Bonjour,
Voici l'énoncé:
Soit (E,|) euclidien de dimension n, et F,G sous-espaces
Montrez (F inter G) ortho (soit l'ortho de F inter G)=(F ortho)+(G ortho)
J'ai prouvé (enfin je pense) que (F inter G) ortho=(F ortho) union (G ortho) mais le pb c'est que dans le cas général F+G est différent de F union G!!!
Si vous avez une idée, n'hésitez pas.
Merci d'avance!
P.S: désolé pour l'énoncé, j'ai du mal avec latex, j'espère que c'est quand même compréhensible!
Bonjour
je serai curieux de voir ta démonstration car l'orthogonale de F inter G est un espace vectoriel alors que la réunion des orthogonales de F et G n'en est pas un dans un cas général en tout cas...
Donc je pense qu'il doit y avoir un problème dans ta démonstration.
Montre les deux inclusions dans "(F inter G) ortho (soit l'ortho de F inter G)=(F ortho)+(G ortho)"
En gros prend un élément orthogonal a F inter G et montre qu'il est dans Fortho+Gortho et réciproquement.
RoBeRTo
Je vais réfléchir à ce que tu me proposes.
En ce qui concerne la démonstration, je comprends bien où tu cibles le problème et je suis tout à fait d'accord avec toi. Cependant, j'ai une formule du cours qui me donne (A union B) ortho=(A ortho) inter (B ortho), or il y a le même pb qui est que A union B n'est pas forcément un sev.... et c'est de cette formule que je suis parti pour prouver mon égalité.
Si t'as une explication, je suis preneur. Merci de ton aide!
Oui j'en ai une,
Soit A une partie de E un espace euclidien, alors on peut définir A orthogonal même si A n'est pas un sev de E mais juste une partie de E. Donc l'orthogonal de A est un espace vectoriel mais pas A. On peut énoncer la propriété
A orth = vect(A) orth
Mais dans ton cas tu réuni deux espaces vectoriel donc ce n'est pas un espace :
Je serai d'accords si tu montre : (F inter G) ortho = vect((F ortho) union (G ortho))=Fortho+Gortho par exemple car là il n'y aurai plus de problème (et si cela est vrai)
Donc fait attention! Une intersection de deux Sev est un Sev mais leur réunion n'en est pas voilà pourquoi la loi + existe sur les sous espace vectoriel de E.
Il me semble que l'on peut facilement justifier les inclusions :
;
Par contre l'inclusion
Un raisonnement par dimension me paraît plus adapté.
J'ai compris mon erreur lorsque j'ai essayé de prouver "(F inter G) ortho=(F ortho) union (G ortho)" (En fait j'utilisais le fait que (F ortho)ortho=F mais avec F union G qui n'est pas un sev, donc l'égalité n'est pas vérifiée).
Ensuite, je suis OK pour la démo de la première inclusion, j'ai réussi à prouver l'égalité des dimensions (j'utilise cependant le fait que dim(F+G) ortho=dim(F union G)ortho mais je n'ai pas cette propriété donc si quelqu'un pouvait me la confirmer...!)
Cela suffit donc à prouver l'égalité.
Cependant, j'aimerais bien avoir la version pour prouver la deuxième inclusion (j'ai essayé de cogiter mais je vois pas). Je suis d'accord qu'on prend un élément orthogonal a F inter G mais je ne vois pas comment prouver qu'il appartient à F ortho+G ortho?
Merci beaucoup à vous deux pour votre aide et vos explications!!!
