Petite question sur lim (1+a/n)^n=e^a

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait t'il m'éclairer:

On sait démontrer que la lim (1+a/n)^n=e^a. ( a réel fixé)

Cependant, j'aimerais savoir ce qu'il y a de faux dans le raisonnement suivant et ou je ne trouve pas la même limite:

Le raisonnement consiste à passé par une composé de fonctions,

lim 1+a/n=1 en l'infini

et donc lim X^n quand X tend vers 1 égale 1 en l'infini ou l'on a poser X=1+a/n

Pourquoi ce raisonnement est faux? est ce parce que ce n'est pas la composé de deux fonctions usuelles?

Merci.
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[invite57a1e779]

Je ne comprends pas quelles sont les deux fonctions usuelles que tu composes, et comment tu peux calculer la limite en deux temps, puisqu'il n'y a qu'une seule variable : l'entier n qui tend vers l'infini.

[invite5ffffaa4]

X=1+a/n tend vers 1 quand n tend vers l'infini

composer X avec (une sorte de) fonction exponentielle X^n.

X=1+a/n tend vers 1 quand n tend vers l'infini
donc lim X^n tend vers 1 quand X tend vers 1 et n vers l'infini.

[inviteb8f38dc5]

Quand tu as 1^n et que tu fais tendre n vers l'infini, il s'agit d'une forme indeterminée donc ca ne donne aucun resultat sur la limite que tu cherches...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ffffaa4]

Merci. Merci. Merci.

[invite57a1e779]

donc lim X^n tend vers 1 quand X tend vers 1 et n vers l'infini.

Tu utilise la fonction de deux variables : , et tu imagines que connaître sa limite quand X tend vers 1 et n vers l'infini.

Ainsi que le fait remarquer franz00, il s'agit d'une forme indéterminée : il suffit d'écrire cette fonction sous la forme : pour s'apercevoir que la limite du produit se présente sous forme , et que la composition par l'exponentielle ne résout pas le problème de la levée de l'indétermination.