Petite question d'algèbre linéaire

[invite847a6aeb]

Bonsoir,

Voici mon problème :

E est un espace vectoriel de dimension finie, f et g sont deux endomorphismes de E.
Je cherche à montrer que si est valeur propre de fog alors est également valeur propre de gof.

Tout d'abord, j'ai séparé en deux cas : et .

Pour le cas différent de 0, il n'y a pas de probleme, mais pour le cas egal à 0, je suis encore amené à séparer en deux cas.

On sait que si 0 est valeur propre de fog alors :
J'ai donc une différence selon que x appartient ou non au noyau de g.

S'il n'appartient pas au noyau de g, il suffit de multiplier par g à gauche alors on a g(x) qui est un vecteur propre associé à la valeur propre .

Par contre si x est dans le noyau de g, je ne vois vraiment pas comment faire.

Merci par avance à tout ce qui pourront m'apporter leurs lumières.
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[invite3240c37d]

C'est immédiat si tu penses les endomorphismes comme des matrices :
.. etc ..

[invite3240c37d]

Encore moi, pour discuter autour de la dimension de E .
Si est valeur propre de fog alors est aussi valeur propre de gof , même si la dimension de E n'est pas finie .

Ce n'est pas toujours le cas si , comme le montre l'exemple suivant .
Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels à coefficients réels et définissons : f(P)_(t) = tP(t) , g(P)_(t) = P(t)-P(0)
0 et valeur propre de fog puisque pour tout polynôme constant on a f(g(K)) = O .
Mais pour tout polynôme P non nul on a g(f(P))_(t) = tP(t) , polynôme non nul , donc 0 n'est pas valeur propre de gof .

[invite847a6aeb]

Merci MMu

J'aurais maintenant une autre question, sur un exercice différent mais toujours sur le même theme.

J'ai f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension
n sur K= ou , ayant chacun n valeurs propres distinctes dans K. Et je dois montrer que :
f o g = g o f f et g ont les mêmes valeurs propres.

Je sais que si f et g ont n valeurs propres distinctes alors ils sont diagonalisables dans K. Et que les sous espaces propres associés à chaque valeur propre est de dimension 1.

J'ai essayé de partir de : valeur propre de f pour esssayer de montrer qu'elle est aussi valeur propre de g.
gof(x)=.g(x) fog(x)=.g(x)
D'où : g(x) appartient au sous espace propre associé à la valeur propre lambda
D'où : est valeur propre de g.

Mais je n'ai aps de lien entre et . Donc je sais pas s'il y a quelque chose à tirer de ça ou s'il faut partir sur une autre piste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

C'est faux comme le montre l'exemple (cas n=1) f(x)=0 , g(x)=x
Mais il est vrai qu'avec les données du problème on a : fog = gof f et g ont les mêmes vecteurs propres ..

[inviteaf1870ed]

Ce ne peut être vrai : soit f diagonalisable, et g=Kf avec K un scalaire. Alors f et g commutent et n'ont pas les mêmes valeurs propres.

MMu a raison : les Vecteurs Propres sont identiques

[invite847a6aeb]

Ben oui forcement, j'allais avoir du mal à prouver que c'est vrai si ca ne l'est pas ...

Merci beaucoup, j'ai vérifié l'énoncé et je ne me suis pas trompé en le recopiant. Je pense que vecteur propre et valeur propre ont été inversés car dans la question suivante on nous dit qu'on peut montrer par récurrence qu'il existe un vecteur propre en commun à f et g.

Sinon pour prouver que les vecteurs propres sont communs aux deux endomorphisme mon raisonnement est bon, non?
En appliquant le même raisonnement aux vecteurs propre de g, on trouve bien que f et g ont même vecteurs propres.