Injection d'un ensemble dans un sous-ensemble

[invite5a750395]

Bonjour,
si on prend un ensemble E infini, et F un sous ensemble de E infini ; est-il possible d'avoir une injection de E dans F ?
Intuitivement ça parait peu probable, mais je vois pas comment argumenter.

Merci.
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Ben si, dans le cas que tu décris, tu peux très bien avoir une injection, et même une bijection, ...

Prend l'exemple tout simple de et , tu peux très facilement définir une bijection entre ces 2 ensembles ... je te laisse faire une proposition

[inviteea028771]

C'est d'ailleurs une propriété des ensembles infinis. On peut même définir les ensembles infini comme les ensembles qui possèdent une injection de lui même vers un de ses sous ensemble (strict, sinon c'est trivial)

[Médiat]

L'existence d'une telle injection peut même servir de définition d'un ensemble infini, c'est la définition de Dedekind, mais cette définition n'est équivalente aux autres définitions qu'avec l'axiome du choix.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5a750395]

D'accord, donc je me trompais dès le départ, je ne suis pas très à l'aise avec l'infini.

Qu'en est-il si on rajoute une structure algébrique (groupe ou corps par exemple) sur E, et qu'on impose que l'injection soit un morphisme (F étant un sous-groupe ou un sous corps de E, toujours inifini) ?

[Médiat]

Tout sous-corps infini de IR répond à votre question.

[inviteea028771]

D'accord, donc je me trompais dès le départ, je ne suis pas très à l'aise avec l'infini.

Qu'en est-il si on rajoute une structure algébrique (groupe ou corps par exemple) sur E, et qu'on impose que l'injection soit un morphisme (F étant un sous-groupe ou un sous corps de E, toujours inifini) ?

Pour les groupes, ça marche aussi ( penser à Z et à son sous groupe 2Z )

Après, ça dépend plus de la structure (je n'ai pas d'exemple en tête pour les anneaux), par exemple, sur les espaces vectoriels de dimension fini, ça n'est pas possible (théorème du rang)

Tout sous-corps infini de IR répond à votre question.

Hum, pas tous, Q est un sous corps infini de R, et il n'y a pas d'injection de R dans Q

[Médiat]

Hum, pas tous, Q est un sous corps infini de R, et il n'y a pas d'injection de R dans Q

Bien sur, j'ai voulu simplifier ma réponse initiale et il est resté un truc complètement faux.

Je voulais dire : tous sous-corps strict de IR ayant une base de transcendance de taille

[invite5a750395]

En fait je travaillais sur le résultat : Q n'a pas de sous-corps propre.

La preuve que je lisais suppose l'existence d'un tel sous corps propre de Q, qui contient 0 et 1 donc Z. Or Q = Frac(Z) est le plus petit corps qui contient Z, ce qui amène une contradiction.

Mais Wikipédia indique :

K(A) est le plus petit corps contenant A, au sens suivant : si L est un autre corps contenant A, il existe un morphisme injectif de A dans L donc un morphisme injectif de K(A) dans L.

Et en fait, dans la preuve dont je parlais, je ne vois pas pourquoi on aurait pas un morphisme injectif (ou un isomorphisme) entre Q et le sous-corps propre que l'on considère.

[inviteea028771]

En fait je travaillais sur le résultat : Q n'a pas de sous-corps propre.

La preuve que je lisais suppose l'existence d'un tel sous corps propre de Q, qui contient 0 et 1 donc Z. Or Q = Frac(Z) est le plus petit corps qui contient Z, ce qui amène une contradiction.

Mais Wikipédia indique :



Et en fait, dans la preuve dont je parlais, je ne vois pas pourquoi on aurait pas un morphisme injectif (ou un isomorphisme) entre Q et le sous-corps propre que l'on considère.

En fait dans ta preuve tu ne raisonnes pas avec les injections.

Tu dis : Soit A un sous corps de Q qui contient 0 et 1

Alors, par stabilité par + et -, il contient Z
Puis, par stabilité par inverse, il contient tout les 1/n
Puis par stabilité par produit, il contient toutes les fractions d'entiers

Donc il contient Q

Ainsi, tout sous corps de Q qui contient 0 et 1 contient Q, donc est égal à Q

[invite5a750395]

J'ai compris, merci. En effet, inutile de faire intervenir des injections.