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Ensemble des triangles

  1. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Bonjour
    La généralisation n’est pas prouvée d’une façon convaincante.
    Un triangle est définissable par trois et jamais par deux éléments. Deux éléments ne peuvent définir qu’un ensemble de triangles et non un triangle précis.
    oui en fait définit deux triangles, le triangle et celui qui a pour angle et

    Mais de toute façon si deux triangles ont le même sinus et le même d, alors ils ont la même aire et comme on a définit les triangles égaux par la relation d'équivalence "possède la même aire", ce n'est pas gênant de définir un triangle par .

    -----

     


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  2. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Mon souci, depuis hier, c’est que je commence à douter de la possibilité de l’opération, déjà le principe que la surface du triangle « somme » est la somme des surfaces des deux triangles sources est faux ;
    Plutôt que Faux, ca ne correspond pas à ce que tu as en tête plutôt.

    Et si tu prends deux triangles, tu les superposes en leur centre de gravité, puis tu essaies de calculer le triangle qui a le même centre de gravité et qui a la moyenne des surfaces des deux triangles, cela ne correspond pas à ce que tu as en tête.

    en effet pour 2 triangles Tx et Ty distincts mais surfaces égales, quel triangle doit-on ajouter à Tx pour trouver Ty ? … c’est le triangle à surface nulle, c’est l’élément neutre …. Absurde.
    J'ai l'impression que ce que tu cherches c'est plus des transformations. Tu pourrais définir l'addition (des aires par exemple) et une autre opération qui est la fusion. Ensuite à "l'utilisateur" d'appliquer ces opérations comme il veut, dans ton exemple, réfléchir à ce qu'on peut faire entre une fusion si les triangles ont des aires différentes et une addition sinon etc.
     

  3. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    687

    Re : Ensemble des triangles

    Bonjour

    J’explore une autre piste.
    Mettre un ordre dans l’ensemble des triangles, avant de songer à créer une loi d’addition dans l’ensemble des triangles.

    Un triangle Tx est supérieur au triangle Ty, si la surface de Tx est supérieure à la surface de Ty.
    Ceci est le premier critère, mais que dira-t-on si Tx et Ty sont différents mais avec surface égale ?
    En ajoute un deuxième critère, par exemple le périmètre,

    On résout le problème de deux triangles à surfaces égales mais on s’aperçoit déjà une première difficulté qu’on devra éclaircir : si Tx à une surface supérieur à Ty mais son périmètre est inférieur à celui de Ty, la supériorité de Tx n’est pas dominante et lorsque la différence entre la surface de Tx et celle de Ty tond vers zéro alors c’est Ty qui devient supérieur. Il ne faudra donc pas compter sur le critère du périmètre pour ordonner deux triangles ayant la même surface.

    Comment trouver un bon critère ? De quoi dépond la surface d’un triangle ?

    Il y a le produit de la base (b) et la hauteur (h), c’est la surface elle-même.

    Et si on prend le quotient de la base et la hauteur (b/h), il est toujours supérieur à 1.

    On commence par vérifier, comme pour le cas du périmètre, si pour deux triangle Tx et Ty avec la surface de Tx est supérieur à celle de Ty peut-on trouver le quotient (b/h) de Tx inférieur à celui de Ty ?

    En réalité je ne sais pas comment s’y prendre, ….

    Est-ce que quelqu’un sait comment ?
    Dernière modification par iharmed ; 30/06/2017 à 22h50.
     

  4. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    25 118

    Re : Ensemble des triangles

    En fait tu recherche une relation d'ordre ( totale ou pas ) , c'est ça ?
    pour être rigoureux, un peu de lecture :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  5. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
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    687

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    En fait tu recherche une relation d'ordre ( totale ou pas ) , c'est ça ?
    pour être rigoureux, un peu de lecture :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre
    Effectivement une relation d’ordre total.
    Critère 1 : surface du triangle
    Critère 2 : quotient b/h (base/hauteur), (nota : la base est plus grand des cotés)
    Tx est supérieur ou égale à Ty si :
    Sx (surface de Tx) est supérieur ou égale à Sy (surface de Ty) et bx/hx est supérieur ou égale à by/hy.

    Reste à vérifier s’il existe T1 et T2 qui soient strictement différents mais avec S1=S2 et b1/h1= b2/h2 :
    Si oui, il faudra ajouter un 3eme critère
    Si non, nous avons notre relation d’ordre
    Dernière modification par iharmed ; 01/07/2017 à 13h35.
     


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  6. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Ensemble des triangles

    c'est insuffisant, il suffit de prendre deux triangles avec les même b et h et un sommet qui varie latéralement. ( j' espère que tu visualises )
    s'il est à la verticale du centre de la base , on a un triangle isocèle, et sinon il ne l'est pas et est objectivement différent.

    de surcroit, même en rajoutant un troisième critère, il te faut faire ensuite avec ces 3 critères ensemble.......pour avoir une seule relation d'ordre
    Dernière modification par ansset ; 01/07/2017 à 14h24.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  7. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    D'ailleurs, plus on "rapproche" deux triangles, plus on va devoir admettre perdre de l'information sur les deux triangles, il n'y a pas le choix et pas de juste milieu. Et si on ne les rapproche pas, au contraire, on adopte la définition d'un triangle classique par exemple par la longueur de ses cotés.

    Je ne vois pas comment arriver à autre chose que ceci :

    on rajoute un critère pour différencier deux triangles, puis on constate qu'ils sont encore différents, on ajoute encore un critère etc. jusqu'à ce que chaque triangle soit différent de tout autre avec la définition classique d'un triangle.

    La différence entre un triangle est un autre est donné en appliquant une comparaison sur plusieurs (3) opérations conjointes, par exemple, celle sur l'opération qui conserve l'aire, une autre sur celle qui conserve par exemple le périmètre, une autre qui conserve l'angle opposé à la base etc. un triangle étant égal à un autre si et seulement si respectivement toutes ses comparaisons sont positives, différents sinon.
    Dernière modification par Merlin95 ; 01/07/2017 à 14h56.
     

  8. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
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    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    c'est insuffisant, il suffit de prendre deux triangles avec les même b et h et un sommet qui varie latéralement. ( j' espère que tu visualises )
    s'il est à la verticale du centre de la base , on a un triangle isocèle, et sinon il ne l'est pas et est objectivement différent.

    de surcroit, même en rajoutant un troisième critère, il te faut faire ensuite avec ces 3 critères ensemble.......pour avoir une seule relation d'ordre
    Oui je visualise bien, tu as raison
    Il faut un 3eme critère :
    Je vais tester c/a : c et a les cotés qui ne sont pas la base avec le coté c est plus grand que a

    Je pense que maintenant la relation d’ordre est valide
    Dernière modification par iharmed ; 01/07/2017 à 14h57.
     

  9. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Et si on ne les rapproche pas, au contraire, on adopte la définition d'un triangle classique par exemple par la longueur de ses cotés.
    Définition classique qu'il serait bien de définir, deux triangles peuvent par exemple avoir mêmes angles et mêmes cotés, et être représenté différemment sur un dessin (deux triangles rectangles, l'un symétrique de l'autre par exemple).
     

  10. ansset

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    novembre 2009
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    Re : Ensemble des triangles

    l'approche de iharmed plus haut est très proche de la direction que j'avais prise au tout début de ce fil à savoir
    -la base ( en prenant la longueur la plus longue )
    -le rapport h/b ( h < brac(3)/2 ( def de b )
    - l'"excentricité x entre 0 et y , distance latérale du sommet / centre ( y=rac(b²-h²) pour garder b comme plus grande longueur )
    mais on peut prendre la longueur du second coté le plus grand ( je trouve ça moins "visuel", écart/position "isocèle" )
    reste à "articuler" les 3 paramètres pour avoir UNE relation d'ordre.

    le choix des trois critères est de toute façon subjectif, il suffit qu'il soit suffisant ( si on accepte les symétries et rotation )
    sinon il faut ajouter d'autres critères.
    Dernière modification par ansset ; 01/07/2017 à 15h23.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  11. iharmed

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    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Définition classique qu'il serait bien de définir, deux triangles peuvent par exemple avoir mêmes angles et mêmes cotés, et être représenté différemment sur un dessin (deux triangles rectangles, l'un symétrique de l'autre par exemple).
    Il s’agit du même angle représenté différemment.
    Si je découpe le même triangle sur deux morceaux de papier et je peins une face par du rouge et l’autre face par du bleu, c’est le même triangle avec deux faces.

    Après qu’on boucle la définition de la relation d’ordre on explicitera cette notion de rouge et bleu, on parlera alors du triangle négatif (ou à charge négative) et l’ensemble des triangles sera élargi pour comporter des éléments négatifs (l'ensemble Z pour N)
    Dernière modification par iharmed ; 01/07/2017 à 15h24.
     

  12. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    reste à "articuler" les 3 paramètres pour avoir UNE relation d'ordre.
    L'ordre lexicographique (définition sur le lien wikipédia donné plus haut sur la relation d'ordre) sur les trois critères (c1, c2, c3) (par exemple, (aire, périmètre, plus grand angle) ou autre chose)?
    Dernière modification par Merlin95 ; 01/07/2017 à 15h40.
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Ensemble des triangles

    oui, bien sur.
    restait juste à formaliser ( et donc hiérarchiser) , c'est ce que je voulais dire. après avoir choisi 3 critères complémentaires suffisants.
    (et 3 suffisent aux symétries et rotations prêts), sinon c'est plus que trois.

    ici j'emploi critère comme "valeur ds Q".
    sinon 2 vecteurs suffisent.
    Dernière modification par ansset ; 01/07/2017 à 18h53.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  14. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
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    Re : Ensemble des triangles

    Bonjour à tous,

    Je vais tenter une proposition, en me connectant je viens de voir que ansset a fait une proposition similaire en message n°5.

    L'idée est que deux triangles sont opposés (leur somme est nulle) s'ils sont superposables, et symétriques par rapport à la médiatrice de leur plus grand côté.

    On définit un triangle par 3 valeurs : a, h, d.
    • a est la longueur du plus grand côté.
    • h est la longueur de la hauteur relative à ce côté
    • d est le décalage du pied de la hauteur par rapport au milieu du grand côté, en pourcentage de (a/2).
      -> Quand le pied de la hauteur tend vers l'extrémité droite, d tend vers 1, quand le pied de la hauteur tend vers l'extrémité gauche, d tend vers -1, quand le pied de la hauteur est au milieu, d est nul.

    La somme est calculée ainsi :

    T(a,h,d) + T'(a',h',d') = T''[ |d.a+d'.a'|/2, |d.h+d'.h'|/2, |d.d'|.(d+d')/2]

    On a donc :
    • a'' = |d.a+d'.a'|)/2
    • h'' = |d.h+d'.h'|/2
    • d'' = |d.d'|.(d+d')/2]

    Illustration :
    Illustration triangles.png

    On montre que le triangle obtenu est bien défini correctement (c-à-d que a'' = |d.a+d'.a'|/2 est bien la longueur du plus grand côté du triangle).

    Démonstration pour d et d' de même signe :

    Démonstration triangles.jpg
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     

  15. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    444

    Re : Ensemble des triangles

    Image de la démonstration pour d et d' de même signe postée à nouveau, avec une petite indication supplémentaire :

    Démonstration triangles.jpg
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     

  16. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    La somme est calculée ainsi :

    T(a,h,d) + T'(a',h',d') = T''[ |d.a+d'.a'|/2, |d.h+d'.h'|/2, |d.d'|.(d+d')/2]
    L'addition ainsi définie n'est cependant pas associative comme on l'attendrait pour une addition (dans ma proposition dernière version, on a pas l'associativié non plus, mais j'ai pu la re-définir un peu pour l'obtenir).
    Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 12h22.
     

  17. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    444

    Re : Ensemble des triangles

    C'est vrai qu'il y a un problème d'associativité ... Que donne votre version redéfinie ?
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     

  18. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    25 118

    Re : Ensemble des triangles

    pas vu non plus. !
    ( et je me suis heurté au même pb )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  19. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    Je retourne à cette définition pour l'addition (sans valeur absolue afin de conserver l'associativité) :



    Mais j'ajoute afin de ne pas avoir de division par 0.

    Puis comme vous effectivement je définis un triangle par avec un paramètre supplémentaire suivant que la hauteur est plus proche du sommet droit ou gauche :

    Donc

    Et je définis l'inverse d'un triangle par et
    Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 14h47.
     

  20. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    908

    Re : Ensemble des triangles

    Plutôt (0 pour un triangle isocèle)

    Par contre, pour avoir l'unicité de l'élément neutre, je n'ai rien trouvé de mieux que de dire que deux triangles sont égaux s'ils ont le même produit

    Et... ca ne marche même pas, car avec cette définition de l'addition, les triangles isocèles n'ont pas d'opposé.
    Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 14h58.
     

  21. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
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    444

    Re : Ensemble des triangles

    Mais le calcul du deuxième paramètre n'est pas associatif, non ?
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     

  22. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    Mais le calcul du deuxième paramètre n'est pas associatif, non ?
    Sur ce point, si si c'est associatif (si je ne me suis pas trompé dans mes calculs), mais comme dit plus haut les triangles isocèles n'ont pas d'opposé avec cette définition.
    Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 15h02.
     

  23. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    444

    Re : Ensemble des triangles

    Je vais regarder....

    Je fais une deuxième tentative, sur laquelle j'étais partie dans un premier temps.
    • a est la longueur du plus grand côté
    • k1*h, où h est la longueur de la hauteur, et k1 = 1 si la hauteur est "vers le haut", et k1 = -1 si la hauteur est "vers le bas"
    • k2*d, où d est le décalage absolu en pourcentage de (a/2), et k2 = 1 si le décalage est "vers la gauche", et k2 = -1 si le décalage est vers la droite.

    Un triangle peut donc s'écrire de deux manières, par exemple (4 ; 2 ; 0,5) ou (4 ; -2 ; -0,5) pour le triangle de l'illustration que j'avais donné.

    Calcul de la somme :

    T(a ; k1h ; k2d) + T' (a' ; k'1h' ; k'2d') = T'' (a+a' ; k1k2h + k'1k'2h' ; dd'(k1k2d + k'1k'2d')/|k1k2d + k'1k'2d'|)

    On peut montrer facilement que le triangle somme est ainsi correctement défini
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     

  24. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    908

    Re : Ensemble des triangles

    Ou alors plus simplement ceci, mais l'interprétation géométrique est moins intuitive :

    et
    Toujours avec
     

  25. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    Je fais une deuxième tentative, sur laquelle j'étais partie dans un premier temps.
    Mais pourquoi les valeurs absolues sur votre première proposition ?
     

  26. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    444

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Merlin95
    Mais pourquoi les valeurs absolues sur votre première proposition ?
    Pour que a'' et h'' soient toujours positifs.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     

  27. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Ensemble des triangles

    je suggère une approche autre bien plus simple.
    définition du triangle par deux vecteurs simplement : et
    l'addition se fait simplement par l'addition des vecteurs :
    : ( ; )
    l'associativité est immédiate.
    T-T= réduction du triangle au point O
    l'ordre est important car une inversion des deux vecteurs donne un angle plat orienté.(*)
    tout comme deux triangles symétriques.
    l'addition de deux triangles équilatéraux donne un triangle équilatéral s'ils sont orientés identiquement.
    kT est évident. de même que kT+k'T'
    bref, les résultats "géométriques" ne semblent pas absurdes.
    bon, c'est simpliste.....je sais.

    (*) ce qui revient en qcq sorte à donner un signe au triangle en fct de son sens horaire ou anti-horaire (0,A,B)
    Dernière modification par ansset ; 05/07/2017 à 04h47.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  28. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
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    908

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    l'addition de deux triangles équilatéraux donne un triangle équilatéral s'ils sont orientés identiquement.
    Deux triangles équilatéraux peuvent être orientés ? J'ai du mal à voir comment tu définis ce critère.
    Pour un triangle quelconque je peux imaginer que l'orientation peut se faire par la norme du premier vecteur comparé au second (mais je n'ai pas bien compris non plus comment tu définis l'orientation d'un triangle quelconque) mais pour un triangle équilatéral je vois moins.
     

  29. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    908

    Re : Ensemble des triangles

    Je viens de comprendre la notion d'orientation suivant l'oriantation de l'angle entre les vecteurs OA et OB.
     

  30. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    444

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Merlin95
    Deux triangles équilatéraux peuvent être orientés ? J'ai du mal à voir comment tu définis ce critère
    A mon avis ansset veut dire selon le sens horaire ou anti-horaire où on lit les sommets O, A, B dans cet ordre. Les deux triangles deviennent symétriques par rapport à [OA].

    Citation Envoyé par ansset
    je suggère une approche autre bien plus simple.
    définition du triangle par deux vecteurs simplement
    Problèmes :

    Tout d'abord pour un même triangle, selon comment on définit les côtés [OA] et [OB] ainsi que le positionnement du triangle dans le plan, le résultat de l'addition de ce triangle ne sera pas le même.

    Admettons que O soit positionné sur l'origine, A sur l'axe des abscisses dans la partie positive, et que [OA] et [OB] soient les deux plus grands côtés du triangle dans l'ordre décroissant (ce n'est qu'une proposition).

    Dans ce cas on ne peut pas passer par addition du triangle [(0;4),(3;1)] au triangle [(0;5);(3;2)] .
    Il faudrait ajouter le triangle [(0;1),(0,1)] qui ne respecte plus notre définition car [OA] et [OB] sont les deux plus petits côtés.

    Même problème pour passer de [(0;16); (14;3)] à [(0;18),(13;2)]
    Il faudrait ajouter [(0,2);(-1;-1)] qui ne respecte plus la définition.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
     


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