Bonjour,
Quelqu'un peut-il m'expliquer comment une fonction continue sur [a,b] et par ailleurs aussi continue sur [b,c] pourrait-elle ne pas être forcément continue sur [a,c] ?
Cette affirmation est dans un cours d'ECE2 d'un prof de prépa et je dois reconnaitre que je n'arrive pas à me représenter cette affirmation.
Et si ta fonction présente une marche d'escalier en b ?
En ce cas mais c'est peut-être ma compréhension de la continuité qui est défaillante, si une fonction est continue sur [a,b] alors
lim f(b-)=lim(f(b+)=f(b) et ne peut présenter de marche d'escalier.
Mais là encore, il est possible que je m'embrouille
Bonjour.
Effectivement, il semble y avoir un problème avec l'énoncé, ton raisonnement avec les limites à droite et à gauche qui coïncident avec la valeur de la fonction est parfaitement correct !
Voilà ci-dessous très exactement ce qui est donné dans le cours en question et qui me laisse perplexe:
Attention : si f est continue sur [a, b] et est aussi continue sur [b, c] alors f n’est pas forcément continue sur [a, c]. Dans la plupart de vos exercices, la continuité sera évidente presque partout mais il
y aura presque toujours au moins un point qui posera problème.
Imagine entre -1 et 0 la fonction sin(x)/x étendue à y=0 quand x tend vers 0-
Ensuite entre 0 et 1 la fonction 1 - sin(x)/x étendue à 1 quand x tend vers 0+.
On peut, en tirant un peu la ficelle, dire qu'elle est continue des 2 côtés.
Le problème, c'est en 0, valeur qui n'est qu'une extension.
Il faut vraiment tirer la ficelle.Envoyé par Jeanpaul
En fait, le point de départ est :
– une fonctiondéfinie sur
– une fonction
Mais il n'existe pas de fonction (continue ou non...) qui admette
Il est vrai, dans des espaces topologiques quelconques, que :
– si
– si
– si les restrictions de
alors
Et il me semble que c'est le cas envisagé ici : les applications continues sur
Merci à vous deux. Mais peut-être mon niveau ne me permet pas de tout comprendre.
Dans la réponse de Jean-Paul , il est fait allusion à une fonction f(x) =sinx/x sur l'intervalle [-1,0] et à une fonction f(x) =1-sinx/x sur l'intervalle [0,1]. Or ces fonctions sont différentes ou alors il y a un truc que je ne saisis pas. Dans l'énoncé de l'assertion, on parle de la même fonction f.
Dans ce qui est donné par l'énoncé, on laisse supposer que lim f(b-) pourrait être différent de lim f(b+) pour la même fonction.
Est-ce qu'il faut donc comprendre qu'en posant f(b-)=lim f(b-) et f(b+)=lim f(b+), avec lim f(b-)<>lim f(b+), alors la fonction est continue sur [a,b] et sur [b,c] mais présente une discontinuité en b ?
Merci d'avance.
Tel que l'énoncé est donné, la fonction f est définie en b, et ce d'une façon unique. Vouloir changer sa valeur en b selon qu'on soit sur [a,b] ou [b,c] n'a aucun sens.
La remarque du cours telle qu'elle est formulée n'a aucun intérêt. Ce que l'enseignant voulait signaler, c'est des fonctions qui sont continues sur [a,b[ et ]b,c], et qui ont des limites à droite et à gauche en b. (non nécessairement égales, ça sera le but de de l'exercice de déterminer si c'est le cas)
Il faudra qu'il révise un peu sa copie, c'est du plus mauvais effet ...
On a parfaitement le droit de définir une fonction par des équations différentes selon le segment. Le coup tordu n'est pas là, il est dans la définition de la valeur en b (0 ici).
