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Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !



  1. #1
    Lolaa06

    Exclamation Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !


    ------

    Bonsoir à tous ,

    J'ai du mal à répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C donc j'espère que vous allez pouvoir m'aider.

    Donc, l'enoncé est: On considère l'ensemble E=C\{i} et f: E --->C définie par f(z)=(z+i)/(z-1). Pour un nombre z e C, on note Re(z) la partie réelle de z et Im(z) la partie imaginaire de z.

    Répresenter graphiquement le sous-ensemble de l'ensemble C défini par : F = { z e C, Im(z)>0 }

    Que pouvez vous dire de l'image par f de cet ensemble F, noté f(F) ?

    Que pouvez vous dire de l'image de l'ensemble f(G) ou : G = { z e C, Im(z)<0 }


    Je ne sais vraiment pas par ou commencer.

    En esperant d'avoir votre reponses,

    Cordialement

    -----

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  3. #2
    minushabens

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Mais l'ensemble des complexes de partie imaginaire positive, tu vois ce que c'est quand-même?

  4. #3
    Lolaa06

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    minushabens: malheuresement non là je ne vois pas !

  5. #4
    minushabens

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Tu n'as jamais entendu parler du "plan complexe"? : la représentaion de C comme un plan.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    polf

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Il y a une erreur sur l'espace de définition ou le dénominateur.

  8. #6
    Lolaa06

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Tu n'as jamais entendu parler du "plan complexe"? : la représentaion de C comme un plan.
    Je m'excuse j'etais trop fatiguée cette nuit là je ne me souvienais de rien :A . Si bien sur que si , je connais le plan complexe mais cet exo je ne sais pas comment y repondre vu que si Im(z) > 0 répresente toute la partie positive d'axe d'ordonées (0 exclus) tandis que Im(z)<0 est le contraire, la partie négative d'axe d'ordonées ( 0 toujours exclus) .

    Donc voilà comment le répresenter sur ma copie?

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  10. #7
    Lolaa06

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Citation Envoyé par polf Voir le message
    Il y a une erreur sur l'espace de définition ou le dénominateur.

    c'est-à-dire ??

  11. #8
    polf

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    La fonction f(z) = (z+i) / (z-1) est définie sur E=C\{1} et non E=C\{i}

    La résolution :
    Partez de z=x+i.y et écrivez :

    a+i.b = f(x+ i.y) = (x+ i.y+i) / (x+ i.y-1)
    isolez y dans cette équation -> y = fct(a,b,x)

    F est défini par y>0 et x qlq
    déterminez b=fct2(a,x) / fct2(a,x) soit réelle
    déterminer la relation entre a et b / fct(a,b=fct2(a,x),x)>0

    de même pour G
    Dernière modification par polf ; 06/12/2014 à 12h44.

  12. #9
    polf

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Citation Envoyé par polf Voir le message
    déterminez b=fct2(a,x) / fct2(a,x) soit réelle
    Je voulais dire :
    déterminez b=fct2(a,x) / fct(a,b,x) soit réelle

  13. #10
    Lolaa06

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Citation Envoyé par polf Voir le message
    Je voulais dire :
    déterminez b=fct2(a,x) / fct(a,b,x) soit réelle

    Au fait Polf, je viens de trouver la partie réelle et celle imaginaire de Z c-a-d:

    y=(x+i)/(x-i)

    y(x-i)=(x+i)

    yx-iy=x+i

    iy+i=yx-x

    i(y+1)=x(y-1)

    d'ou: Re(z)=x(y-1) et Im(z)=i(y+1)

    Pour F={ z e C, Im(z) > 0 } on a i(y+1) > 0
    y+1 > 0
    y > -1

    et pour G={ z e C, Im(z) < 0 } : i(y+1) < 0
    y+1 < 0
    y < -1

    Apres je sais pas trop quoi faire.. :/

  14. #11
    polf

    Re : Répresenter graphiquement un sous-ensemble d'un ensemble C !

    Si z=x+iy
    F est défini par x qlq et y>0
    G est défini par x qlq et y<0

    La frontière entre F et G est définie par x qlq et y = 0 : (S)
    f(z)=(z+i)/(z-i)
    pour y = Im (z) = 0
    f(x) =( x+i)/(x-i)
    f(x) = (x+i)^2/((x-i).(x+i))
    f(x) = (x^2+2ix-1)/(x^2+1)
    ABS(f(x))^2 = ((x^2-1)^2+4.x^2)/(x^2+1)^2
    ABS(f(x))^2 = (x^4+1+2.x^2)/(x^2+1)^2
    ABS(f(x))^2 = 1
    lorsque x décrit R, (S), décrit le cercle de centre 0 et de rayon 1

    Si maintenant x qlq et y >0
    f(z)=(z+i)/(z-i)

    Nom : Sans titre.gif
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Taille : 9,0 Ko

    F est l'intérieur strict du cercle de centre 0 et de rayon 1

    G est l'extérieur strict du cercle de centre 0 et de rayon 1

    La démonstration n'est pas complète (il faudrait démontrer que TOUT l'intérieur du cercle est compris dans F et que TOUT l'extérieur du cerlce est compris dans G)

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