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Continuité de M->M^n



  1. #1
    Gpadide

    Continuité de M->M^n


    ------

    Bonjour je voudrais montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes est fermé dans Mn(C). Pour cela je considere l'application f de Mn(C) dans lui meme:
    f:M->M^n
    L'ensemble des matrices nilpotentes est alors l'image reciproque du fermé {0} par f. Reste a montrer que f est continue. Pour ca j'ai essayé de me servir d'une sorte de multilinéarité en dim finie mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider ? Merci

    -----

  2. #2
    fderwelt

    Re : Continuité de M->M^n

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bonjour je voudrais montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes est fermé dans Mn(C). Pour cela je considere l'application f de Mn(C) dans lui meme:
    f:M->M^n
    L'ensemble des matrices nilpotentes est alors l'image reciproque du fermé {0} par f. Reste a montrer que f est continue. Pour ca j'ai essayé de me servir d'une sorte de multilinéarité en dim finie mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider ? Merci
    Bonsoir,

    Chacun des coefficients de Mn est un polynôme en les coefficients de M, ça devrait (presque) suffire.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  3. #3
    Moloch57

    Re : Continuité de M->M^n

    une autre voie serait peut etre d'utiliser le polynome caractéristique.
    un theoreme (soit tu l'admet, soit tu le redemontre) affirme qu'une matrice de Mn(C) est nilpotente ssi son polynome caracteristique est (-X)^n
    si on considère l'application f qui à une matrice M dans Mn(C) associe sont polynome caracteristique, l'ensemble des matrices nilpotente est alors l'image réciproque par f de {(-X)^n} qui est un fermé.

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