Question d'Algèbre

[inviteaa327ae2]

bonjour,

je rencontre des difficulté dans un exercice d'algèbre.
Voici la 1ère partie :
on considère un anneau (A,+,*) tel que quelque soit x appartenant à A :
x*x=x (1)
1-En utilisant une identité remarquable et la propriété (1), montrez que:
x*y+y*x = e
e : élément neutre pour la loi +

Merci d'avance pour votre aide ^^
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[invitedfc9e014]

c'est assez simple, tu utilises la formules (1) pour un élément z=x+y (bon, il existe, tout ça, quitte à le justifier si c'est dans l'esprit de l'exercice...), tu développes et c'est bon.

[inviteaa327ae2]

Pardon mais je n'y arrive pas.
Si tu peux donner plus d'indice.
Merci.

[inviteb0df2270]

Puisque ta propriété (1) est vraie pour tout , tu poses et tu appliques (1) à :

et là tu appliques la distributivité :



D'après (1), ceci s'écrit :



On retranche et de chaque côté (donc l'élément neutre pour l'addition apparait à droite) :



Et ceci pour tous .

A noter que si tu débutes en groupes, anneaux, etc... il faut essayer de bien voir partout où tu as utilisé une propriété de commutativité, d'associativité ou de distributivité, etc... Et aussi ne jamais oublier les axiomes de définition des groupes, anneaux, corps, etc, on a vite fait d'oublier à force de pas vérifier

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa327ae2]

Merci beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup ... (l'inf).