continuité

[invite7afa3ac7]

bonjour,

j'aurais besoin d'aide pour 2 exercices :

dans le premier on a deux fonctions définies sur[0;1] à valeurs dans R avec f(1)=g(0)=1 et f(0)=g(1)=0.
Je dois montrer que pour tout réel positif l, il existe un réel appartenant à [0,1] tel que f(x)= l * g(x).
Je pense qu'il faut utiliser le TVI mais ne voit pas comment l'appliquer ??

dans le deuxième exo : j'ai f(x)= (-1)^E(x)(x-E(x)-1/2) :
je dois étudier la continuité : j'ai mis que f était continue sur R\Z en tant que produit de fonctions continues mais est-ce réellement le cas ?
puis , pour x₀ appartient à Z, j'ai trouvé f(x₀)=(-1)^x₀*(-1/2) mais je ne sais pas comment montrer que c'est égal à la limite de f(x) quand x-->x

pouvez-vous m'aider svp ?

merci d'avance
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[KerLannais]

Salut

1- I est fixé, quelle est la régularité de la fonction
h(x)=f(x)-Ig(x)?
Que vaut h(0), h(1)? conclure.

2- commence par déssiner la fonction, tu peux simplifier la formule quand tu te place sur un intervalle [n,n+1[ (en remplaçant E(x) par n )

[MMu]

Attention, dans l'énoncé du 1er tu as oublié d'indiquer que ont des propriétés qui permettent d'appliquer le TVI (par ex. la continuité) ...

[invite7afa3ac7]

bonjour

donc pour le premier exo c'est bon j'ai bienmis les hypothèses sur la continuité et tout

pour le deuxième, je me demandais si la fonction (-1)^x était continue sur R\Z car je l'avais supposée dans mon post précédent mais je ne sais pas trop en fat ? est-ce le cas car j'en ai besoin pour savoir si déjà sur R\Z ma fonction est continue en tant que produit de fonctions continues ?

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00970985]

bonjour

donc pour le premier exo c'est bon j'ai bienmis les hypothèses sur la continuité et tout

pour le deuxième, je me demandais si la fonction (-1)^x était continue sur R\Z car je l'avais supposée dans mon post précédent mais je ne sais pas trop en fat ? est-ce le cas car j'en ai besoin pour savoir si déjà sur R\Z ma fonction est continue en tant que produit de fonctions continues ?

merci d'avance

Attention (-1)^x n'est pas défini pour x réel. Mais ta fonction est bien continue sur R\Z, car sur un intervalle ]n,n+1[, f(x)= (-1)^E(x)(x-E(x)-1/2) vaut soit -(x-E(x)-1/2), soit +(x-E(x)-1/2). (sur ]n,n+1[, E(x) est une constante, donc bien continue)

Pour étudier la continuité sur Z, fait d'abord un dessin de ta fonction savoir ce que tu dois trouver. Ensuite, il faut que tu te serves de la définition de la continuité :

[invite7afa3ac7]

alors pour la continuité sur Z, j'ai vu que f était continue qu'à droite en x₀ appartient à Z. est-ce ça ?

autrement j'ai une autre fonction : f(x)=xsin(1/x) si x différent de 0 et 0 si x=0 donc le seul problème de continuité se pose en 0 : f(0)=0 et pour les limites à droite et à gauche ai-je le droit de dire qu'elles sont égales à zéro en tant que produit d'une fonction tendant vers 0 (x) et d'une fonction bornée (sin(1/x)) ??? et qu'ainsi f est continue sur R ??

merci d'avance

[invite00970985]

alors pour la continuité sur Z, j'ai vu que f était continue qu'à droite en x₀ appartient à Z. est-ce ça ?

Non, la fonction est parfaitement continue ...

autrement j'ai une autre fonction : f(x)=xsin(1/x) si x différent de 0 et 0 si x=0 donc le seul problème de continuité se pose en 0 : f(0)=0 et pour les limites à droite et à gauche ai-je le droit de dire qu'elles sont égales à zéro en tant que produit d'une fonction tendant vers 0 (x) et d'une fonction bornée (sin(1/x)) ??? et qu'ainsi f est continue sur R ??

Oui, tu n'as même pas besoin de distinguer limite à droite/gauche dans ce cas là (vu que c'est la même et que le raisonnement pour l'obtenir ne dépend pas du "sens" par lequel on tend).

[invite7afa3ac7]

ok j'ai vu ma bêtise à gauche merci !!