Une injection (bijection) d'un ensemble fini dans lui-même admet en moyenne un seul point fixe

[invite2b14cd41]

Salut,
J'essaie de prouver si l'assertion du titre est correcte.
Il y a n! permutations.
J'essaie alors de dénombrer celles qui admettent (ou celles qui n'admettent pas) de points fixes.
Il y a trop de cas à considérer pour conter celles qui en admettent, je vais alors essayer de dénombrer le complémentaire.
Mon ensemble fini A de cardinal n est en bijection avec |[1,n]|
A 1 je peux associer Card(|[2,n]|)=n-1 nombres.
A 2 je peux associer: Si f(1)=2 , n-1 possibilités.
Si f(1)=/=2 , n-2 possibilités.
Et après ca se complique de plus en plus et finalement je n'y arrive pas ainsi.

Merci d'avance.
-----

[invite25cbd5d2]

Salut

Edit : il y a une faute dans mon raisonnement , je vais essayer de la corriger

[invitebe08d051]

Salut,

Une permutation sans point fixe s'appelle un dérangement.
Le nombre de dérangement d'un ensemble à éléments n'est pas évident à calculer: (si je me rappelle bien):

.

Donc pour cette piste c'est non.
Reste donc à calculer le nombre de permutations qui admettent au moins un point fixe. Ce ne sera non plus pas facile à déterminer. (vue que ça va donner )

Tu le tire d'où cet exo ?
Quel est l'énoncé exactement ?

[invite2b14cd41]

[QUOTE]
On a donc , CQFD (enfin, ca ne m'a pas l'air si dur que ça avec ta formule).[\QUOTE]
Je pense avoir parler un tout petit peu trop vite, vu que c'est FAUX.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

J'ai vu une démo de ta formule à partir de celle du crible de Poincarré, assez simple en fait... si on connaît celle de Poincarré évidemment
Sinon, il y a peut-être un moyen de "résoudre" le problème si on considère la limite de
Je n'arrive cependant pas à montrer que cette limite vaut bien 1/2.
Un indice?

[invite2b14cd41]

J'ai vu une démo de ta formule à partir de celle du crible de Poincarré, assez simple en fait... si on connaît celle de Poincarré évidemment
Sinon, il y a peut-être un moyen de "résoudre" le problème si on considère la limite de
Je n'arrive cependant pas à montrer que cette limite vaut bien 1/2.
Un indice?

Je pense qu'il faut utiliser le critère d'une série alternée ou qqchose de ce genre... je ne suis pas vraiment au point niveau séries
Bon je vais aller bosser.

[invitebe08d051]

Salut,

J'ai vu une démo de ta formule à partir de celle du crible de Poincarré, assez simple en fait... si on connaît celle de Poincarré évidemment

Pour moi, meme le crible de Poincaré est à redémontrer.

Sinon, il y a peut-être un moyen de "résoudre" le problème si on considère la limite de
Je n'arrive cependant pas à montrer que cette limite vaut bien 1/2.
Un indice?

Le problème c'est que cette suite ne converge pas vers mais plutôt vers .
On peut le montrer facilement en appliquant l'inégalité de Taylor Lagrange à la fonction .

Je pense qu'il faut utiliser le critère d'une série alternée ou qqchose de ce genre... je ne suis pas vraiment au point niveau séries

Le critère spécial des séries alternées permet de prouver la convergence mais ne donne pas la limite.

Cela dit, il faudrait être vigilant quant à la crédibilité des signatures sur un quelconque forum.

Cordialement

[invitea07f6506]

C'est typiquement le genre de problème pour lequel l'interversion des sommes est un outil très puissant.

Je note l'ensemble des permutations de , et le nombre moyen de points fixes d'une permutation dans .



A fixé, il y a une bijection entre les permutations de qui fixent le point et les permutations de . Il y a donc exactement permutations de qui fixent le point .

[Seirios]

C'est typiquement le genre de problème pour lequel l'interversion des sommes est un outil très puissant.

Je note l'ensemble des permutations de , et le nombre moyen de points fixes d'une permutation dans .



A fixé, il y a une bijection entre les permutations de qui fixent le point et les permutations de . Il y a donc exactement permutations de qui fixent le point .

Joli

[invite2b14cd41]

C'est typiquement le genre de problème pour lequel l'interversion des sommes est un outil très puissant.

Je note l'ensemble des permutations de , et le nombre moyen de points fixes d'une permutation dans .



A fixé, il y a une bijection entre les permutations de qui fixent le point et les permutations de . Il y a donc exactement permutations de qui fixent le point .

C'est bizzare... J'ai compris votre demo tres simple ... pourtant la méthode avec le nombre de dérangements donne (et encore, seulement pour n très grand)
Merci quand même.

EDIT: Pouvez-vous me rappeler juste dans quels cas on a le droit d'intervertir les sommes?

[invite57a1e779]

la méthode avec le nombre de dérangements donne (et encore, seulement pour n très grand)

Garf calcule effectivement que le nombre moyen de points fixes des éléments de , et il trouve le résultat correct : , ce qui répond à ta question.

Le nombre de dérangement est le cardinal de l'ensemble des éléments de qui n'admettent pas de point fixe ; donc est la proportion de ces éléments dans et est la proportion des éléments de qui admettent un ou plusieurs points fixes.

Tu confonds la proportion d'une certaine population dans avec le nombre moyen de points fixes des éléments de .

En ce qui concerne l'interversion des sommes, c'est toujours possible pour de «vraies» sommes, c'est-à-dire lorsqu'on additionne un nombre fini de termes ; c'est lorqu'interviennent des sommes de séries que l'interversion peut être impossible, et doit être soigneusement justifiée lorsqu'elle a effectivement lieu.

[invite2b14cd41]

Garf calcule effectivement que le nombre moyen de points fixes des éléments de , et il trouve le résultat correct : , ce qui répond à ta question.

Le nombre de dérangement est le cardinal de l'ensemble des éléments de qui n'admettent pas de point fixe ; donc est la proportion de ces éléments dans et est la proportion des éléments de qui admettent un ou plusieurs points fixes.

Tu confonds la proportion d'une certaine population dans avec le nombre moyen de points fixes des éléments de .

En ce qui concerne l'interversion des sommes, c'est toujours possible pour de «vraies» sommes, c'est-à-dire lorsqu'on additionne un nombre fini de termes ; c'est lorqu'interviennent des sommes de séries que l'interversion peut être impossible, et doit être soigneusement justifiée lorsqu'elle a effectivement lieu.

Evidemment, j'ai fais une bête mais très grave erreur de raisonnement. Merci beaucoup.