Ensemble des triangles

[Merlin95]

Il faudrait ajouter le triangle [(0;1),(0,1)] qui ne respecte plus notre définition car [OA] et [OB] sont les deux plus petits côtés.

Je ne comprends pas ce passage : [OA] et [OB] sont les deux plus petits côtés du triangle [(0;1),(0,1)] ?
Plus globalement, la proposition de ansset est étrangère aux fait qu'on parle des plus grandes longueurs du triangle.
Un même triangle peut correspondre deux éléments définis : ([OA], [OB]) et ([OB], [OA]), on ne raisonne donc pas seulement sur des triangles mais sur une manière particulière de les représenter.

Même problème pour passer de [(0;16); (14;3)] à [(0;18),(13;2)]
Il faudrait ajouter [(0,2);(-1;-1)] qui ne respecte plus la définition.

Pourriez-vous préciser de quelle définition vous parlez ? Celle incluant la considération que vecteurs représentent les cotés de plus grandes longueurs du triangle ? Je ne crois pas que cela fasse partie de la définition proposée (qui n'est pas exactement celle d'un triangle) mais de cette nouvelle considération que vous avez ajouté.
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[ansset]

effectivement, OA et OB sont des vecteurs , pas simplement des longueurs.
tous les triangles ont un point commun O.
les vecteurs OA ( ou OB ) ne sont pas forcement sur l'axe des abscisses.
visuellement, supposons un grand triangle.(OA,OB) et un plus petit triangle.(OA',OB')
l'addition consiste à "translater" les points A et B respectivement de OA' et OB' dans le plan.

je me suis mal exprimé en parlant des triangles équilatéraux, je voulais dire quand ils étaient homothétiques.
en substance, je me suis plus penché sur les propriétés mathématiques que l'ont pouvait obtenir que sur une "pertinence" géométrique ( la surface de la somme n'est pas la somme des surfaces par exemple ).

on peut étendre en prenant les vecteurs OA et OB dans l'espace et proposer les produit vectoriel des vecteurs comme opérateur de multiplication.
il est distributif par rapport à l'addition ( c'est pas mal )
mais anti-symétrique contrairement à l'addition et non associatif malheureusement.
de surcroit, il fait intervenir le sin des angles et les longueurs des cotés ont de forte chance de ne plus être algébriques ( démarche initiale d'Iharmed )

[Juzo]

Je ne comprends pas ce passage : [OA] et [OB] sont les deux plus petits côtés du triangle [(0;1),(0,1)]

Je voulais dire le triangle [(0;1),(1,0)], dont le troisième côté a pour longueur racine de 2.

Pourriez-vous préciser de quelle définition vous parlez ? Celle incluant la considération que vecteurs représentent les cotés de plus grandes longueurs du triangle ? Je ne crois pas que cela fasse partie de la définition proposée (qui n'est pas exactement celle d'un triangle) mais de cette nouvelle considération que vous avez ajouté

C'était bien selon cette considération que j'ai ajoutée.

L'absence de cette convention (ou d'une autre valable) me paraît problématique, car je n'ai pas compris par exemple comment on ajoute le triangle de longueurs 5,4,2 dans le sens horaire avec la technique proposée par ansset.

l'addition consiste à "translater" les points A et B respectivement de OA' et OB' dans le plan

Un triangle comme celui de longueurs 5,4,2 dans le sens horaire n'a pas de position définie dans le plan, or on a besoin de cette position pour faire des translations. C'est pourquoi je pensais qu'il fallait prendre une convention en ce sens, idem sur comment on place O, A et B.

[iharmed]

Bonjour à tous, avec le froid on disparait par moment ;

J’ai une nouvelle proposition pour mettre de l’ordre dans l’ensemble des triangles.

Je compare par le rayon du cercle inscrit dans le triangle.
Si le rayon du cercle Ci1 inscrit dans le triangle T1 est supérieur au rayon du cercle Ci2 inscrit dans le triangle T2, alors T1 est supérieur à T2.

Cela marche bien jusqu'à se que l’on tombe sur 2 triangles T1 et T2 ayant le même cercle inscrit Ci. Alors je passe aux cercles circonscrit Cc.
Le triangle Tj dont le rayon du Ccj le plus grand est supérieur.

Jusque ici c’est bien, mais que fera-t-on si 2 triangles T1 et T2 ont le même Ci et le même Cc ?

[ansset]

il y a un mélange entre les rayons et les cercles eux mêmes ( donc leurs centres aussi ) dans ta proposition. point à éclaircir.
ceci mis à part :
tu peux tj prendre par exemple la distance qui sépare les deux centres.

mais je ne vois pas ou tout cela peut mener de bien intéressant.
dans le même esprit, c-a-d , sans chercher à faire des opérations sur les triangles, on peut trouver plus simple comme segmentation.

[ansset]

ex:
-la plus grande surface
-à surface égale, l'angle minimum le plus grand
-à surface égale et angle identique, la hauteur la plus grande ( le plus grand coté mis "à plat" )

[iharmed]

sans chercher à faire des opérations sur les triangles, on peut trouver plus simple comme segmentation.

Avant de chercher à faire des opérations sur les triangles, il faut d’abord trouver une relation d’ordre.

La relation que je propose, se basant sur les rayons des cercles inscrits et circonscrits marche jusqu'à tomber sur 2 triangles distincts mais ayant les mêmes cercles inscrits et circonscrits. Je ne sais pas si ces 2 triangles existent.

Supposons que ces 2 triangles n’existent pas.

Je vais faire une opération d’addition entre les triangles suivants
T1 avec Ci1 et Cc1
T2 avec Ci2 et Cc2
T1 + T2 = Tr (Cir et Ccr) tel que
Cir = Max (Ci1, Ci2)
Ccr à un rayon égale au rayon du Cc associé au Max (Ci1, Ci2) auquel en ajute la moyenne des rayons des cercles Cc1 et Cc2
Si Ci2 est le plus grand alors Ccr = Cr2 +((Cr1+Cr2) /2))
Exemple : 2T1 = T1+T1 = T (Ci, Cr) avec Ci = Ci1 et Cc= Cc1 + ((Cc1+Cc1) /2)) = 2Cr1

[minushabens]

On peut trouver une paire de triangles non superposables tels que leurs cercles inscrits et circonscrits aient les mêmes rayons.

[Juzo]

Bonjour,

Avant de chercher à faire des opérations sur les triangles, il faut d’abord trouver une relation d’ordre.

On "pose" chaque triangle sur son côté le plus long. Le sommet de gauche s'appelle O, le sommet de droite s'appelle A, le sommet d'en haut s'appelle B.

On définit pour le triangle le vecteur , qui forme un angle avec .

Deux triangles et sont égaux si et .

si ou si { et }.

Voilà pour la relation d'ordre, reste à définir des opérations.

[iharmed]

Bonjour,



On "pose" chaque triangle sur son côté le plus long. Le sommet de gauche s'appelle O, le sommet de droite s'appelle A, le sommet d'en haut s'appelle B.

On définit pour le triangle le vecteur , qui forme un angle avec .

Deux triangles et sont égaux si et .

si ou si { et }.

Voilà pour la relation d'ordre, reste à définir des opérations.

personnellement je ne sais pas comparer la grandeur de deux vecteurs

[ansset]

Deux triangles et sont égaux si et .
.

c'est une définition qui a une valeur relative ?
car on peut trouver 2 triangles dissemblables satisfaisant ces critères.

@iharmed:
Juzo n'évoque ici que la comparaison des normes des vecteurs (en sus de l'angle choisi comme référence )

[Juzo]

car on peut trouver 2 triangles dissemblables satisfaisant ces critères.

C'est vrai, dans ce cas-là on peut dire que le triangle le plus grand est celui qui aura la valeur de la plus grande. En effet c'est celui qui aura l'aire la plus grande.

On peut imaginer une méthode similaire pour tous les polygones convexes à n côtés : les "poser" sur leur côté le plus long puis définir le vecteur comme la somme de n-1 vecteurs correspondant à n-1 côtés, dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant du côté le plus long.

[iharmed]

Bonjour
Cette fois je pense que j’ai trouvé.
Un triangle se définit par 3 objets mathématiques (trois côtés, 1 coté et 2 angles, 2 cotés et un angle, …).
Je fais le choix des trois objets dans l’ordre suivant :
R : rayon du cercle circonscrit
r : rayon du cercle inscrit
e : e = 1/d (d = distance du centre du cercle circonscrit au centre du cercle inscrit)

Pour comparer 2 triangles on commence par le R et s’ils ont le même R on compare leurs r et ils ont aussi le même r on compare leurs e.
Si 2 triangles ont les mêmes R, r et e alors ils sont identiques.

Est-ce vrai ?

[Juzo]

Si 2 triangles ont les mêmes R, r et e alors ils sont identiques.

Est-ce vrai ?

Bonjour, deux triangles symétriques par rapport à un axe ont les mêmes valeurs de R, r et e, mais ils ne sont pas identiques.
Pourquoi choisir e = 1/d et pas d ?
Et la relation d'ordre que je proposais, ça ne vous convenait pas ?

[ansset]

je pense que c'est surtout son choix ( qu'il doit trouver plus "esthétique" )
car il y a de très nombreuses relations d'ordre possibles..

l'approche que je tentais était d'essayer d'en faire un anneau.
avec donc une opération de type "addition" avec un élément neutre et ou chaque triangle aurait son inverse.
idéalement l'élément neutre pourrait être le triangle équilatéral.
On pourrait dans un premier temps ne considérer que les triangles de même surface.

[iharmed]

Bonjour, deux triangles symétriques par rapport à un axe ont les mêmes valeurs de R, r et e, mais ils ne sont pas identiques.
Pourquoi choisir e = 1/d et pas d ?
Et la relation d'ordre que je proposais, ça ne vous convenait pas ?

Bonjour
La logique dans le choix est qu’un triangle est grand lorsque le rayon de son cercle conscrit est grand. Il touche les plus éloignés points de l’espace que les autres triangles dont le rayon du cercle conscrit est plus petit. Un triangle dont le rayon du cercle conscrit est de 1 km est naturellement plus grand qu’un triangle dont le rayon du cercle conscrit est de 1 m même si la surface du petit triangle est plus grande.
La taille c’est l’élancement dans l’espace.

Pour 2 triangles dont les rayons de du cercle conscrit sont égaux, ils ont la même taille mais pas la même forme. Le plus grand alors est celui qui est gros (pas plus grand) il est plus gros lorsque le rayon de son cercle inscrit est plus grand, je pense qu’il n’est pas nécessaire de donner des exemples.

Jusqu’au là c’est clair, maintenant pour 2 triangles ayant la même taille et la même forme, comment les distinguer dans l’ordre ?
Nous avons basé la logique sur les rayons du cercle extérieure et du cercle intérieure, on regarde le centre du cercle intérieur :
S’il est plus près du centre du cercle extérieur c’est que le triangle est plus à l’aise, il a plus d’espace contrairement lorsqu’il plus loin ‘c-a-d‘ plus près de la paroi du cercle extérieur.

On réponse à vos questions :
2 triangles symétriques sont identiques, l’endroit où il se trouve ne change rien à son identité.
Pourquoi choisir e = 1/d et pas d ? car plus que d est grand le triangle est plus petit
Et la relation d'ordre que je proposais, ça ne vous convenait pas ? la notion de vecteur pour moi n’est pas une mesure c’est plutôt une direction qu’une grandeur

[Juzo]

Et la relation d'ordre que je proposais, ça ne vous convenait pas ?

Je trouve que la solution d'ordre que vous proposez est bien puisqu'elle correspond à une notion de "taille" du triangle, mais comme ansset je voulais aller vers une structure d'anneau en commençant par créer un groupe commutatif. Dans cette optique, je souhaitais que :
- deux triangles non superposables ne soient pas considérés comme identiques
- trouver une loi d'addition commutative
- avoir un élément neutre qui serait si possible le triangle point (ou triangle nul)
- que chaque élément ait un opposé selon cette loi d'addition

Je repars sur la piste que j'avais proposé, quitte à poursuivre aussi sur la votre :

On pose le triangle sur son côté le plus long, troisième sommet en haut.
On pourrait dire que deux triangles sont opposés s'ils sont symétriques par rapport à la médiatrice de leur côté le plus long. On peut trouver une loi de composition des vecteurs qui garabtit cela.
Problème : tout triangle isocèle dont la base est le côté le plus long est son propre opposé, on a alors une infinité d'éléments neutres. Je crois que j'avais eu le même problème la dernière fois que j'y avais réfléchi.

[Juzo]

Une solution pourrait être :

Poser les triangles sur leurs côtés les plus longs.
Définir pour chaque triangle 3 paramètres : le rayon du cercle circonscrit, le rayon du cercle inscrit, et , où C et I sont le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.

[Juzo]

... suite du message, j'ai envoyé le début par erreur.

On pose et

L'addition de deux triangles se ferait ainsi.

avec :



,

où :
si

si ou .

Le triangle nul ou triangle-point serait bien l'élément neutre, à vérifier.

[ansset]

A vérifier....
ceci dit j'ai employé le terme "anneau" à mauvais escient , car celui ci devrait être doté de deux opérations ( addition et multiplication )
qu'il soit commutatif ou pas, ou même un simple "pseudo anneau".
Il faut donc y rajouter une multiplication , sans que celle ci impose que chaque élément ait un inverse.

[Juzo]

ceci dit j'ai employé le terme "anneau" à mauvais escient

Oui, c'est pour ça que j'ai écrit aller "vers" une structure d'anneau. Ça m'étonnerait qu'on arrive à trouver une multilplication associée à cette addition.

Le problème avec l'addition proposée est qu'il faudrait démontrer que le trio définit bien un cercle inscrit à l'intérieur d'un cercle circonscrit, et qu'il existe un unique triangle associé.