Ensemble des triangles

[iharmed]

Bonjour

Comme j’ai l’habitude, je m’amuse en manipulant les triangles.
Cette fois je construis l’ensemble de tous les triangles ayant comme cotés des nombres algébrique.
Pourquoi algébrique ? C’est pour que l’ensemble soit dénombrable.
Le triangle Ti a les cotés Ai, Bi et Ci avec toujours Ci supérieur ou égale à Bi et Bi supérieur ou égale à Ai.

La première difficulté c’est lorsque l’un des cotés est supérieur à la somme des deux autres, on trouve un triangle aplatit ; j’ai trouvé la solution de nommer tout les triangles aplatis le triangle zéro (c’est comme si les trois cotés en une valeur égale zéro).

J’ai mon ensemble il n’y a aucun soucis.

Maintenant je veux créer dans cet ensemble une loi d’adition (+) semblable a celle dans N.
Il y a plusieurs une façons de dire que T3 (triangle 3) est la somme de T1 et T2 ; T3=T1+T2. Et c’est la que je demande de l’aide.
La plus naïve est définir cette loi par la somme des cotés
Soit T1 ayant les cotés A1, B1, C1 ; T2 (A2, B2, C2)
On obtient T3(A3, B3, C3) à partir de T1 et T2 par : A3= A1+A2, B3=B1+B2, C3=C1+C2
Exemple soit T1(1, 1, 1) et T2(2, 2, 2) on a T3=T1+T2 (3, 3, 3)

Mais cette définition a les problèmes suivants :
Contradiction avec la loi dans N, en effet dans N quelque soit les nombre P et Q il y a toujours un nombre R tel que Q=P+R ou P=Q+R, ceci n’est pas le cas dans l’ensemble des triangles.
Soit le triangle P (2, 7, 8) et le triangle Q (1, 9, 9) on ne trouve aucun triangle R tel que Q=P+R ou P=Q+R (les valeurs négatives on les a pas encore créés)

Je défini une autre loi :
T3 ayant les coté (X, Y, Z) est obtenu à partir de T1( A1, B1, C1) et T2 (A2, B2, C2) par :
X=A1+A2 (somme des plus petits cotés des triangles T1 et T2)
Y= C1 ou C2 (le plus grands des cotés des triangles T1 et T2)
Z= le plus grand de B1 et B2
Je trouve aussi la même contradiction
Y a-t-il une solution ou il faudra ajouter les valeurs négatives ?
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[Médiat]

Bonjour,

Votre question est liée à la définition d'une relation d'ordre totale sur les triangles (ce qui est sans doute plus facile à définir, mais pas forcément trivial)

Pour être plus précis, il me semble qu'en trouvant une relation d'ordre ayant une signification géométrique (contrairement à l'ordre lexicographique sur les longueurs des côtés), et en "normalisant" les triangles à prendre en compte (c'est à dire en quotientant l'ensemble des triangles par la relation de similarité) les choses devraient devenir plus simples.

[iharmed]

bonjour
Je définis la relation d'addition par 3 paramètres car le tringle a 3 cotés.
Le triangle T3 qui est la somme des triangles T1 et T2 est définit par :
-- Sa surface S3 égale à la somme des surfaces S1 er S2
-- Son périmètre P3 égale à la somme des périmètres P1 et P2
-- L’un des cotés du triangle T3 prend la valeur du plus petit coté des 6 cotés des triangles T1 et T2

La somme est vérifier pour T0 (triangle zéro)
On T1 (A1, B1, C1) + T0 = T1

Je n’ai pas tout vérifié mais je pense que je suis sur la bonne voie

[iharmed]

Bonjour

Une autre formule beaucoup plus convaincante.
Deux triangles T1 et T2 ayant des surface S1 et S2 et des angles (&1, $1, £1) et (&2, $2, £2)

On définit la somme des deux triangles T3=T1+T2 par sa surface S3=S1+S2 et ces angles &3=(&1+&2)/2, $3=($1+$2)/2, $3=($1+$2)/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

mais, cela ne te donne pas la "structure" du nouveau triangle.
je propose ( idée spontanée ) de définir un triangle par :
( base, hauteur, centre )
1 )la base est le plus grand coté
2 )la hauteur ( compatible avec 1) )
3 )le "centre" est x=AH/AB ou H est l'intersection de la hauteur avec la base, donc compris entre 0 et 1. ( AB=base ) donc isocèle pour x=1/2

je défini l'addition par
(b,h,x)+(b',h',x')=(b+h,b'+h', (x+x')/2) et la multiplication
(b,h,x)(b',h',x')=(bb',hh',2xx ')
tout ça est commutatif et distributif.
on voit avec l'addition que la "forme" de l'addition de deux triangles est intermédiaire entre les "formes" de chacun ( moyenne des x )
l'élément neutre pour la multiplication est le triangle isocèle ( 1,1,1/2)

et...................ça marche pas : j'ai un pb avec l'élément neutre pour l'addition.( le x)
tant pis mon cher G Lux !
Cdt

[iharmed]

Bonjour
C’est une très bonne idée « (b,h,x)+(b',h',x')=(b+h, b'+h', (x+x')/2) )) »mais j’ai y trouve 2 problèmes :
1- s’il y a un problème avec l’élément neutre c’est qu’il faut reprendre le tout. L’élément neutre ca doit nécessairement être logiquement le triangle zéro (T0 ) qui désigne tous les triangles aplatit.
2- je ne vois pas comment est ce contrôlé que la base (h+b) de la somme est le plus grand coté

Il faut trouver autre forme néanmoins pour remédier à (1)

[ansset]

pardon, faute de frappe pour l'addition c'est
(b,h,x)+(b',h',x')=(b+b', h+h', (x+x')/2) )) ( il n'y a pas de b+h !! )
le seul soucis, c'est l'élément neutre de l'addition , ce que je dis d'ailleurs dans mon post.
peut être avec une addition spéciale pour h =0 ( triangle plat ) ?

[iharmed]

Pour résoudre le problème de l’élément neutre il faut renoncer à l’utilisation du x.
Je propose de remplacer le x par y = racine carré de (h^2 + (b/2)^2) qui sera l'un des cotés du triangle somme

[ansset]

je ne vois pas comment tu définis addition et/ou multiplication dans ce cas ?

[iharmed]

T3 est somme de T1 et T2 défini par
Base = B = b+b’
Hauteur = H = h+h’
L’un des coté = (racine carré de (H^2 + (B/2)^2))/2

Mais ca ne plait pas tellement

[ansset]

je vais chercher autre chose.

[Merlin95]

T3 est somme de T1 et T2 défini par
Base = B = b+b’
Hauteur = H = h+h’
L’un des coté = (racine carré de (H^2 + (B/2)^2))/2

Mais ca ne plait pas tellement

J'avais pensé à la même chose mais afin d'avoir l'addition des aires :

[iharmed]

je vais chercher autre chose.

ok
Mon objectif, après avoir défini les lois d’addition et de multiplication. Introduire la notion du triangle négatif (ou plutôt à charge négative)
Ceci me permettra d’écrire des polynômes et équations à triangles et on s'amusera à les résoudre.

[ansset]

ok
Mon objectif, après avoir défini les lois d’addition et de multiplication.

c'est déjà pas une mince affaire.

[Merlin95]

La seule chose que j'ai trouvé porte sur les triangles isocèles ou équilatéraux. Voici l'idée.
Un triangle est caractérisé pour son sommet A par le produit des deux cotés adjacents à A et par le avec l'angle du sommet A.
Donc

Soit un triangle isocèle , on appelle son équivalent le triangle équilatéral qui a la même aire. On montre facilement que son coté vaut et donc


Pour un triangle équilatéral, on pose :




De plus, on pose que tout triangle isocèle est égale à son triangle équilatéral équivalent, ce qui permet de faire ces opérations aussi sur des triangles isocèles. On a ainsi les deux opérations internes addition et multiplication avec une interprétation géométrique, avec la distributivité et la commutativité.

J'ai parlé de triangles isocèles mais on peut à mon avis généralisé à des triangles quelconques.

PS : aire d'un triangle :

[Merlin95]

* Correction :

On montre facilement que son coté vaut ...

On montre facilement que le produit de ses cotés vaut ...

[Merlin95]

En apportant les corrections à mon message précédent, et on peut effectivement généraliser à des triangles quelconques.

L'idée est de ramener les opérations sur des triangles quelconques à des opérations sur leurs triangles équilatéraux équivalents :

Un triangle quelconque est caractérisé pour un sommet A par le produit des deux cotés adjacents à A et par le avec l'angle du sommet A.
Donc

Soit un triangle , on appelle son équivalent le triangle équilatéral qui a la même aire *. Son coté vaut alors et donc

Sur des triangles équilatéraux, on pose :




Maintenant, on pose que tout triangle est égal à son triangle équilatéral équivalent, ce qui permet de faire ces opérations ci-dessus aussi sur des triangles quelconques. On a ainsi les deux opérations internes addition et multiplication avec une interprétation géométrique, et la distributivité, la commutativité.

Maintenant je n'ai peut-être rien inventé, mais juste exprimé différemment quelque chose qui existe déjà de manière plus savante ou générale.

* aire d'un triangle :

[Merlin95]

Pour l'interprétation géométrique, la somme et le produit des aires sont conservés avec les opérations données.

[Merlin95]

L'élément neutre pour l'addition est (le triangle équilatéral nul)
L'élément neutre pour la multiplication est .

[ansset]

Joli....( même si la généralisation se fait un peu "à la serpe" )
le truc, c'est qu'Iharmed voulait je crois au départ partir de définition faisant appel à des rationnels uniquement ( pour avoir un ensemble de triangles dénombrables ) et relier tout ça à des polynômes.
Si c'est vraiment le cas , j'avoue que je ne saisi pas bien l'intérêt ni le comment vu le faible nb de "degrés de liberté" d'un triangle ce qui réduit drastiquement l'ordre des polynômes.

c'est donc pourquoi je suis parti comme toi sur la recherche d'une structure algébrique ( type anneau ou corps ).
démarche que je trouvais plus "amusante".
en tout cas ton modèle est sympa.
Cdt

[Merlin95]

Cette construction permet d'écrire des polynômes et de trouver des solutions sur cette structure.

Par exemple :



On trouve



Qui s'interprètent comme le triangle équilatéral dont l'aire au carré + 2 x l'aire - 3 x l'aire du triangle unité = 0

Mais c'est vrai que iharmed avait mis en restriction des triangles équilatéraux dont les cotés sont algébriques, je ne sais pas l'idée qui était derrière.

[ansset]

merci pour l'exemple très illustratif.
pour le reste , c'est à lui de préciser la démarche qu'il poursuit.
Cdt

[iharmed]

bonjour
Avant que je me lance dans la formulation, j’examine de façon naïve et intuitive l’opération.

Additionner deux entités c’est les faire fissionner pour en donner un.

Le triangle obtenu par la fusion de deux autres va hériter la caractéristique principale qui est sa surface issue de la somme des deux surfaces. on définit le premier principe qui dit que la surface du triangle "somme" est égale à la somme des deux triangles.

Mais avec une même surface on a une infinité de triangles de formes différentes. Quelle sera la forme la plus admissible de ce triangle ?
On reprend l’idée d’ansset (poste #5) et on rapproche la forme d’un triangle à sa base (b) et sa hauteur (h) en remplace le x par l’angle au sommet &
On s’attaque aux triangles : T1(b1, h1, &1) et T2(b2, h2, &2)
On veut que ce soit la hauteur qui explicite la forme du triangle "somme" T1(b3, h3, &3)
D’après le premier principe on doit avoir b3xh3 = b1xh1 + b2xh2

On devient obliger de faire des choix en prenant la hauteur comme essence de modélisation.
Si à un triangle de hauteur h1 on ajoute un autre de hauteur h2 quelle pourrait être la hauteur h3 de ce triangle ?
Intuitivement la loi d’addition fait augmenter les dimensions, ainsi h3 s’elle n’est pas carrément égale à h1+h2 elle est du moins supérieur ou égale au maximum de h1 et h2.
h3 est comprise entre maximum de h1 et h2 et h1+h2
Je ne trouve mieux que de prendre la valeur moyenne de h1+h2/2 et h1/2+h2 soit alors h3 = 3(h1+h2)/4
Ayant le h3 on déduit facilement le b3 à partir de B3xh3 = b1xh1+b2xh2
B3 = 4(b1xh1+b2xh2) / 3(h1+h2)

Ainsi il restera l’exercice de l’angle au sommet &3 ……

[iharmed]

en rédigeant mon message n°23 j’ai pas vu les messages 16 à 22 j’y reviens

[iharmed]

définition faisant appel à des rationnels uniquement ( pour avoir un ensemble de triangles dénombrables )

bonjour
correction
j'ai dis algébrique et ça reste dénombrable

[Merlin95]

en rédigeant mon message n°23 j’ai pas vu les messages 16 à 22 j’y reviens

J'en profite pour corriger certaines erreurs en synthétisant :





L'élément neutre pour l'addition est (le triangle équilatéral nul)
L'élément neutre pour la multiplication est .

Et pour finir :
L'equation (racines sur IR : 1 et -3) a pour solution 1 E et -3 E.

L'intérêt apparait plus évident comme cela peut-être .

[ansset]

bonjour
correction
j'ai dis algébrique et ça reste dénombrable

oui, oui, c'est juste une faute de frappe de ma part ! désolé.

[Merlin95]

on peut généraliser la multiplication et l'addition sur l'ensemble des triangles ainsi :

[iharmed]

En apportant les corrections à mon message précédent, et on peut effectivement généraliser à des triangles quelconques.

L'idée est de ramener les opérations sur des triangles quelconques à des opérations sur leurs triangles équilatéraux équivalents :

Un triangle quelconque est caractérisé pour un sommet A par le produit des deux cotés adjacents à A et par le avec l'angle du sommet A.
Donc

Bonjour
La généralisation n’est pas prouvée d’une façon convaincante.
Un triangle est définissable par trois et jamais par deux éléments. Deux éléments ne peuvent définir qu’un ensemble de triangles et non un triangle précis.

Mon souci, depuis hier, c’est que je commence à douter de la possibilité de l’opération, déjà le principe que la surface du triangle « somme » est la somme des surfaces des deux triangles sources est faux ; en effet pour 2 triangles Tx et Ty distincts mais surfaces égales, quel triangle doit-on ajouter à Tx pour trouver Ty ? … c’est le triangle à surface nulle, c’est l’élément neutre …. Absurde.

Il y a blocage …..

Je ne vois qu’une seule issue ; c’est de définir une loi d’addition mutante, c.-à-d.
La loi d’addition prend une forme selon le format des triangles qu’elle va additionner ; si les triangles sont semblables la loi prend la forme1, s’ils ne sont pas semblable mais ils ont la même hâteur elle prend la forme2, …..

Si non il faudra laisser tomber

[Merlin95]

Par contre, si on définit l'inverse pour l'addition on a un problème avec cette définition pour,



Donc on modifie cette addition ainsi



La distributivité est conservée.

J'en profite pour dire que l'inverse pour l'addition de est

Je crois qu'on a ainsi une structure d'anneau.