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Ensemble des triangles

  1. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    * Correction :

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    On montre facilement que son coté vaut ...
    On montre facilement que le produit de ses cotés vaut ...

    -----

    Dernière modification par Merlin95 ; 27/06/2017 à 08h59.
     


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  2. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    En apportant les corrections à mon message précédent, et on peut effectivement généraliser à des triangles quelconques.

    L'idée est de ramener les opérations sur des triangles quelconques à des opérations sur leurs triangles équilatéraux équivalents :

    Un triangle quelconque est caractérisé pour un sommet A par le produit des deux cotés adjacents à A et par le avec l'angle du sommet A.
    Donc

    Soit un triangle , on appelle son équivalent le triangle équilatéral qui a la même aire *. Son coté vaut alors et donc

    Sur des triangles équilatéraux, on pose :




    Maintenant, on pose que tout triangle est égal à son triangle équilatéral équivalent, ce qui permet de faire ces opérations ci-dessus aussi sur des triangles quelconques. On a ainsi les deux opérations internes addition et multiplication avec une interprétation géométrique, et la distributivité, la commutativité.

    Maintenant je n'ai peut-être rien inventé, mais juste exprimé différemment quelque chose qui existe déjà de manière plus savante ou générale.

    * aire d'un triangle :
    Dernière modification par Merlin95 ; 27/06/2017 à 09h43.
     

  3. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    Pour l'interprétation géométrique, la somme et le produit des aires sont conservés avec les opérations données.
     

  4. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    L'élément neutre pour l'addition est (le triangle équilatéral nul)
    L'élément neutre pour la multiplication est .
     

  5. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 063

    Re : Ensemble des triangles

    Joli....( même si la généralisation se fait un peu "à la serpe" )
    le truc, c'est qu'Iharmed voulait je crois au départ partir de définition faisant appel à des rationnels uniquement ( pour avoir un ensemble de triangles dénombrables ) et relier tout ça à des polynômes.
    Si c'est vraiment le cas , j'avoue que je ne saisi pas bien l'intérêt ni le comment vu le faible nb de "degrés de liberté" d'un triangle ce qui réduit drastiquement l'ordre des polynômes.

    c'est donc pourquoi je suis parti comme toi sur la recherche d'une structure algébrique ( type anneau ou corps ).
    démarche que je trouvais plus "amusante".
    en tout cas ton modèle est sympa.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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  6. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    Cette construction permet d'écrire des polynômes et de trouver des solutions sur cette structure.

    Par exemple :



    On trouve



    Qui s'interprètent comme le triangle équilatéral dont l'aire au carré + 2 x l'aire - 3 x l'aire du triangle unité = 0

    Mais c'est vrai que iharmed avait mis en restriction des triangles équilatéraux dont les cotés sont algébriques, je ne sais pas l'idée qui était derrière.
    Dernière modification par Merlin95 ; 27/06/2017 à 16h55.
     

  7. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 063

    Re : Ensemble des triangles

    merci pour l'exemple très illustratif.
    pour le reste , c'est à lui de préciser la démarche qu'il poursuit.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    bonjour
    Avant que je me lance dans la formulation, j’examine de façon naïve et intuitive l’opération.

    Additionner deux entités c’est les faire fissionner pour en donner un.

    Le triangle obtenu par la fusion de deux autres va hériter la caractéristique principale qui est sa surface issue de la somme des deux surfaces. on définit le premier principe qui dit que la surface du triangle "somme" est égale à la somme des deux triangles.

    Mais avec une même surface on a une infinité de triangles de formes différentes. Quelle sera la forme la plus admissible de ce triangle ?
    On reprend l’idée d’ansset (poste #5) et on rapproche la forme d’un triangle à sa base (b) et sa hauteur (h) en remplace le x par l’angle au sommet &
    On s’attaque aux triangles : T1(b1, h1, &1) et T2(b2, h2, &2)
    On veut que ce soit la hauteur qui explicite la forme du triangle "somme" T1(b3, h3, &3)
    D’après le premier principe on doit avoir b3xh3 = b1xh1 + b2xh2

    On devient obliger de faire des choix en prenant la hauteur comme essence de modélisation.
    Si à un triangle de hauteur h1 on ajoute un autre de hauteur h2 quelle pourrait être la hauteur h3 de ce triangle ?
    Intuitivement la loi d’addition fait augmenter les dimensions, ainsi h3 s’elle n’est pas carrément égale à h1+h2 elle est du moins supérieur ou égale au maximum de h1 et h2.
    h3 est comprise entre maximum de h1 et h2 et h1+h2
    Je ne trouve mieux que de prendre la valeur moyenne de h1+h2/2 et h1/2+h2 soit alors h3 = 3(h1+h2)/4
    Ayant le h3 on déduit facilement le b3 à partir de B3xh3 = b1xh1+b2xh2
    B3 = 4(b1xh1+b2xh2) / 3(h1+h2)

    Ainsi il restera l’exercice de l’angle au sommet &3 ……
     

  9. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    en rédigeant mon message n°23 j’ai pas vu les messages 16 à 22 j’y reviens
     

  10. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    définition faisant appel à des rationnels uniquement ( pour avoir un ensemble de triangles dénombrables )
    bonjour
    correction
    j'ai dis algébrique et ça reste dénombrable
     

  11. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    en rédigeant mon message n°23 j’ai pas vu les messages 16 à 22 j’y reviens
    J'en profite pour corriger certaines erreurs en synthétisant :





    L'élément neutre pour l'addition est (le triangle équilatéral nul)
    L'élément neutre pour la multiplication est .

    Et pour finir :
    L'equation (racines sur IR : 1 et -3) a pour solution 1 E et -3 E.

    L'intérêt apparait plus évident comme cela peut-être .
    Dernière modification par Merlin95 ; 27/06/2017 à 19h24.
     

  12. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 063

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    bonjour
    correction
    j'ai dis algébrique et ça reste dénombrable
    oui, oui, c'est juste une faute de frappe de ma part ! désolé.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  13. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message

    on peut généraliser la multiplication et l'addition sur l'ensemble des triangles ainsi :


    Dernière modification par Merlin95 ; 28/06/2017 à 14h28.
     

  14. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    En apportant les corrections à mon message précédent, et on peut effectivement généraliser à des triangles quelconques.

    L'idée est de ramener les opérations sur des triangles quelconques à des opérations sur leurs triangles équilatéraux équivalents :

    Un triangle quelconque est caractérisé pour un sommet A par le produit des deux cotés adjacents à A et par le avec l'angle du sommet A.
    Donc
    Bonjour
    La généralisation n’est pas prouvée d’une façon convaincante.
    Un triangle est définissable par trois et jamais par deux éléments. Deux éléments ne peuvent définir qu’un ensemble de triangles et non un triangle précis.

    Mon souci, depuis hier, c’est que je commence à douter de la possibilité de l’opération, déjà le principe que la surface du triangle « somme » est la somme des surfaces des deux triangles sources est faux ; en effet pour 2 triangles Tx et Ty distincts mais surfaces égales, quel triangle doit-on ajouter à Tx pour trouver Ty ? … c’est le triangle à surface nulle, c’est l’élément neutre …. Absurde.

    Il y a blocage …..

    Je ne vois qu’une seule issue ; c’est de définir une loi d’addition mutante, c.-à-d.
    La loi d’addition prend une forme selon le format des triangles qu’elle va additionner ; si les triangles sont semblables la loi prend la forme1, s’ils ne sont pas semblable mais ils ont la même hâteur elle prend la forme2, …..

    Si non il faudra laisser tomber
     

  15. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    670

    Re : Ensemble des triangles

    Par contre, si on définit l'inverse pour l'addition on a un problème avec cette définition pour,



    Donc on modifie cette addition ainsi



    La distributivité est conservée.

    J'en profite pour dire que l'inverse pour l'addition de est

    Je crois qu'on a ainsi une structure d'anneau.
     


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