Bonjour je voudrais montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes est fermé dans Mn(C). Pour cela je considere l'application f de Mn(C) dans lui meme:
f:M->M^n
L'ensemble des matrices nilpotentes est alors l'image reciproque du fermé {0} par f. Reste a montrer que f est continue. Pour ca j'ai essayé de me servir d'une sorte de multilinéarité en dim finie mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider ? Merci
Bonsoir,Envoyé par Gpadide
Chacun des coefficients de Mn est un polynôme en les coefficients de M, ça devrait (presque) suffire.
-- françois
une autre voie serait peut etre d'utiliser le polynome caractéristique.
un theoreme (soit tu l'admet, soit tu le redemontre) affirme qu'une matrice de Mn(C) est nilpotente ssi son polynome caracteristique est (-X)^n
si on considère l'application f qui à une matrice M dans Mn(C) associe sont polynome caracteristique, l'ensemble des matrices nilpotente est alors l'image réciproque par f de {(-X)^n} qui est un fermé.
