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La renormalisation qu’est-ce que c'est?

  1. viiksu

    Date d'inscription
    juin 2017
    Localisation
    Maisons-Laffitte
    Messages
    492

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Oui c'est extrêmement bizarre il semblerait que le monde ne soit pas strictement mathématique à la mode Platon. Théorèmes non prouvés mais qui marchent, domaines de validité, recettes de cuisine, les maths semblent être une boite à outils mais ne sont pas le monde.

    Si en passant vous avez une référence littéraire pour la QFT accessible niveau? disons que je sais ce qu'est un Lagrangien et que j'ai une bonne idée de la relativité, je lis aussi l'Anglais sans problèmes sauf pour ces films Américains ou même les sous-titres anglais sont incompréhensibles bourrés de fuck and shit.

    -----

    Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
     


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  2. ThM55

    Date d'inscription
    juin 2013
    Messages
    271

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Heureusement l'anglais scientifique a peu recours à l'argot.

    Le problème avec la théorie quantique des champs est qu'il y a une multitude de livres et de cours en ligne, chacun différant de ses voisins par de subtils détails. Et ils sont pour la plupart écrits pour apprendre à calculer des processus avec des particules, donc sont très difficiles sur le plan technique. Ils ont aussi beaucoup évolué depuis les classiques de Bjorken et Drell. Ils sont difficiles à lire car s'adressent à des étudiants d'un niveau assez élevé en mécanique quantique et en relativité ("approfondies").

    Pour une bonne vulgarisation: Feynman, Lumière et Matière, une étrange histoire. (disponible en français; en anglais le titre est QED: The Strange Theory of Light and Matter).

    Pour une référence "littéraire", c'est-à-dire libérée des détails calculatoires, il y a le livre de Paul Teller: "An interpretive introduction to quantum field theory", Princeton university press, https://books.google.be/books?id=4f3...gbs_navlinks_s . Assez orienté "philosophie", mais ce n'est pas de la vulgarisation: il parle d'espaces de Hilbert, de mécanique quantique etc.

    Pour une introduction plus mathématique mais accessible, avec pas mal d'explications sur les concepts, j'ai trois références:
    - Tom Lancaster, Quantum field theory for the gifted amateur (Oxford University Press): ne demande qu'une connaissance de base de la relativité et des notions de mécanique quantique non relativiste. Il explique plein de choses de manière très pédagogique, en particulier la renormalisation, SANS supposer le "haut niveau" comme les livres plus classiques. Cela en fait un cas unique à ma connaissance.
    - Anthony Zee, Quantum field theory in a nutshell (Princeton University Press): on apprend les méthodes de calcul, mais il insiste plutôt sur le contenu physique et la compréhension générale de ce que l'on fait (notamment la renormalisation), ce qui en fait un cours sans doute insuffisant pour devenir un physicien expert des particules, mais vise "une tête bien faite" plutôt qu'une "tête bien pleine".
    - Anthony Duncan, The conceptual framework of quantum field theory, Oxford (plus difficile techniquement que les précédents, mais il a le mérite de sonder profondément le contenu conceptuel).
    Dernière modification par ThM55 ; 06/01/2018 à 11h36. Motif: Orthographe, redondance
     

  3. 0577

    Date d'inscription
    avril 2012
    Messages
    364

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Bonjour,

    J'aimerais donner un point de vue sur la renormalisation orthogonal (bien que fondamentalement équivalent) à ceux donnés par Deedee81 et ThM55, car prenant pour point de départ l'intégrale de Feynman. Feynman a montré comment la théorie quantique non-relativiste d'une particule pouvait se reformuler en termes d'intégration sur l'espace de toutes les trajectoires possibles de la particule classique. D'une manière parallèle, une des approches possibles à la théorie quantique des champs est d'essayer d'intégrer sur des espaces de configurations de champs classiques. Paramétrer ces configurations de champ requiert un nombre infini de variables: la valeur du champ en chacun des points de l'espace-temps. On a donc à considérer une intégration portant sur un nombre infini de variables et il n'est pas clair ce que cela signifie mathématiquement a priori. Pour progresser, on peut tout d'abord remplacer l'espace-temps infini par un espace-temps de volume fini, une sorte de boîte spatio-temporelle, puis discrétiser cette boîte en la remplaçant par une grille de points. Autrement dit, on a remplacé le nombre infini de points de l'espace-temps initial par un nombre fini de points d'une grille. Une configuration d'un champ sur la grille est donnée par le nombre fini de valeurs du champs aux points de la grille. L'intégrale sur les configurations du champ se réduit donc à une intégrale sur un nombre fini de variables, qui a un sens mathématique usuel.

    Le problème est que cette grille n'est qu'une approximation de l'espace-temps et notre intégrale avec un nombre fini de variables n'est donc qu'une approximation à la quantité physique qu'on cherche à calculer. Pour obtenir une meilleure approximation, on peut essayer d'augmenter la taille de la grille et sa densité. Si dans la limité où la taille de la grille et sa densité tendent vers l'infini, les valeurs des intégrales calculées à chaque étape tendent vers une valeur limite, alors cette limite sera la valeur prédite par notre théorie pour la quantité physique qu'on cherche à calculer. Le problème est que le plus souvent, si on prend cette limite de manière "naïve", avec un Lagrangien fixe pour le champ vivant sur la grille, alors les valeurs des intégrales calculées à chaque étape ne convergent pas. Pour avoir une limite bien définie, il faut en général autoriser les paramètres du Lagrangien à dépendre des paramètres de la grille. Cette relation non-triviale entre paramètres du Lagrangien et paramètres de la grille est la "renormalisation".

    J'espère que la description ci-dessus est assez concrète et qu'il est clair qu'elle contient des idées familières en calcul numérique. Pour calculer une intégrale ordinaire, avec un nombre fini de variables, une approche numérique consiste à discrétiser l'espace des variables, pour réduire l'intégrale à une somme. On obtient ainsi une valeur approchée de l'intégrale. En prenant des discrétisations de plus en plus fines, on obtient des approximations de plus en plus précises et dans la limite où le pas de la discrétisation tend vers zéro, on trouve la valeur de l'intégrale. En fait (pour des fonctions raisonnables), ce procédé de discrétisation et de passage à la limite est essentiellement la définition de l'intégrale. Le concept d'intégrale est aujourd'hui familier à n'importe qui ayant fait un peu de mathématiques mais ça n'a pas toujours été le cas.

    La définition des théories quantiques des champs par intégrale de Feynman suit la même logique de discrétisation et de passage à la limite, à la différence près que ce passage à la limite est nettement plus difficile à comprendre. En un sens, la théorie quantique des champs aujourd'hui est encore similaire au calcul différentiel et intégral du 17ième siècle.
     

  4. 0577

    Date d'inscription
    avril 2012
    Messages
    364

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    je me demande s'il est approprié de mentionner le théorème de Haag (c'est bien de cela qu'il s'agit?) dans le cadre de cette question, cela pourrait nous embarquer dans des questions difficiles qui ne vont pas intéresser viksuu, car un peu hors sujet. Mais ces questions me passionnent et je voudrais faire part de mon idée en deux mots. Moi non plus, je ne comprends pas bien le lien avec les divergences infrarouges ou ultraviolettes, mais il est évident que tout se tient dans une théorie déductive, donc on doit pouvoir trouver des connexions. J'ai une opinion un peu inhabituelle (je crois) à propos du théorème de Haag: je crois qu'il est faux. Certes, il est démontré rigoureusement à partir d'axiomes, mais je soupçonne que certains de ces axiomes sont erronés dans la "vraie vie", même s'ils permettent de construire une TQC qui "marche".
    le théorème de Haag est lié aux divergences infrarouges et est, à mon avis, quelque chose d'essentiellement trivial. Une variante simple de l'argument est:

    Le "vide" (état d'énergie minimal) de la théorie avec interactions est différent du "vide" de la théorie libre.
    Si l'on essaye de voir le "vide" de la théorie avec interactions du point de vue de la théorie libre, on trouve un état qui dans la théorie libre a une densité d'énergie non-nulle. Dans un espace de volume infini, on en déduit que le "vide" de la théorie avec interactions est un état d'énergie infinie du point de vue de la théorie libre.

    Le "problème" lié au théorème de Haag est un problème "infrarouge", i.e. lié aux grandes distances, car l'infini de l'argument précédent n'apparaît que parce que l'espace a un volume infini. Si l'on se restreint à une boîte de volume fini, le théorème de Haag ou ses variantes ne s'appliquent pas. Il n'y a donc aucun problème à utiliser une représentation d'interaction pour calculer des grandeurs physiques qui sont limites de grandeurs physiques calculables en volume fini (de manière plus provocante: mettez le LHC dans une boîte d'une année-lumière de côté, les résultats des expériences ne devraient pas beaucoup changer).

    D'autre part, la théorie renormalisée est très différente de la théorie libre, je crois qu'on n'apprécie pas toujours ce fait à sa juste valeur
    Entièrement d'accord. La seule chose infinie en renormalisation est la "distance" entre la théorie libre et la théorie avec interactions.

    Cela dit, je rejoins la plupart des auteurs qui ont écrit sur ce sujet: ces bizarreries montrent qu'on ne dispose pas encore d'une théorie mathématique formellement consistante et complète de la théorie quantique des champs.
    Les théories perturbatives sont rigoureusement bien définies (diagrammes de Feynman+renormalisation). Je suis d'accord pour les aspects non-perturbatifs.
     

  5. brhmagupta

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    mai 2016
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    124

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Bonjour,
    Si mes souvenirs sont exacts, Richard Feynman, tout en admirant l'astuce de la renormalisation y voyait une "cuisine " confinant au hold up ! Il fallut attendre Alain Connes pour lui trouver une justification mathématique : http://www.alainconnes.org/docs/ramis.pdf
    Si ta parole est plus forte que le silence, parle, sinon ne parle pas (Euripide)
     


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  6. viiksu

    Date d'inscription
    juin 2017
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    Maisons-Laffitte
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    492

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Citation Envoyé par brhmagupta Voir le message
    Bonjour,
    Si mes souvenirs sont exacts, Richard Feynman, tout en admirant l'astuce de la renormalisation y voyait une "cuisine " confinant au hold up ! Il fallut attendre Alain Connes pour lui trouver une justification mathématique : http://www.alainconnes.org/docs/ramis.pdf
    J'ai arrêté là:

    Le résultat clé est l’identite entre le procédé récursif utilise par les physiciens et les
    formules mathématiques qui résolvent une application γ : C 7→ G d’un cercle C ⊂ S2
    a` valeurs dans un groupe pronilpotent G en un rapport d’applications holomorphe
    γ± : C± 7→ G des composantes connexes du complémentaire de C dans S2
    . La signification géométrique de cette décomposition (de Birkhoff ou Wiener-Hopf) provient
    directement de la théorie des fibrés holomorphes de groupe structural G sur la sphère
    de Riemann S2
    Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
     

  7. viiksu

    Date d'inscription
    juin 2017
    Localisation
    Maisons-Laffitte
    Messages
    492

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    En tout cas merci a tous pour vos contributions et merci à Alain Connes d'avoir trouvé une justification mathématique que peut-être lui seul sur terre est capable de comprendre, je le dis sans ironie car ce Monsieur est un pur génie. Finalement les physiciens font des maths théoriques comme M Jourdain la prose: sans le savoir.

    Je viens de retrouver "Quantum Field Theory for the gifted amateur" dans ma bibliothèque dès la troisième page on nous balance l'oscillateur harmonique quantique pour l'instant je suis mais reste 400 pages.
    Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
     

  8. ThM55

    Date d'inscription
    juin 2013
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    271

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Alain Connes a effectivement travaillé sur les structures algébriques et combinatoires de la renormalisation, après la découverte par Kreimer qu'elle était structurée par des algèbres de Hopf. A mon avis on n'en est plus, depuis plus de 40 ans, à considérer la renormalisation comme un "holdup" ou une "recette de cuisine". Du point de vue mathématique, il y a eu la clarification par les méthodes BPHZ et surtout Epstein-Glaser ( http://www.numdam.org/article/AIHPA_...19_3_211_0.pdf ) qui permet de formuler par exemple QED de manière parfaitement régulière du point de vue mathématique, dans le cadre de la théorie des distributions, sans avoir besoin des structures découvertes par Kreimer. Voir aussi le traité de Günther Scharf, Finite quantum electrodynamics (republié récemment en édition bon marché ): idéalement c'est comme dans ce texte qu'on devrait enseigner l'électrodynamique quantique pour qu'elle n'apparaisse plus comme des recettes de cuisine, mais la manipulation de ces distributions sur l'espace-temps est tout de même difficile à maîtriser, et cela ajoute encore une difficulté à une matière qui en comporte déjà beaucoup.

    Il faut aussi mentionner le point de vue de Wilson, qui a expliqué la signification physique de tout cela en appliquant le groupe de renormalisation au phénomènes critiques. C'est de la physique statistique de la matière condensée, donc a priori rien à voir avec la physique des particules, mais ce que Wilson a montré est qu'une théorie renormalisable possède quelque chose en commun avec le comportement générique d'une transition de phase au point critique. La similitude est parfaite dans les équations et montre bien ce qu'est une théorie renormalisable, ce que j'ai déjà expliqué plus haut. Je trouve qu'un tel point de vue est finalement plus riche d'enseignements qu'une théorie mathématiquement bien propre.
    Dernière modification par ThM55 ; 07/01/2018 à 10h51. Motif: Orthographe
     

  9. ThM55

    Date d'inscription
    juin 2013
    Messages
    271

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Personnellement, j'ai aussi un peu de mal à accepter la théorie des distributions. Mon prof d'analyse nous disait que la théorie des distributions avait transformé l'analyse fonctionnelle; avant, elle était un jardin à l'anglaise, avec plein de bosquets, de petits chemins labyrinthiques, des vues pittoresques et la théorie des distributions a transformé cela en un jardin à la française avec des allées bien droites, des vues dégagées et lointaines. Je vois ce qu'il voulait dire, mais j'ai toujours gardé l'impression que travailler avec des distributions (par exemple produire des "solutions faibles" d'équations aux dérivées partielles) revenait un peu à tricher avec la réalité. Par exemple un système physique n'a pas de vraie "réponse impulsionnelle", car on ne peut pas fabriquer la distribution de Dirac dans la réalité, ce ne sera jamais qu'une approximation. En travaillant avec des distributions on se met dans une sorte de monde féérique idéal. Qu'en pensez-vous?
    Dernière modification par ThM55 ; 07/01/2018 à 11h11. Motif: "s" à la fin au pluriel!
     

  10. ThM55

    Date d'inscription
    juin 2013
    Messages
    271

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Et merci à toi Viiksu pour ta question ainsi qu'à 0577, Deedee81 et Brhmagupta pour leurs remarques. C'est un sujet très intéressant, j'ai aussi encore beaucoup à apprendre .
     

  11. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 492

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Citation Envoyé par ThM55 Voir le message
    Personnellement, j'ai aussi un peu de mal à accepter la théorie des distributions. Mon prof d'analyse nous disait que la théorie des distributions avait transformé l'analyse fonctionnelle; avant, elle était un jardin à l'anglaise, avec plein de bosquets, de petits chemins labyrinthiques, des vues pittoresques et la théorie des distributions a transformé cela en un jardin à la française avec des allées bien droites, des vues dégagées et lointaines. Je vois ce qu'il voulait dire, mais j'ai toujours gardé l'impression que travailler avec des distributions (par exemple produire des "solutions faibles" d'équations aux dérivées partielles) revenait un peu à tricher avec la réalité. Par exemple un système physique n'a pas de vraie "réponse impulsionnelle", car on ne peut pas fabriquer la distribution de Dirac dans la réalité, ce ne sera jamais qu'une approximation. En travaillant avec des distributions on se met dans une sorte de monde féérique idéal. Qu'en pensez-vous?
    Bonjour,
    Si on refuse les distributions par principe, on est assez vite conduit à refuser les discontinuités en général.
    Pas de dirac dans la vraie vie : Ok.
    Intégrons pour régulariser le dirac : On obtient un échelon. Argh discontinuité en 0.
    Intégrons encore pour régulariser l'échelon : On obtient une rampe causale. Argh non dérivabilité en 0.
    Intégrons encore etc...

    Où faut-il s'arrêter?

    Autre approche de refus du dirac.
    Ce serait très curieux physiquement et perturbant mathématiquement de ne pas avoir d'élément neutre pour la convolution temporelle...

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  12. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    55
    Messages
    28 898

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Salut,

    Désolé d'avoir perdu le fil. Week end oblige.

    Pour le message précédent. En MQ et en Théorie quantique des champs, on est sensé "amortir" toutes les solutions par des fonctions analytiques, donc il n'y a jamais de Dirac, jamais d'échelon, etc...

    Bon, c'est rarement fait dans les cours et les bouquins (sauf celui de Tanoudji sur l'électrodynamique quantique). Mais il faut avoir vérifié au moins une fois de cette manière que les calculs qu'on fait ont un sens (d'autres l'on fait pour nous )

    Par contre, une fois vérifié, on n'hésite pas à taper des Dirac dans tous les coins. Ca simplifie les calculs
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  13. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 492

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Pour le message précédent. En MQ et en Théorie quantique des champs, on est sensé "amortir" toutes les solutions par des fonctions analytiques, donc il n'y a jamais de Dirac, jamais d'échelon, etc...
    Une fonction analytique est-elle plus "physique" qu'un dirac?
    Il y a quand même une somme infinie dans la définition...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  14. viiksu

    Date d'inscription
    juin 2017
    Localisation
    Maisons-Laffitte
    Messages
    492

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Quid des fonctions d'onde qui en théorie ne sont nulles qu'à l'infini mais en pratique on imagine mal une partie de ses propres atomes se ballader sur Alpha Centauri.
    Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
     

  15. coussin

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Localisation
    Paris
    Messages
    4 225

    Re : La renormalisation qu’est-ce que c'est?

    Citation Envoyé par viiksu Voir le message
    Quid des fonctions d'onde qui en théorie ne sont nulles qu'à l'infini mais en pratique on imagine mal une partie de ses propres atomes se ballader sur Alpha Centauri.
    Eh bien? Quid?
    La MQ vous fournit un cadre dans lequel vous pouvez calculer la probabilité pour qu'une mesure détecte un de vos atomes sur Alpha Centauri. Point.
     


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