oui en faitEnvoyé par iharmed
définit deux triangles, le triangle et celui qui a pour angle
Mais de toute façon si deux triangles ont le même sinus et le même d, alors ils ont la même aire et comme on a définit les triangles égaux par la relation d'équivalence "possède la même aire", ce n'est pas gênant de définir un triangle par
Plutôt que Faux, ca ne correspond pas à ce que tu as en tête plutôt.
Et si tu prends deux triangles, tu les superposes en leur centre de gravité, puis tu essaies de calculer le triangle qui a le même centre de gravité et qui a la moyenne des surfaces des deux triangles, cela ne correspond pas à ce que tu as en tête.
J'ai l'impression que ce que tu cherches c'est plus des transformations. Tu pourrais définir l'addition (des aires par exemple) et une autre opération qui est la fusion. Ensuite à "l'utilisateur" d'appliquer ces opérations comme il veut, dans ton exemple, réfléchir à ce qu'on peut faire entre une fusion si les triangles ont des aires différentes et une addition sinon etc.en effet pour 2 triangles Tx et Ty distincts mais surfaces égales, quel triangle doit-on ajouter à Tx pour trouver Ty ? … c’est le triangle à surface nulle, c’est l’élément neutre …. Absurde.
Bonjour
J’explore une autre piste.
Mettre un ordre dans l’ensemble des triangles, avant de songer à créer une loi d’addition dans l’ensemble des triangles.
Un triangle Tx est supérieur au triangle Ty, si la surface de Tx est supérieure à la surface de Ty.
Ceci est le premier critère, mais que dira-t-on si Tx et Ty sont différents mais avec surface égale ?
En ajoute un deuxième critère, par exemple le périmètre,
On résout le problème de deux triangles à surfaces égales mais on s’aperçoit déjà une première difficulté qu’on devra éclaircir : si Tx à une surface supérieur à Ty mais son périmètre est inférieur à celui de Ty, la supériorité de Tx n’est pas dominante et lorsque la différence entre la surface de Tx et celle de Ty tond vers zéro alors c’est Ty qui devient supérieur. Il ne faudra donc pas compter sur le critère du périmètre pour ordonner deux triangles ayant la même surface.
Comment trouver un bon critère ? De quoi dépond la surface d’un triangle ?
Il y a le produit de la base (b) et la hauteur (h), c’est la surface elle-même.
Et si on prend le quotient de la base et la hauteur (b/h), il est toujours supérieur à 1.
On commence par vérifier, comme pour le cas du périmètre, si pour deux triangle Tx et Ty avec la surface de Tx est supérieur à celle de Ty peut-on trouver le quotient (b/h) de Tx inférieur à celui de Ty ?
En réalité je ne sais pas comment s’y prendre, ….
Est-ce que quelqu’un sait comment ?
En fait tu recherche une relation d'ordre ( totale ou pas ) , c'est ça ?
pour être rigoureux, un peu de lecture :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre
Effectivement une relation d’ordre total.
Critère 1 : surface du triangle
Critère 2 : quotient b/h (base/hauteur), (nota : la base est plus grand des cotés)
Tx est supérieur ou égale à Ty si :
Sx (surface de Tx) est supérieur ou égale à Sy (surface de Ty) et bx/hx est supérieur ou égale à by/hy.
Reste à vérifier s’il existe T1 et T2 qui soient strictement différents mais avec S1=S2 et b1/h1= b2/h2 :
Si oui, il faudra ajouter un 3eme critère
Si non, nous avons notre relation d’ordre
c'est insuffisant, il suffit de prendre deux triangles avec les même b et h et un sommet qui varie latéralement. ( j' espère que tu visualises )
s'il est à la verticale du centre de la base , on a un triangle isocèle, et sinon il ne l'est pas et est objectivement différent.
de surcroit, même en rajoutant un troisième critère, il te faut faire ensuite avec ces 3 critères ensemble.......pour avoir une seule relation d'ordre
D'ailleurs, plus on "rapproche" deux triangles, plus on va devoir admettre perdre de l'information sur les deux triangles, il n'y a pas le choix et pas de juste milieu. Et si on ne les rapproche pas, au contraire, on adopte la définition d'un triangle classique par exemple par la longueur de ses cotés.
Je ne vois pas comment arriver à autre chose que ceci :
on rajoute un critère pour différencier deux triangles, puis on constate qu'ils sont encore différents, on ajoute encore un critère etc. jusqu'à ce que chaque triangle soit différent de tout autre avec la définition classique d'un triangle.
La différence entre un triangle est un autre est donné en appliquant une comparaison sur plusieurs (3) opérations conjointes, par exemple, celle sur l'opération qui conserve l'aire, une autre sur celle qui conserve par exemple le périmètre, une autre qui conserve l'angle opposé à la base etc. un triangle étant égal à un autre si et seulement si respectivement toutes ses comparaisons sont positives, différents sinon.
Dernière modification par Merlin95 ; 01/07/2017 à 15h56.
Oui je visualise bien, tu as raison
Il faut un 3eme critère :
Je vais tester c/a : c et a les cotés qui ne sont pas la base avec le coté c est plus grand que a
Je pense que maintenant la relation d’ordre est valide
Définition classique qu'il serait bien de définir, deux triangles peuvent par exemple avoir mêmes angles et mêmes cotés, et être représenté différemment sur un dessin (deux triangles rectangles, l'un symétrique de l'autre par exemple).
l'approche de iharmed plus haut est très proche de la direction que j'avais prise au tout début de ce fil à savoir
-la base ( en prenant la longueur la plus longue )
-le rapport h/b ( h < brac(3)/2 ( def de b )
- l'"excentricité x entre 0 et y , distance latérale du sommet / centre ( y=rac(b²-h²) pour garder b comme plus grande longueur )
mais on peut prendre la longueur du second coté le plus grand ( je trouve ça moins "visuel", écart/position "isocèle" )
reste à "articuler" les 3 paramètres pour avoir UNE relation d'ordre.
le choix des trois critères est de toute façon subjectif, il suffit qu'il soit suffisant ( si on accepte les symétries et rotation )
sinon il faut ajouter d'autres critères.
Il s’agit du même angle représenté différemment.
Si je découpe le même triangle sur deux morceaux de papier et je peins une face par du rouge et l’autre face par du bleu, c’est le même triangle avec deux faces.
Après qu’on boucle la définition de la relation d’ordre on explicitera cette notion de rouge et bleu, on parlera alors du triangle négatif (ou à charge négative) et l’ensemble des triangles sera élargi pour comporter des éléments négatifs (l'ensemble Z pour N)
L'ordre lexicographique (définition sur le lien wikipédia donné plus haut sur la relation d'ordre) sur les trois critères (c1, c2, c3) (par exemple, (aire, périmètre, plus grand angle) ou autre chose)?
Dernière modification par Merlin95 ; 01/07/2017 à 16h40.
oui, bien sur.
restait juste à formaliser ( et donc hiérarchiser) , c'est ce que je voulais dire. après avoir choisi 3 critères complémentaires suffisants.
(et 3 suffisent aux symétries et rotations prêts), sinon c'est plus que trois.
ici j'emploi critère comme "valeur ds Q".
sinon 2 vecteurs suffisent.
Bonjour à tous,
Je vais tenter une proposition, en me connectant je viens de voir que ansset a fait une proposition similaire en message n°5.
L'idée est que deux triangles sont opposés (leur somme est nulle) s'ils sont superposables, et symétriques par rapport à la médiatrice de leur plus grand côté.
On définit un triangle par 3 valeurs : a, h, d.
- a est la longueur du plus grand côté.
- h est la longueur de la hauteur relative à ce côté
- d est le décalage du pied de la hauteur par rapport au milieu du grand côté, en pourcentage de (a/2).
-> Quand le pied de la hauteur tend vers l'extrémité droite, d tend vers 1, quand le pied de la hauteur tend vers l'extrémité gauche, d tend vers -1, quand le pied de la hauteur est au milieu, d est nul.
La somme est calculée ainsi :
T(a,h,d) + T'(a',h',d') = T''[ |d.a+d'.a'|/2, |d.h+d'.h'|/2, |d.d'|.(d+d')/2]
On a donc :
- a'' = |d.a+d'.a'|)/2
- h'' = |d.h+d'.h'|/2
- d'' = |d.d'|.(d+d')/2]
Illustration :
Illustration triangles.png
On montre que le triangle obtenu est bien défini correctement (c-à-d que a'' = |d.a+d'.a'|/2 est bien la longueur du plus grand côté du triangle).
Démonstration pour d et d' de même signe :
Démonstration triangles.jpg
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
Image de la démonstration pour d et d' de même signe postée à nouveau, avec une petite indication supplémentaire :
Démonstration triangles.jpg
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
L'addition ainsi définie n'est cependant pas associative comme on l'attendrait pour une addition (dans ma proposition dernière version, on a pas l'associativié non plus, mais j'ai pu la re-définir un peu pour l'obtenir).
Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 13h22.
C'est vrai qu'il y a un problème d'associativité ... Que donne votre version redéfinie ?
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
pas vu non plus. !
( et je me suis heurté au même pb )
Je retourne à cette définition pour l'addition (sans valeur absolue afin de conserver l'associativité) :
Mais j'ajoute
Puis comme vous effectivement je définis un triangle par
Donc
Et je définis l'inverse d'un triangle par
Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 15h47.
Plutôt
Par contre, pour avoir l'unicité de l'élément neutre, je n'ai rien trouvé de mieux que de dire que deux triangles sont égaux s'ils ont le même produit
Et... ca ne marche même pas, car avec cette définition de l'addition, les triangles isocèles n'ont pas d'opposé.
Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 15h58.
Mais le calcul du deuxième paramètre n'est pas associatif, non ?
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
Sur ce point, si si c'est associatif (si je ne me suis pas trompé dans mes calculs), mais comme dit plus haut les triangles isocèles n'ont pas d'opposé avec cette définition.
Dernière modification par Merlin95 ; 04/07/2017 à 16h02.
Je vais regarder....
Je fais une deuxième tentative, sur laquelle j'étais partie dans un premier temps.
- a est la longueur du plus grand côté
- k1*h, où h est la longueur de la hauteur, et k1 = 1 si la hauteur est "vers le haut", et k1 = -1 si la hauteur est "vers le bas"
- k2*d, où d est le décalage absolu en pourcentage de (a/2), et k2 = 1 si le décalage est "vers la gauche", et k2 = -1 si le décalage est vers la droite.
Un triangle peut donc s'écrire de deux manières, par exemple (4 ; 2 ; 0,5) ou (4 ; -2 ; -0,5) pour le triangle de l'illustration que j'avais donné.
Calcul de la somme :
T(a ; k1h ; k2d) + T' (a' ; k'1h' ; k'2d') = T'' (a+a' ; k1k2h + k'1k'2h' ; dd'(k1k2d + k'1k'2d')/|k1k2d + k'1k'2d'|)
On peut montrer facilement que le triangle somme est ainsi correctement défini
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
Ou alors plus simplement ceci, mais l'interprétation géométrique est moins intuitive :
Toujours avec
Mais pourquoi les valeurs absolues sur votre première proposition ?
Pour que a'' et h'' soient toujours positifs.
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
je suggère une approche autre bien plus simple.
définition du triangle par deux vecteurs simplement :
l'addition se fait simplement par l'addition des vecteurs :
l'associativité est immédiate.
T-T= réduction du triangle au point O
l'ordre est important car une inversion des deux vecteurs donne un angle plat orienté.(*)
tout comme deux triangles symétriques.
l'addition de deux triangles équilatéraux donne un triangle équilatéral s'ils sont orientés identiquement.
kT est évident. de même que kT+k'T'
bref, les résultats "géométriques" ne semblent pas absurdes.
bon, c'est simpliste.....je sais.
(*) ce qui revient en qcq sorte à donner un signe au triangle en fct de son sens horaire ou anti-horaire (0,A,B)
Deux triangles équilatéraux peuvent être orientés ? J'ai du mal à voir comment tu définis ce critère.
Pour un triangle quelconque je peux imaginer que l'orientation peut se faire par la norme du premier vecteur comparé au second (mais je n'ai pas bien compris non plus comment tu définis l'orientation d'un triangle quelconque) mais pour un triangle équilatéral je vois moins.
Je viens de comprendre la notion d'orientation suivant l'oriantation de l'angle entre les vecteurs OA et OB.
A mon avis ansset veut dire selon le sens horaire ou anti-horaire où on lit les sommets O, A, B dans cet ordre. Les deux triangles deviennent symétriques par rapport à [OA].
Problèmes :
Tout d'abord pour un même triangle, selon comment on définit les côtés [OA] et [OB] ainsi que le positionnement du triangle dans le plan, le résultat de l'addition de ce triangle ne sera pas le même.
Admettons que O soit positionné sur l'origine, A sur l'axe des abscisses dans la partie positive, et que [OA] et [OB] soient les deux plus grands côtés du triangle dans l'ordre décroissant (ce n'est qu'une proposition).
Dans ce cas on ne peut pas passer par addition du triangle [(0;4),(3;1)] au triangle [(0;5);(3;2)] .
Il faudrait ajouter le triangle [(0;1),(0,1)] qui ne respecte plus notre définition car [OA] et [OB] sont les deux plus petits côtés.
Même problème pour passer de [(0;16); (14;3)] à [(0;18),(13;2)]
Il faudrait ajouter [(0,2);(-1;-1)] qui ne respecte plus la définition.
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
