Hello !
Quelqu'un pourrait me dire comment passer de vect à un système d'équations ?
J'ai V=vect ((1,-1 ,0,1),(1,1,2,0),(1,-3,-2,1)). Après je passe à la résolution du système :
a+b+c=x
-a+b-3c=y
2b-2c=z
a+c=t
je réduits :
a+b+c=x
2b-2c=x+y
-b=t-x
0=z-x-y
Est-ce que V est l'ensemble des solutions de 0=z-x-y ? c bizar en terme de dimensions !
"Quelqu'un pourrait me dire comment passer de vect à un système d'équations ?"
Je comprends pas trop ta question là.
Qu'est-ce qu'on te demande exactement ?
Eh bien on me donne l'ensemble V défini par vect(...) et je dois exprimer V comme l'ensemble des sol d'un système...
Personne n'a une idée ??
Les 3 vecteurs générateurs que tu donnes forment un famille libre (à toi de voir pourquoi ?), donc l'espace engendré par ces vecteurs est de dimension 3.
Tu es dans un espace de dimension 4, donc tout sev de dimension 3 se représente par une équation unique.
Donc c'était bon ?
Ok pour la famille libre.
J'avais cru que mon equation était de dim2 mais j'avais oublié le t !! Elle est bien de dimension 3.
Merci ericcc
P.S. : juste dernière question : pourquoi en résolvant l'équation et en l'exprimant en vect je ne retombe pas sur les mêmes vecteurs ??
Ca fait : V=(x,y,x+y,t) donc V=vect((1,0,1,0)(0,1,1,0)(0,0, 0,1)) ...
Parce qu'un espace peut être engendré par une infinité de bases !
Oui c'est vrai... je suis bête
Dernier problème j'espère :
Si on a le système suivant : z-x-y=0 (sans savoir qu'au préalable on a utilisé un t), la dim est bien 2 ?
salut
ce n'est pas très rigoureux mais je pense que intuitivement il faut le voir comme ça
tu as V=vect ((1,-1 ,0,1),(1,1,2,0),(1,-3,-2,1))
c'est à dire que x appartient à V si
x = a.(1,-1 ,0,1) + b.(1,1,2,0) + c.(1,-3,-2,1)
il y a un théorème (Gram-Schmidt theorem ?) qui dit que pour un espace vectoriel de dimension finie il existe toujours une base orthonormée de celui-ci
maintenant tu supposes que V=vect (V1,V2,V3) = vect ((1,-1 ,0,1),(1,1,2,0),(1,-3,-2,1))
où (V1,V2,V3) est une base orthonormée
tu peux donc écrire x = a'.V1 + b'.V2 + c'.V3
en particulier (1,-1 ,0,1) = a'.V1 + b'.V2 + c'.V3 , pareil pour les autres vecteurs de ta première base
il est clair que comme (V1,V2,V3) est une base orthonormée de dimension 3 dans un espace vectoriel de dimension 4 il existe un vecteur V4 qui viendrait compléter cette base orthonormée pour avoir une base toujours orthonormée de dimension 4: (V1,V2,V3,V4)
et comme (1,-1 ,0,1) = a'.V1 + b'.V2 + c'.V3
et que V1.V4 = V2.V4 = V3.V4 = 0 ( '.' est le produit scalaire)
alors (1,-1 ,0,1).V4 = (1,1,2,0).V4 = (1,-3,-2,1).V4 = 0
qui est justement l'équation te permettant de trouver V4
enfin comme ton x appartient à ton Vect de départ <=> x.V4 = 0
tu as ton équation recherchée
______________
pour ta question sur z-x-y=0
la dimension est bien 3 car on a t qui est libre qui "rajoute" une dimension, si t n'existe pas la dimension sera logiquement 2
Merci à tous les deux !!
