ensemble se contenant lui-même?

[orpheu48]

Bonjour.
N'étant pas spécialiste en mathématiques, je me suis cependant accroché, lors d'une conférence (de sciences humaines) à laquelle j'assistais comme auditeur, avec un matheux ou se disant tel: il soutenait que les ensembles se contenant eux-mêmes (comme éléments, en effet s'inclure comme partie est différent et c'est oui) sont légions, et je soutenais qu'un ensemble ne saurait se contenir ni donc s'appartenir à lui-même comme élément.
A ca jour je crois toujours que j'ai raison, car sinon on aurait des paradoxes insoutenables, mais il me semble que les diverses étapes de la construction de la théorie des ensembles n'ont pas toujours posé cela comme axiome.
J'ai cru comprendre que le paradoxe de Russel a été résolu par ce dernier en créant les types de classes, système impliquant une 'hiérarchie' de classes.
Et que par ailleurs Von Neumann a ajouté comme axiome cette impossibilité à la version ZF de la théorie des nombres.
Mais je reste curieux de la question ci-dessous:
Dans une théorie des nombres ne comportant pas l'axiome de Von Neumann, quelqu'un pourrait-il me donner un exemple d'un ensemble s'appartenant ou se contenant lui-même comme élément? Question sans doute tordue, mais qui me reste en travers de la comprenette suite à la conférence où je me suis (timidement càd sans trop insister) opposé au conférencier.
(Je sais par expérience que les praticiens de sciences dites molles font souvent un usage abusif et erroné des mathématiques qu'ils comprennent souvent mal, confondant le vocabulaire univoque des mathématiques avec le vocabulaire du langage courant, dans lequel un mot a souvent plusieurs interprétations possibles. Le théorème d'incomplétude de Gödel par exemple a fait l'objet de maints usages erronés, ce qui a amené Bouveresse à publier un livre sur le thème de ces abus.)
Merci pour votre lecture, en espérant des éclaircissements sur ma question.
Salut bien et bonne fin d'hiver.
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[Médiat]

Bonjour

N'étant pas spécialiste en mathématiques, je me suis cependant accroché, lors d'une conférence (de sciences humaines) à laquelle j'assistais comme auditeur, avec un matheux ou se disant tel: il soutenait que les ensembles se contenant eux-mêmes (comme éléments, en effet s'inclure comme partie est différent et c'est oui) sont légions, et je soutenais qu'un ensemble ne saurait se contenir ni donc s'appartenir à lui-même comme élément.

Le matheux a raison, un ensemble peut très bien se contenir lui-même sans entraîner de contradiction.

A ca jour je crois toujours que j'ai raison, car sinon on aurait des paradoxes insoutenables, mais il me semble que les diverses étapes de la construction de la théorie des ensembles n'ont pas toujours posé cela comme axiome.

Pas de paradoxe, néanmoins on peut ajouter à la théorie ZF (qui est une théorie des ensembles et non des nombres), un axiome interdisant cette possibilité (et même plus), c'est l'axiome de fondation.

J'ai cru comprendre que le paradoxe de Russel a été résolu par ce dernier en créant les types de classes, système impliquant une 'hiérarchie' de classes.

C'est exact que la théorie des type évite le paradoxe de Russell, mais dans ZF une autre solution a été privilégié, c'est le schéma d'axiomes de séparation.

Dans une théorie des nombres ne comportant pas l'axiome de Von Neumann, quelqu'un pourrait-il me donner un exemple d'un ensemble s'appartenant ou se contenant lui-même comme élément? Question sans doute tordue, mais qui me reste en travers de la comprenette suite à la conférence où je me suis (timidement càd sans trop insister) opposé au conférencier.

Voir par exemple l'axiome d'antifondation (en cherchant sur le net vous trouverez des tas de références (not well founded sets)), permet par exemple d'envisager un ensemble qui est égal au singleton de lui-même.

Le théorème d'incomplétude de Gödel par exemple a fait l'objet de maints usages erronés, ce qui a amené Bouveresse à publier un livre sur le thème de ces abus.)

Merci, à titre personnel, de rappeler ce point, étant moi-même intervenu de nombreuses fois sur FSG pour dénoncer ces abus.

[invite4ef352d8]

Salut !

Je ne sais pas trop à qu'elle axiome de Von Neuman tu fais référence, et je ne vois pas du tous (mais alors vraiment pas) le lien avec la théorie des nombres.

à part cela, dans la théorie ZF classique (ou ZFC ca ne change rien), l'existence ou non d'ensemble ce contenant eux même est indécidable. ca veut dire que je ne peux pas vraiment exhiber un ensemble ce contenant lui même (sinon cela donnerait une preuve que celui ci existe, et ce n'est pas possible puisque c'est indécidable). Il y a un axiome qui est parfois ajouté au système ZF qui s'appelle l'axiome de fondation qui entre autre empêche d'avoir un ensemble qui ce contiens lui même, et il est prouvé que cette axiome est indépendant de ZF.

dans l'autre sens on pourait très bien ajouté à ZF l'axiome "il existe A telle que A appartiens à A" et on peut prouver que cette axiome est indépendant de ZF.


Pour que tous soit claire un tous petit topo sur ce que veut dire "indécidable" parceque c'est une notion très subtile trop souvent mal vulgarisé.



Zf c'est un ensemble de "règle" qui régit le comportement de la relation "appartiens" qui est une relation binaire sur les ensemble. (dans ZF il n'y à rien d'autres que des ensembles tous objet est représenté par un ensemble par exemple l'entier naturel 0 est représenté par l'ensemble vide, 1 par l'ensemble {vide} et par récurence n est représenté par {0,1...,n-1}, une fonction est représenté par son graphe qui est un ensemble etc etc... )

(Note : relation binaire désigne en gros une fonction qui prend deux objet d'un ensemble et qui renvoie "vrai" ou "faux", par exemple =, plus petit que, inclu dans, appartiens à etc...)

un modèle de ZF c'est un 'ensemble' munie d'une 'relation binaire' "appartiens" qui vérifie tous les axiomes de ZF.


dire qu'une proposition est indécidable dans ZF ca veut dire qu'il existe un modèle de ZF dans lequel elle est vrai, et un autre dans lequel elle est fausse.
ceci est équivalent (c'est un théorème due a Godel) au fait de dire qu'il est impossible de donner une démonstration de cette proposition en utilisant unique les axiomes de ZF et les règles logique.

par exemple si on travaille dans ZF privé de l'axiome de l'infinie (qui assure qu'il existe au moins un ensemble infinie)
alors 'l'ensemble' de tous les ensemble fini qu'on peut ecrire avec les symboles {, } et "ensemble vide" forme un modèle de ZF (pour la notion naturelle d'appartenance) dans lequel aucun ensemble est element de lui même.
mais d'un autre coté, je peut aussi prendre (en gros, c'est un poil plus compliqué) 'l'ensemble' des ensembles fini qui s'écrive en utilisant {,},"ensemble vide" et A.
ou la relation d'appartenance est définit naturellement mais en vérifiant "x appartiens à A si et seulement si x=A".

[orpheu48]

Merci Mediat et Ksilver,
Je vais continuer de m'instruire.
Vous pouvez cependant m'aider encore un peu:
Il me semble que, dans le débat auquel je fais allusion, le matheux a donné (trop brièvement pour que j'aie le temps de le prendre en note) un exemple d'ensemble se contenant lui-même) dans la théorie des nombres, faisant allusion à la construction des entiers positifs à partir de l'ensemble vide (donc de cardinal zéro) puis {0}, de cardinal 1 pour construire 1 ... {0,1,2,3} construisant 4 ... ce qui permet donc d'écrire que
3 appartient à 4 ,
mais il n'y a pas là d'ensemble s'appartenant à lui même, et je dois donc me tromper dans mon souvenir. Y a-t-il quelque chose ressemblant "visuellement" (càd pas pour autant mathématiquement) plus ou moins à ça comme exemple possible dans l'ensemble des entiers?
Je cherche vainement depuis pas mal de temps un tel exemple, mon souvenir s'approche aussi de {1,2,3,4} représentant 4, ce qui permettrait que 4 appartienne à 4, càd {1,2,3,4} appartient à {1,2,3,4}, mais je n'ai trouvé aucune façon de construire ainsi les entiers, et ça me semble ne pas tenir debout, car il faudrait disposer préalablement de 4 pour construire 4. Ou alors tout ensemble de cardinal 4 , comme par exemple {2,3,4,5} qui contient bien 4, peut représenter 4 ? donc "être" 4, ce qui me semble dangereusement jouer avec le sens...
Mon souvenir augmenté de mon ignorance doit sans doute m'amener à déc*nner un tantinet, mathématiquement parlant, mais si ce qui précède évoque quelque chose à quelqu'un dans le cadre de la théorie des nombres et des diverses manières de construire l'ensemble des entiers positifs, et ce toujours à propos de ma question sur les ensembles s'appartenant à eux-mêmes, ce sera bienvenu.
Merci en tout cas pour vos premières réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Comme je te l'ai dit, il est impossible de donné un exemple explicite d'ensemble ce contenant lui même car leur existence est indécidable. donc ca ne sert à rien de te fatiguer à en chercher un : on a prouvé que c'était impossible d'en exhiber hein. tous ce que tu peux vérifier c'est que rien n'est contradictoire dans le fait de supposer qu'ils existent.

[invitebe0cd90e]

Pour completer ce que dit Ksilver : la theorie des ensembles est une theorie logique, au sens mathematique du terme.

Et donc, meme si evidemment le but final est de retrouver une construction qui "colle" a notre intuition, et qui justifie l'emploie de mots comme "ensemble" ou "appartient a", si on fait de la logique, tout ce qu'on manipule c'est des symboles, et ce en respectant des regles (les axiomes).

La bonne question ca n'est donc pas "est ce qu'il existe un ensemble, une collection d'elements, qui se contient lui meme" (vision intuitive) mais "la proposition est elle en contradiction avec les axiomes definissant la theorie qui m'interresse".

Comme le disent mes 2 estimés collegues, tant qu'on ne met pas l'axiome de fondation, cette proposition n'amene pas de contradiction dans la theorie usuelle des ensembles.

On peut se demander pourquoi on autoriserait de tels montres a "exister". Mais c'est justement l'un des buts de la logique, en quelque sorte, de se poser ce genre de question : "a t on rellement besoin de refuser qu'un ensemble puisse se contenir lui meme pour que les maths "qu'uon connait" "fonctionnent"", un des buts de la logique c'est justement de chercher un peu les limites et les presupposés des mathématiques que les mathematiciens pratiquent au quotidient sans generalement se poser ce genre de questions

Donc je ne pense pas qu'il faille voir ZF comme un fondemant des mathematiques (au sens ou elles existaient avant ca, et elles existeront encore si ZF se casse la g...), mais au contraire comme un outil qui permet d'etudier les mathematiques, de les prendre comme objet (d'ou le terme parfois employé de "meta-mathematiques").

[Médiat]

Je ne sais pas trop à qu'elle axiome de Von Neuman tu fais référence

Cela m'a troublé aussi, mais je crois que je viens de comprendre : il doit s'agir de "l'univers de Von Neumann" (noté V généralement), qui est, dans un modèle, la classe construite à partir de l'ensemble vide et en itérant l'axiome des parties (pour chaque ordinal). Cette construction permet d'obtenir tous et uniquement les ensembles bien fondés.

avec ZF, V est la classe des ensembles biens fondés,
avec ZF + AF, V est la classe de tous les ensembles.

[invite4ef352d8]

AF = axiome de l'infini ?

[invitebe0cd90e]

AF = axiome de l'infini ?

Plutot l'axiome de fondation Si tu l'acceptes, en quelque sorte tu autorises "moins" d'ensembles a exister, et donc l'univers est V. Si tu le rejettes, V est strictement contenue dans la classe de tous les ensembles.

[invite4ef352d8]

Ah oui, j'avais la tête ailleur là ^^

[orpheu48]

Merci à tous,
il me reste à replonger plus en détail dans votre univers passionnant (celui des maths). Toutes vos interventions ont été très éclairantes.
Merci surtout d'avoir répondu au non-mathématicien que je suis (un vieux bac Math-Elem de 1965) sans me renvoyer sèchement à mes "chères études". Contre l'opinion générale, j'ai toujours pensé que les mathématiciens étaient sympas et accessibles (même si leur matière est réputée difficile) et ça se trouve confirmé.
Si ce n'est abuser, une bibliographie de base me serait utile. Il y a bien wikipedia, mais c'est plus ou moins accessible selon les pages (souvent très bien fait quand même, et quelques efforts du lecteur sont formateurs pour lui), on y accède dans le désordre, et les livres indiqués ne le sont pas dans une perspective de reprise à zéro de la question des ensembles et de la théorie des nombres.
Merci, et bons enseignements et recherches.

[Médiat]

Si ce n'est abuser, une bibliographie de base me serait utile.

Une recherche sur le net ("Théorie des ensembles", type de fichier = PDF) donne plein de résultats, vous pourrez choisir celui qui vous convient le mieux.

En format papier, il y a le Krivine (Edition Cassini).

[invitebe0cd90e]

Contre l'opinion générale, j'ai toujours pensé que les mathématiciens étaient sympas et accessibles (même si leur matière est réputée difficile) et ça se trouve confirmé.

Ce qui se trouve surtout confirmé.... c'est que les matheux adorent parler de maths J'ai tendance a penser que quand on voit a quel point les objets qu'on manipule sont parfois tordu, et a quel point la plupart des matheux ont une approche "ludique" de ce qu'ils font, on peut difficilement se prendre au serieux. Sans faire de generalité j'ai quand meme constaté que la proportion des gens qui ne sont pas pedant pour un sou, et doté d'une bonne dose d'auto derision, etait probablement plus elevée que dans pas mal d'autre domaines (comment ca je fais de la pub ?)

Plus serieusement, tu peux jeter un oeil aux ecrits de Dehornoy, specialiste de la theorie des ensembles (meme s'il s'est plutot tourné vers la theorie des tresses), et grand pedagogue a mon gout (j'ai eu la chance de l'avoir comme prof en M2). C'est notamment lui qui a ecrit le chapitre "theorie des ensembles" de l'encyclopedia universalis : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dhm.pdf

Sur sa page perso tu trouveras aussi les notes de son cours de logique. Etant donné que c'est une discipline un peu a part ca ne necessite pas forcement de grosses bases mathematiques : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html (vers le milieu de la page)

[leg]

en ayant lu vos réponses.
il y en a une (qui me trotte dans la tête)comment peut on définir que si un ensemble est indécidable dans ZF, cela veut dire qu'il peut être vrai dans un et faux dans l'autre , je pensai que si il est indécidable , il n'est ni vrai ni faux mais est ce que cela veut dire pour autant: qu'il peut être vrai dans un et faux dans l'autre.
si on ne peut le démontrer, on ne peut pas en tirer une conclusion. point... Non?
ou est la finesse....?

[invitebe0cd90e]

Dans la foulée, toujours chez dehornoy, ce texte issu d'une conf grand public (et donc tres lisible) sur les travaux de Cantor, le "grand pere" de la theorie des ensembles.

En particulier, il enfonce le clou (p. 12) sur l'erreur courante que je soulevais dans mon precedent message : la theorie des ensembles n'est pas, et n'a pas vocation a etre une "refondation" des maths, et c'est une erreur de penser que les mathematiciens travaillent dans ce cadre. Il est en fait contre intuitif meme pour les matheux de penser que "tout est ensemble", et comme les autres ils preferent se referer a leur bonne vieille intuition de ce qu'est le nombre 2, plutot que d'y penser comme etant l'ensemble . la logique et la theorie des ensembles etudient les maths comme objet et ameliorent notre comprehension de ce que sont les maths, mais ne visent pas a la "remplacer", ils explicitent seulement ce que les matheux font intutivement.

http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dhv.pdf

Bonne lecture !

[Médiat]

en ayant lu vos réponses.
il y en a une (qui me trotte dans la tête)comment peut on définir que si un ensemble est indécidable dans ZF, cela veut dire qu'il peut être vrai dans un et faux dans l'autre , je pensai que si il est indécidable , il n'est ni vrai ni faux mais est ce que cela veut dire pour autant: qu'il peut être vrai dans un et faux dans l'autre.
si on ne peut le démontrer, on ne peut pas en tirer une conclusion. point... Non?
ou est la finesse....?

Un ensemble n'est ni vrai ni faux ni indécidable, ces adjectifs s'appliquent à des propositions (comme : il existe un ensemble tel que ...)
En tout état de cause indécidable n'a de sens que dans la théorie ; par contre dans un modèle cette proposition est soit vraie soit fausse, et indécidable dans la théorie veut très exactement dire qu'il y a des modèles où elle est vraie et d'autres où elle est fausse.

Je confirme la bonne opinion de jobherzt sur les textes de Dehornoy.

[leg]

par contre dans un modèle cette proposition est soit vraie soit fausse, et indécidable dans la théorie veut très exactement dire qu'il y a des modèles où elle est vraie et d'autres où elle est fausse.

.

Bonsoir Médiat ok pour les ensembles, c'est effectivement au sujet qu'une proposition est soit vraie, soit fausse en fonction des modèles.

dés l'instant ou on a démontré qu'une proposition est indécidable, est du fait qu'il y a des modèle ou elle est vraie, on est d'accord que l'on ne connait pas non plus les modèles ou elle est vraie pas plus que l'on connait les modèle ou elle est fausse ..

sinon je suppose que je pourrai dire ok dans le modèle A elle est fausse peut importe, elle est vraie dans B, donc pour moi elle est vraie et peu importe le modèle. et tu me répondrais, à juste raison non car elle est indécidable et tu ne peux dire ça

alors pourquoi utiliser "ce langage" elle est vraie dans certain modèle et non pas elle peut être vraie dans certain modèle et fausse dans d'autre...comme ça, cela enlève toutes "ambigüité".... ce qui correspondrait mieux à son indécidabilité..non..

[invitebfd92313]

Bonjour,

Un ensemble n'est ni vrai ni faux ni indécidable, ces adjectifs s'appliquent à des propositions (comme : il existe un ensemble tel que ...)

Je pensais avoir compris cela, mais il s'avère que dans le dernier article de dehornoy indiqué par jobherzt à la page 5 il est écrit a propos de l'argument diagonal de cantor :
"On sait que cet argument a eu une descendance extraordinaire, puisqu'il est l'ingrédient technique de base dans plusieurs des grands résulats de la logique du 20ème siècle, notamment le paradoxe de russel, les théorèmes d'incomplétude de Gödel, la construction d'ensembles indécidables par Turing, et les théorèmes de hiérarchie en théorie de la complexité"

cela me paraît contradictoire, est-il possible d'éclaircir ce point ?

[Médiat]

dés l'instant ou on a démontré qu'une proposition est indécidable, est du fait qu'il y a des modèle ou elle est vraie, on est d'accord que l'on ne connait pas non plus les modèles ou elle est vraie pas plus que l'on connait les modèle ou elle est fausse ..

Ce n'est pas exact, par exemple la commutativité est indécidable dans la théorie des groupes, et pourtant on sait très bien reconnaître les modèles commutatifs et le non commutatifs.

sinon je suppose que je pourrai dire ok dans le modèle A elle est fausse peut importe, elle est vraie dans B,

Oui, et cela ne pose pas de problème.

donc pour moi elle est vraie et peu importe le modèle. et tu me répondrais, à juste raison non car elle est indécidable et tu ne peux dire ça

Si elle est fausse dans certain modèles on ne peut pas dire "elle est vraie et peu importe le modèle".

alors pourquoi utiliser "ce langage" elle est vraie dans certain modèle et non pas elle peut être vraie dans certain modèle et fausse dans d'autre...comme ça, cela enlève toutes "ambigüité".... ce qui correspondrait mieux à son indécidabilité..non..

Parce que dans un modèle elle est vraie ou elle est fausse, il n'y a pas d'indécidable dans les modèles.

[Médiat]

Bonjour,

"On sait que cet argument a eu une descendance extraordinaire, puisqu'il est l'ingrédient technique de base dans plusieurs des grands résulats de la logique du 20ème siècle, notamment le paradoxe de russel, les théorèmes d'incomplétude de Gödel, la construction d'ensembles indécidables par Turing, et les théorèmes de hiérarchie en théorie de la complexité"

cela me paraît contradictoire, est-il possible d'éclaircir ce point ?

Le problème vient de la polysémie du mot "décidable" en logique et qui n'a pas le même sens suivant les contextes, en fait dans l'expression "ensemble décidable" on entend : ensemble pour lequel il existe un algorithme (un programme pour une machine de Turing) qui permet de dire pour chaque élément s'il appartient ou non à cet ensemble, cela n'a donc rien à voir avec "indécidable" pour une proposition d'une théorie. Dans le contexte de ce fil, leg parlait d'ensembles qui pouvaient être "vrai", "faux" ou "indécidable", j'ai donc pris, pour ce dernier, le sens attaché aux propositions comme vrai et faux, à savoir :
p est indécidable dans T si {T et p} est consistant et {T et non p} est aussi consistant, ce qui, joint avec le théorème de complétude de Gödel, assure l'existence de modèles de T ou p est vraie et d'autres où elle est fausse.

[invitebfd92313]

Merci beaucoup pour cette précision ! ne connaissant pas le sens de décidable comme on l'entend dans "ensemble décidable", j'avais en lisant l'article cru qu'il s'agissait d'indécidable dans un sens lié à la notion de proposition indécidable. Mais maintenant tout est clair ^^
Je tiens d'ailleurs à en profiter pour vous féliciter plus généralement pour vos remarques sur le forum qui sont toujours très intéressantes et très pédagogiques, et que je ne manque jamais d'apprécier

[leg]

bonjour
merci Médiat pour ces précisions, et cela m'enlève cette "ambigüité" .

[orpheu48]

boujour,
je reviens à la charge avec un problème de sémantique.
Lorsqu'au collège on résout un problème en posant et résolvant une équation du 1er degré à une inconnue, càd au plus petit niveau de scolarité d'usage de quelques règles (axiomes, théorèmes démontrés, ou règles données comme valides par le professeur bien que n'ayant pas été démontrées dans le cours), on fait de la sémantique dans un premier temps en appelant X par exemple la valeur numérique que l'on cherche, et on dispose les données de part et d'autre de signes opératoires et du signe "égal". Dans un temps 2, on traite l'écriture en écrivant des lignes successives selon des transformations licites d'une ligne à l'autre. La dernière ligne sera par exemple X=12, hourrah on a trouvé! Sauf qu'il reste un troisième temps: on revient à de la sémantique en se souvenant que X représente l'âge du capintaine en années, ou lla masse de la brique en Kg. Bref, sémantique avant le traitement algébrique et après, absence de sémantique pendant le traitement. S'il s'agit d'un problème de physique un peu complexce, il vaut mieux oublier complètement l'aspect sémantique aussitôt posés l'équation ou le système déquations: si on ne se donnait pas ce loisir on ne pourrait pas traiter les équations sans se prendre les pieds dans le tapis de l'intuition. Mais la sémantique reste nécessaire pour poser les écritures mathématiques, et plus tard pour dire un résultat "sensé".

Pour en revenir à la possibilité d'un ensemble s"appartenant à lui-même, notamment dans le cas d'un singleton, si A s'appartient à lui-même comme unique élément, on peut alors écrire A={A}.
Et cela n'empêche pas de faire des formulations avec des expressions bien formées et des formules valides et des dérivations licites.

Mais, si A = {A}, alors on peut remplacer l'un par l'autre où que ce soit dans une dérivation, et sémantiquement cela semble signifier que l'on parle de la même chose que l'on parle de A ou que l'on parle de {A}. Or on ne parle pas de la même chose, pas du même objet selon que l'on parle de l'objet A s'il s'agit d'une lettre en tant qu'on va la lire, ou du courrier {A} qui est géré par la tournée du facteur, et dont elle constitue le seul élément.

Alors il me semble effectivement de toute première importance de préciser que les ensembles en tant qu'entités mathématiques ne sont pas à confondre avec des collections de trucs et de machins concrets.. sauf qu'on parle d' "objets" pour désigner les trucs et machins non-concrets des mathématiques.

Où se trouve donc l'articulation entre les objets mathématiques et les objets du reste du monde, cette articulation me semblant tantôt de l'ordre de la jointure, au sens où les deux conceptions de l'objet auraient conceptuellement quelque chose en commun, tantôt de l'ordre d'une différence radicale de "nature", càd coupure radicale, au sens de rien de commun entre l'objet mathématique et l'objet du monde commun.

Autrement dit, de quelle manière 'savoir de quoi on parle' préoccupe-t-il le mathématicien? Ce doit être en effet une certaine ascèse de se passer de signification pendant de longs développements... qui amènent parfois, crois-je savoir, à des résultats surprenants quand on revient à la sémantique, soit étonnants parce qu'imprévus mais finalement tout à fait acceptables pour le 'sens commun' ou confirmés par l'expérience lorsqu'appliqués à des problèmes concrets, soit inacceptables voire aberrants pour ledit 'sens commun'.

En bref, peut-il être acceptable de dire que l'on parle de la même chose lorsqu'on, écrit A et lorsqu'on écrit {A}? ou alors, que l'un puisse remplacer l'autre ne signifie peut-être pas qu'ils désignent la même entité, mais que ces deux entités, même distinctes, ont avec les autres objets mathématiques de ce moment là de l'étude ou de la démonstration (dérivation) les mêmes rapports logiques. Mais dans ce cas, n'ont-ils pas le même sens, càd la même extension et du coup possiblement la même compréhension?

Je tourne un peu en rond, là ...?... Que faut-il oublier pour faire des mathématiques?

Salut bien.

[invitebe0cd90e]

Ton texte est long, je ne sais pas si je reponds a coté, mais je pense que ca fait echo a ce que je disais.

La possibilité qu'un ensemble puisse se contenir lui meme, c'est de la logique. Ca n'a pas vocation a representer le monde, mais c'est interressant de savoir que ca n'est pas contradictoire avec la plupart des choses qui forment notre representation des mathematiques.

La theorie des ensembles, c'est une maniere de "coder", de maniere parfois artificielle l'ensemble des mathematiques, pour pouvoir les etudier d'un point de vue logique.

Ensuite, evidemment, pour que tout ca aie un interet, en arriere plan, on veut que cette theorie purement logique inclue notre conception intuitive de ce qu'est un ensemble.

Donc reponse lapidaire : accepter des ensembles qui se contiennent eux meme, c'est simplement accepter une classe d'ensemble plus large que celle que nous dicte notre intuition. En revanche, un tel ensemble n'est pas une bonne formalisation mathematique d'une envleoppe contenant une lettre. Et en fait, il y a de grande chance qu'un ensemble se contenant lui meme ne soit pas une bonne formalisation mathematique de quoi que ce soit.

[Médiat]

Or on ne parle pas de la même chose, pas du même objet selon que l'on parle de l'objet A s'il s'agit d'une lettre en tant qu'on va la lire, ou du courrier {A} qui est géré par la tournée du facteur, et dont elle constitue le seul élément.

Cela ne fait que prouver qu'une lettre n'est pas égale au singleton d'elle-même.

Autrement dit, de quelle manière 'savoir de quoi on parle' préoccupe-t-il le mathématicien?

Comme le disait mon idole Bertrand Russell : "Les mathématiques, c'est cette science où l'on ne sait pas de quoi on parle, ni si que l'on dit est vrai ou non". Personnellement, savoir de quoi je parle ne m'a jamais préoccupé.

Ce doit être en effet une certaine ascèse de se passer de signification pendant de longs développements... qui amènent parfois, crois-je savoir, à des résultats surprenants quand on revient à la sémantique, soit étonnants parce qu'imprévus mais finalement tout à fait acceptables pour le 'sens commun' ou confirmés par l'expérience lorsqu'appliqués à des problèmes concrets, soit inacceptables voire aberrants pour ledit 'sens commun'.

Exemple : paradoxe de Banach-Tarski

En bref, peut-il être acceptable de dire que l'on parle de la même chose lorsqu'on, écrit A et lorsqu'on écrit {A}?

Pourquoi pas, si c'est le cas (A = {A})?

Que faut-il oublier pour faire des mathématiques?

Le bon sens, le sens commun, le confort intellectuel, l'intuition (qui peut être la meilleure et la pire des choses) ... et tout le reste .

[invite986312212]

A={A}={{A}}={{{A}}}=... vu comme ça ça n'inspire pas confiance...

[Médiat]

A={A}={{A}}={{{A}}}=... vu comme ça ça n'inspire pas confiance...

Et pourtant n'importe quel graphe avec une boucle (pas un cycle, une boucle), permet de représenter cela

[invite00970985]

Bonjour,

Avant ce sujet, je pensais que de tels ensembles (se contenant eux meme) ne pouvaient pas exister, avec à l'appui l'argument suivant :
Soit A l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-même.
Si A est dans A, alors par définition, A ne se contient pas lui même et A n'est pas dans A, ce qui contredit l'hypothèse.

Si A n'est pas dans A, alors il ne se contient pas lui même et donc A est dans A, contradiction également.

Donc A n'est ni dans A ni dans son complémentaire.

Quel est le problème de raisonnement ? Cela veut-il dire que c'est A qui n'existe pas ?

[invitebe0cd90e]

Il faut se mefier avec la notion d'exister, mais en gros oui, ce que ca prouve c'est que A n'existe pas, ou plutot que sa definition contient une contradiction, exactement comme quand tu ecris : "cette phrase est fausse" ou que quelqu'un te dit "je ne dis jamais la vérité".

Note que dire "A n'existe pas", ca sous entend qu'un tel ensemble n'existe pas, mais si tu decides que A est autre chose qu'un ensemble (une classe, un schtroumpf, peu importe el nom ) alors plus de problemes.

[invite00970985]

Merci pour ta réponse !