentes il y a aura un champ électrique (de rayonnement) qui apparaîtra à l'extérieur de la coquille mais aussi à l'intérieur.

Ce constat me semble tenir pour des situations assez particulières, voire même sous certaines approximations... Par exemple, dans cette équation du champ électrique, je ne vois pas où le champ est forcément colinéaire à l'accélération aux points du plan normal au vecteur accélération. Je ne perçois pas non plus les symétries dont vous parlez. Mais bon, j'imagine que cet argument n'est pas décisif dans votre raisonnement, seulement suggestif.

4ème argument : Le principe de relativité ne nous permet pas de distinguer qui de la coquille ou de l'observateur est en mouvement, de ce fait si nous considérons le cas où c'est la coquille qui est immobile dans un référentiel galiléen et l'observateur qui est accéléré celui-ci observera de la même façon un champ électrique, le même que celui développé dans le 3ème argument. Cet argument rejoint l'idée que les deux formes d'induction connues au 19ème siècle (l'induction de Von Newmann et l'induction de Lorentz) devaient avoir la même origine physique, en effet, que l'aimant oscille dans la bobine, ou que la bobine oscille autour de l'aimant sont des situations strictement équivalentes. Ce constat établi par Einstein est à la base de la théorie de la relativité restreinte.

Le principe de relativité n'implique pas l'équivalence de tous les mouvements, du moins pas de la façon dont je comprends l'utilisation que vous en faîtes. Je rappelle qu'il y a eu un long débat concernant l'interprétation des équations de Maxwell. Certains physiciens ne les percevaient valides telles qu'écrites que dans un référentiel privilégié, celui de l'éther, alors point de relativité de ces équations précises dans leur esprit. Einstein a plus ou moins stipulé leur validité dans tous les référentiels inertiels pour obtenir la relativité restreinte, mais il s'est bien gardé d'énoncer leur validité dans tous les référentiels.

La double interprétation du phénomène d'influence entre un aimant permanent et une bobine conductrice dont parle Einstein au début de son article De l'électrodynamique des corps en mouvement ne tient vraiment que si les deux objets sont au repos par rapport à des référentiels inertiels (en particulier, leur mouvement relatif se fait à vitesse constante), malgré la généralité des termes employés par Einstein. En effet, si l'aimant était ici accéléré, et si dans son référentiel les équations habituelles de Maxwell tenaient, les champs émis par l'aimant seraient radiatifs dans un référentiel et ne le seraient pas dans l'autre. Ah, bien sûr, les champs émis par la bobine ne seraient pas radiatifs dans l'un et le seraient dans l'autre, on pourrait croire que ça contre-balance, mais il s'avère que non.

D'ailleurs, nous avons esquivé la problématique jusqu'à maintenant, mais il serait bien de définir ce qu'est un référentiel non inertiel, bref comment on peut associer un référentiel par rapport auquel un objet accéléré serait au repos. C'est un fait assez connu que la synchronisation des horloges n'est pas aisée... Or les équations de Maxwell telles qu'écrites habituellement nécessitent une notion de temps.

5ème argument : Le quadripotentiel est covariant sous une transformation de Lorentz, la transformation des potentiels est donc valable que le référentiel soit accéléré ou non (seul importe dans la transformation la vitesse instantanée entre les deux référentiels). Comme les champs se dérivent des potentiels il est possible d'en déduire l'expression des champs dans tous les référentiels à partir des potentiels. Ce calcul est développé dans le post initial et vous l'avez vous même généralisé en tenant compte de la variation du facteur gamma.

Cette idée fonctionne bien afin d'obtenir les champs produits par une particule chargée dans un référentiel inertiel. L'importance du référentiel inertiel est qu'on fait une succession de transformations de Lorentz depuis ce référentiel jusqu'au référentiel inertiel instantané de la particule, puis vers un autre, puis vers un autre... la composition permettant d'en déduire des expressions des champs dans le premier référentiel inertiel qui n'est pas nécessairement un référentiel instantané de la particule. L'importance de la particule, et pas nécessairement d'une coquille, tient au fait que nous nous sauvons de devoir spécifier le mouvement relatif des diverses parties de la source (une particule n'ayant qu'une seule partie). En effet, avec une coquille qui accélère, il me paraît difficile (c'est bien possible que ça ne tienne qu'à moi) de se convaincre s'il ne faut pas d'une façon ou d'une autre prendre en compte que la coquille perd possiblement son aspect sphérique, voire ellipsoïdale, engendrant ainsi une contribution autre aux champs que celle obtenue par le type de raisonnement que vous ou Sciama utilisez. Et même pour une particule, j'ai des doutes... enfin, j'y reviendrai peut-être.

6ème argument : je viens de prendre connaissance de ce cours qui expose les idées que j'ai développées dans ce fil sur le sujet de l'inertie. <http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9781461456223-c1.pdf?SGWID=0-0-45-1364319-p174609485>. Ce n'est pas un argument en soit, mais les arguments se trouvent sur le lien indiqué.

Merci pour ce lien. Les problématiques entourant le principe de Mach m'ont toujours intriguées, peut-être même intriguées par-dessus toute autre chose. Cet intérêt particulier explique certainement mon grand scepticisme envers des considérations comme les vôtres (et comme celles que j'aie parfois). Enfin, merci encore pour cette référence.

Cordialement.