ensemble se contenant lui-même?

[orpheu48]

Toujours de ma position de non-spécialiste:
ce qu'évoque Sebsheep ne serait-il pas le paradoxe de Russel?
Ce que je trouve extraordinaire dans la démonstration de ce paradoxe, qui dit en quelque sorte qu'un ensemble n'existe pas, alors même que sa "compréhension", càd la propriété de ses éléments, censée le définir, semble parfaitement admissible intellectuellement, c'est quelque chose d'assez stimulant et énigmatique pour l'esprit:
Les ensembles qui seraient ses éléments existent, par exemple des livres ne se citant pas eux-mêmes, et néanmoins leur ensemble, celui qui serait censé les contenir comme éléments, n'existe pas.
Pour ma part j'ai eu du mal à "encaisser" ça, du fait que ma première approche, en classe de cinquième du lycée en 1960, m'avait été enseignée en illustrant le concept d'ensemble par la notion de collection d'objets du quotidien.
Or, certes, il est tout à fait concevable, même pour un esprit non averti, que le catalogue des catalogues ne se citant pas eux-mêmes ne peut être constitué, puisque 's'il se cite c'est qu'il ne se cite pas, et que s'il ne se cite pas alors il devrait se citer'.
Mais "dans l'abstrait", on peut se dire dans un premier temps qu'il y aurait toujours moyen de le considérer.
J'ai lu la démo de sa non-existence dans "Introduction à la théorie des ensembles" de Paul Halmos, Jacques Gabey éditeur, dès le chapitre 2, celui sur l'axiome de choix. (démo parfaitement compréhensible pour le débutant adulte). Il en conclut ceci:
***Je cite:
... nous avons démontré que rien ne contient tout, ou, dans un langage plus frappant, il n'y a pas d'univers .
"Univers" est pris ici dans le sens de "univers du discours", signifiant, dans toute discussion particulière, un ensemble qui contiendrait tous les objets qui entrent dans cette discussion.
Dans les approches anciennes (préaxiomatiques) de la théorie des ensembles, l'existence d'un univers était considérée comme allant de soi, et la démonstration précédente était connue comme le paradoxe de Russel.
La morale de cette histoire est qu'il est impossible, particulièrement en mathématiques, d'avoir rien pour rien. Pour spécifier un ensemble, il ne suffit pas de prononcer quelques mots magiques (qui peuvent former un énoncet tel que x n'appartient pas à x. Il est nécesaire d'avoir sous la main un ensemble aux éléments duquel s'appliquent les mots magiques.
Fin de citation ***.
J'ai trouvé ce commentaire assez savoureux. Mais ce qui me semble le plus "difficile à encaisser", bien qu'en en ayant compris et logiquement accepté la démonstration, c'est que, comme il existe des livres ne se citant pas eux-mêmes, on peut définir sans contradiction (ou alors je me trompe) des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes comme éléments, mais que néanmoins leur ensemble n'existe pas (je préfèrerais "n'est pas défini", mais là aussi je me trompe peut-être en croyant que 'n'existe pas' est la même chose que 'n'est pas défini'). En résumé, l'ensemble d'objets qui existe n'existe pas lui-même!
Je ne sais pas si cela intéresse quelqu'un chez les mathématiciens aguerris, mais pour moi l'articulation de la mathématique à la 'bonne logique paysanne' est remarquable notamment, comme dans le présent exemple, lorsque cette articulation est en fait une rupture entre le langage de l'une et de l'autre. Georges Bernard-Shaw, je crois, parlait des Anglais et des Américains comme "deux peuples séparés par une même langue". Pure analogie dans le présent contexte -mais c'était juste pour le fun.
Merci à tous pour ce que vous avez apporté dans cette discussion, et qui m'aura fait faire, je l'espère, quelques progrès depuis que j'ai ouvert cette discussion.
Salut bien à tous, et bien sûr vos remarques restent bienvenues pour moi .
P.S.: Question: Par contre s'il n'existe pas d'ensemble
B = {x appartient à A: x n'appartient pas à x },
il peut bien exister, je crois, un ensemble
B = {x appartient à A: (x n'appartient pas à x ET B différent de x)}
càd en exceptant B (comme ensemble des ensembles autres que lui-même ne se contenant pas eux-mêmes) de la propriété caractéristique. (ou je me trompe...?)
(... ceci indépendamment de l'intérêt que présenterait ou ne présenterait pas un tel ensemble...)
Cela apparemment se joue à un 'mot' près, l'ensemble B n'existant pas s'il est celui qui contiendrait tous les ensembles vérifiant la propriété, et pouvant exister s'il est défini comme les contenant sauf lui-même.
-----

[Médiat]

Bonjour,

La difficulté vient bien de la définition plus ou moins intuitive que l'on a du mot exister ; considérer que tout ce que l'on définit dans le langage courant est une ensemble est une grosse (mais commune) erreur. Exister ici veut bien dire "est un ensemble".

on peut définir sans contradiction (ou alors je me trompe) des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes comme éléments, mais que néanmoins leur ensemble n'existe pas (je préfèrerais "n'est pas défini", mais là aussi je me trompe peut-être en croyant que 'n'existe pas' est la même chose que 'n'est pas défini').

"N'existe pas" est bien plus précis que "n'est pas défini", car c'est bien de cela qu'il s'agit (il n'y a pas "d'objet" qui contiennent exactement les éléments ainsi définis)..

Il faut "voir" que tout les ensembles d'un modèle de la théorie des ensembles sont des "éléments d'une grosse collection" (comme des "points sur une (grosse) feuille de papier"), les axiomes de ZF permettent d'affirmer que si je choisis deux de ces éléments quels qu'ils soient, alors il existe un autre élément qui "contient" exactement ces deux là (axiome de la paire) etc. mais rien ne garantit que si je trace un trait sur ma feuille de papier il va forcément exister un élément qui contiennent exactement ceux qui sont en dessous de cette ligne.

Par contre s'il n'existe pas d'ensemble B = {x appartient à A: x n'appartient pas à x }

Si dans la phrase ci-dessus A est bien un ensemble, alors B existe, c'est l'axiome de séparation.



Pour bien comprendre la théorie des ensembles, il faut commencer par désapprendre tout ce que le mot ensemble veut dire dans le langage courant.

[orpheu48]

Merci Médiat. Je croyais avoir compris, mais apparemment il me manque encore des éléments (haha!) de compréhension.

Voici la démo de Paul Halmos pour le statut de B.
(ne sachant pas comment utiliser les caractères spéciaux j'utilise "appartient" ou "appartenant" pour l'epsilon et "n'appartient pas" pour l'epsilon nié.)

***Début de citation
Quel que soit l'ensemble A,
si B={x appartenant à A: x n'appartient pas à x},
alors, pour tout y,
(*) y appartient à B si et seulement si (y appartient à A et y n'appartient pas à y).
Peut-il se faire que B appartienne à A?
Nous allons montrer que non. En effet,
si B appartient à A, alors,
soit B appartient à B, soit B n'appartient pas à B.
Si B appartient à B,
alors,
d'après (*), l'hypothèse B appartient à A entraine B n'appartient pas à B, d'où contradiction.
Si B n'appartient pas à B, alors, de nouveau d'après (*), l'hypothèse B appartient à A entraine B appartient à B, d'où nouvelle contradiction.
Ceci prouve que
B appartient à A est impossible, de sorte que nous devons avoir B n'appartient pas à A.
Le point le plus important de cette conclusion est qu'il existe quelque chose (à savoir B) qui n'appartient pas à A. Dans ce raisonnement, A était parfaitement arbitraire. En d'autres termes nous avons démontré que rien ne contient tout, ou, dans un langage plus frappant, il n'y a pas d'univers.
Fin de citation***
(la suite figure dans mon message précédent).
Alors, moins philosophiquement, peut-on dire que B ainsi défini n'existe pas, ou seulement qu'il n'existe pas comme élément de A? Mais alors, A étant arbitraire, il n'existe pas quelque soit le A dont il serait un élément, c'est-à-dire qu'il n'existe nulle part, c'est-à-dire pas du tout...
Où est le 'hic' là dedans?
En d'autres termes, dire que quelque soit A, il n'y a aucun B que A contienne comme élément, est-ce ou n'est-ce pas équivalent à la non-existence de B?
Encore autrement dit, ce qui a été démontré, est-ce qu'il n'existe pas de A contenant B ainsi défini, ou qu'il n'existe pas de B ainsi défini?

[Médiat]

Bonsoir,

La démonstration de Halmos montre que B ne peut pas appartenir à A, alors que vous disiez que B n'existe pas, ce n'est pas la même chose, d'autant plus que ceci est utilisé pour montrer que A ne contient pas tous les ensembles, il serait inutile, dans ce but, de démontrer que A ne contient pas un truc qui ne serait pas un ensemble.

il n'y a pas d'univers

Je me méfie comme de la peste de ce genre d'affirmation, si on l'entend hors les mathématiques, c'est assez crétin, mais si on l'entend dans les mathématiques, c'est pas mieux, puisque "Univers" est le nom généralement donné à la collection des ensembles (qui n'est donc pas un ensemble).

Alors, moins philosophiquement, peut-on dire que B ainsi défini n'existe pas, ou seulement qu'il n'existe pas comme élément de A?

Qu'il n'est pas un élément de A

Mais alors, A étant arbitraire, il n'existe pas quelque soit le A dont il serait un élément, c'est-à-dire qu'il n'existe nulle part, c'est-à-dire pas du tout...
Où est le 'hic' là dedans?

Vous raisonnez comme si B était parfaitement défini sans A, or c'est là toute la magie de l'axiome de séparation, la définition de B exige A, et à chaque A correspond un B.

En d'autres termes, dire que quelque soit A, il n'y a aucun B que A contienne comme élément, est-ce ou n'est-ce pas équivalent à la non-existence de B?

Ce n'est pas équivalent à la non-existence de B

Encore autrement dit, ce qui a été démontré, est-ce qu'il n'existe pas de A contenant B ainsi défini, ou qu'il n'existe pas de B ainsi défini?

Qu'il n'existe pas de A contenant B ainsi défini.

Par exemple si , il est clair que , et il est facile de vérifier que c'est dire que

[orpheu48]

Merci Médiat de votre patience.

La démonstration en question prouve que, des ensembles éléments de A étant définis comme chacun ne s'appartenant pas à lui-même, leur ensemble B (ou quelle que soit la lettre par laquelle on le nomme) n'est pas élément de A.

Est-ce que c'est tout?

Mais ceci est vrai de tout A pour lequel on définirait des éléments qui seraient des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes comme éléments. Ensemble A auquel l'ensemble B de ces ensembles n'appartient pas comme élément.

Y a-t-il dès lors "quelque part" un ensemble B ainsi défini relativement à A et à ses éléments?

En prenant l'analogie (peut-être abusive) du barbier du village qui rase les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, Il n'y a pas un tel barbier dans le village. Dès lors,
soit il est mal défini,
soit on accepte sa définition par cette propriété.
Dans ce dernier cas, n'ayant pas démontré qu'il n'existe pas, mais seulement qu'il n'est pas un habitant du village, un tel barbier ("du" village en tant que barbier) peut très bien habiter, en tant qu'habitant et non en tant que barbier, n'importe où ailleurs.

Mais si on transpose à nouveau dans le problème de nos deux ensembles A et B et des ensembles x, on peut apparemment dire que A vient en place du village, les x viennent en place des hommes, et B serait le barbier. Ceci à condition que "appartient à" soit aussi de façon univoque le correspondant d'une relation dans l'histoire du barbier. Or si on traduit cette histoire dans les termes de notre problème d'ensembles, "appartient à" représenterait tantôt "être habitant de" et tantôt "être rasé par" ou "raser". Je vois bien donc que ça ne peut pas marcher (alors que quand j'ai commencé à rédiger ce message je croyais à une correspondance terme à terme et une correspondance relation à relation entre les deux problèmes).

Ce qui me laisse aux prises avec les énigmes ci-dessous:

Si B existe du fait même de sa définition,
où B existe-t-il (s'il faut qu'il existe "quelque part" pour exister "tout court")?

Cette question "où...?" a-t-elle une correspondance possible avec un concept mathématique, par exemple "à quel ensemble appartient-il comme élément"?

Grosso modo, ce qui me préoccupe est le statut de ce B relativement à A, relativement à la relation d'appartenance.
Et "exister quelque part", càd en tel ou tel lieu, a-t-il un sens en mathématiques, par exemple si un ensemble était un lieu de quelque manière, comme on parlait "de lieu géométrique" en cours de maths dans mon lycée dans les années soixante, dans des problèmes de géométrie dans l'espace qui me passionnaient?
(Il est probable qu'en posant la question "où est-il donc?", je risque la confusion entre l'appartenance comme élément et l'inclusion comme partie ou sous-ensemble, qui sont mal distinguées dans le langage courant.)

Je crois que la relecture de l'axiome de sélection (ou de choix) m'ouvre les yeux sur une partie de mes questions et qui cause peut-être mes errements: ma lecture fautive de l'axiome de sélection. Ledit axiome est: "à tout ensemble A et toute condition S(s), il correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour lesquels S(x) est vraie". Or ma lecture fautive a consisté à voir là-dedans que B soit censé être un élément de A, ce qui n'est aucunement le cas dans cet axiome. Dont acte, il me faut donc recommencer à apprendre à lire en ne rajoutant rien de mon cru à ce qui est soit écrit comme axiome et règles de dérivation, soit dérivable dans la théorie.

Ceci me laisse néanmoins aux prises avec l'énigme du "où" et de sa pertinence ou de sa non-pertinence.
Par exemple, si on postule un ensemble de référence E quel qu'il soit, il y aurait, par rapport à cet ensemble, A d'une part, et le complémentaire A' de A d'autre part, A et A' étant non pas des éléments de E, mais des parties de E. B est-il dès lors un élément de A' ? Ou alors, même cette affirmation n'est pas prouvée -toujours dans le cadre de la démonstration dont nous parlons ici?
Par ailleurs la supposition d'un tel ensemble de référence est-elle partie intégrante de la théorie? Notamment pour définir la notion de complémént(aire)?

Merci pour votre pédagogie si attentive... mais nécessaire. Je crois que c'est ce qui permet à un débutant, fût-il comme moi vieux bachelier d'un bac dit "scientifique" (dit "Maths élem(entaires) en 1965), de réaborder axiomatique et logique avec la rigueur nécessaire.

[Médiat]

Merci Médiat de votre patience.

Pas de problème, c'est un sujet que j'aime, méconnu et souvent mal connu quand il est connu. Cela me fait plaisir de lui faire un peu de publicité.

La démonstration en question prouve que, des ensembles éléments de A étant définis comme chacun ne s'appartenant pas à lui-même, leur ensemble B (ou quelle que soit la lettre par laquelle on le nomme) n'est pas élément de A.

Exact.

Est-ce que c'est tout?

Oui.

Mais ceci est vrai de tout A pour lequel on définirait des éléments qui seraient des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes comme éléments. Ensemble A auquel l'ensemble B de ces ensembles n'appartient pas comme élément.

Y a-t-il dès lors "quelque part" un ensemble B ainsi défini relativement à A et à ses éléments?

Oui, c'est l'axiome de séparation qui permet d'être absolument affirmatif.

Mais si on transpose à nouveau dans le problème de nos deux ensembles A et B et des ensembles x, on peut apparemment dire que A vient en place du village, les x viennent en place des hommes, et B serait le barbier. Ceci à condition que "appartient à" soit aussi de façon univoque le correspondant d'une relation dans l'histoire du barbier. Or si on traduit cette histoire dans les termes de notre problème d'ensembles, "appartient à" représenterait tantôt "être habitant de" et tantôt "être rasé par" ou "raser". Je vois bien donc que ça ne peut pas marcher (alors que quand j'ai commencé à rédiger ce message je croyais à une correspondance terme à terme et une correspondance relation à relation entre les deux problèmes).

Difficile de faire une analogie de ce type, puisque en théorie des ensembles, un ensemble d'éléments est un élément qui peut (ou non) appartenir à tel ou tel ensemble, alors que clairement un ensemble de personne physique n'est pas une personne physique.

Si B existe du fait même de sa définition,
où B existe-t-il (s'il faut qu'il existe "quelque part" pour exister "tout court")?

Dès que l'on parle d'un ensemble qui "existe", c'est que l'on parle d'un modèle de la théorie, cela veut donc dire que B est un élément de ce modèle.

Cette question "où...?" a-t-elle une correspondance possible avec un concept mathématique, par exemple "à quel ensemble appartient-il comme élément"?

A une infinité d'ensembles, comme {B}, {B, {B}} ou encore {B, {B}, {B, {B}}}, etc ... (si vous ne voyez pas où je veux en venir, je suis en train de construire une classe (qui est peut-être un ensemble, mais peut-être pas) qui est isomorphe aux entiers naturels (si B != {B}).

Grosso modo, ce qui me préoccupe est le statut de ce B relativement à A, relativement à la relation d'appartenance.

Je ne sais pas si cela va vous servir un peu, mais
Halmos démontre que , alors que parfois vous semblez le comprendre

Et "exister quelque part", càd en tel ou tel lieu, a-t-il un sens en mathématiques, par exemple si un ensemble était un lieu de quelque manière, comme on parlait "de lieu géométrique" en cours de maths dans mon lycée dans les années soixante, dans des problèmes de géométrie dans l'espace qui me passionnaient?
(Il est probable qu'en posant la question "où est-il donc?", je risque la confusion entre l'appartenance comme élément et l'inclusion comme partie ou sous-ensemble, qui sont mal distinguées dans le langage courant.)

Peut-être pourriez-vous jeter un oeil sur ce post : http://forums.futura-sciences.com/ep...ensembles.html. J'y aborde justement le sujet du "exister quelque part" dans le cadre des mathématiques "standard" vs dans le cadre de la théorie des ensembles.

Je crois que la relecture de l'axiome de sélection (ou de choix) m'ouvre les yeux sur une partie de mes questions et qui cause peut-être mes errements: ma lecture fautive de l'axiome de sélection. Ledit axiome est: "à tout ensemble A et toute condition S(s), il correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour lesquels S(x) est vraie". Or ma lecture fautive a consisté à voir là-dedans que B soit censé être un élément de A, ce qui n'est aucunement le cas dans cet axiome. Dont acte, il me faut donc recommencer à apprendre à lire en ne rajoutant rien de mon cru à ce qui est soit écrit comme axiome et règles de dérivation, soit dérivable dans la théorie.

Bonne analyse, mais ne confondez l'axiome de séparation (ou de compréhension), et l'axiome du choix.

Par exemple, si on postule un ensemble de référence E quel qu'il soit, il y aurait, par rapport à cet ensemble, A d'une part, et le complémentaire A' de A d'autre part, A et A' étant non pas des éléments de E, mais des parties de E. B est-il dès lors un élément de A' ? Ou alors, même cette affirmation n'est pas prouvée -toujours dans le cadre de la démonstration dont nous parlons ici?
Par ailleurs la supposition d'un tel ensemble de référence est-elle partie intégrante de la théorie? Notamment pour définir la notion de complémént(aire)?

Votre seule imprécision c'est que votre E est un ensemble tout à fait quelconque et pas un "ensemble de référence". Sinon pour votre question plus précise, à partir de A on peut contruire B (axiome de séparation), si vous poser E = A U {B} (qui existe : axiome de l'union (deux fois)), alors E contient tous les éléments de A plus B (mais c'est le B de A pas celui de E).

Merci ...

Mon plaisir

[leg]

Bonjour

supposons alors: que l'ensemble, des ensembles N contiennent un infinité de premiers, que les ensemble N sont de même densité.

on ne peut donc pas dire que chaque ensemble N, pris séparément, ne contient pas une infinité de premiers? sinon c'est contraire à l'affirmation ci dessus.

pourrait on dire que chaque ensemble N, pris séparément, est indécidable ?

[Médiat]

pourrait on dire que chaque ensemble N, pris séparément, est indécidable ?

Qu'appelez-vous "les ensembles N" ?
Quel rapport avec "ensemble indécidable" (cf. la définition que j'ai rappelé là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2843145 ?

[leg]

un ensemble N, qui contient une infinité d'entiers naturels, tel que tous ces ensemble N, contiennent une infinité de premiers.

chaque ensemble N est équivalent : même suite arithmétique, même nombre d'entiers N, même progression, même densité,

j'ai donc deux affirmations

A) l'ensemble de ces ensembles N contient une infinité de premiers

B) il est impossible de dire que chaque ensemble N est fini en nombre de premiers, ce qui serait contraire à A)

C) soit chaque ensemble N contient une infinité de premiers
D)soit certain sont fini en nombre de premiers et d'autre en ont une infinité

est ce que la solution est alors indécidable?

[Médiat]

un ensemble N, qui contient une infinité d'entiers naturels, tel que tous ces ensemble N, contiennent une infinité de premiers.

chaque ensemble N est équivalent : même suite arithmétique, même nombre d'entiers N, même progression, même densité,

j'ai donc deux affirmations

A) l'ensemble de ces ensembles N contient une infinité de premiers

B) il est impossible de dire que chaque ensemble N est fini en nombre de premiers, ce qui serait contraire à A)

C) soit chaque ensemble N contient une infinité de premiers
D)soit certain sont fini en nombre de premiers et d'autre en ont une infinité

est ce que la solution est alors indécidable?

Désolé, mais je ne comprends pas ce que vous voulez.

A la première ligne vous écrivez : "tous ces ensemble N, contiennent une infinité de premiers", et dans les cas C et D vous vous demandez "
C) soit chaque ensemble N contient une infinité de premiers
D)soit certain sont fini en nombre de premiers et d'autre en ont une infinité ".

Pourriez-vous exprimer la phrase : "chaque ensemble N est équivalent : même suite arithmétique, même nombre d'entiers N, même progression, même densité" en termes mathématiques ?

[leg]

1)
lorsque je dit tous ces ensembles N, cela veux bien dire l'ensemble de ces ensembles N
ou si vous préférer l'ensemble E, contient tous les ensembles N.
et l'ensemble E contient une infinité de premiers

2)exprimer en terme mathématique je vais essayer ;

je prend n'importe quel ensemble N
qui comporte une infinité d'entier naturel :

la même densité veut dire pour une limite X, le même nombre d'entier, dans chaque ensemble N.

la même progression veux dire: que je rajoute la même valeur X à chaque première différence entre les deux premiers entiers T et T₁de n'importe quel ensemble N.

tel que:

T₁ - T= d
et;
T₁ + (d+x) = T₂

T₂ + (d+2X) =T₃

T₃ + (d+3X) = T₄...etc

donc les entiers de chaque ensemble N, sont déterminés par la différence entre les deux premiers Termes de ces ensembles N
Ou même différence, mais pas les deux mêmes premiers Termes.
et X, lui est déterminé, et commun à tous les ensembles N.

voila pourquoi je dit qu'il s'agit de mêmes suites équivalentes et:

de même progression, n'est pas tout à fait exact, puisque d, la première différence ne serrait pas obligatoirement de la même valeur;

mais tous les entiers par exemple peuvent être tous de la même forme
exemple congru 2 modulo 5 , ou 3k +1 ..etc
("cela n'a en réalité, aucune importance et ne changerait rien.
aux 4 hypothèses de départ.")

[Médiat]

Si je comprends bien, vous choisissez 2 nombres premiers (comme il y a paires de nombres premier, on peut les indexer avec les éléments de , disons , avec ).

Pour tout couple de nombres entiers (i, x) où x est différent de 0, vous construisez la famille de nombres entiers (dépendant de i et de x) :

(pour la suite on pose )


...

On peut donc démontrer facilement (si je ne me suis pas planté ) que

Puis vous considérer les ensembles


Et vous vous demandez si tous ces ensembles contiennent une infinité de nombres premiers (la démonstration n'est sans doute pas simple, mais avec le théorème de Dirichlet, et surtout sa démonstration, il y a sans doute moyen d'avancer), et dans l'affirmative, si la densité de premiers est la même pour tous ces ensembles. Est-ce bien cela ?

Si oui, je ne vois abolument pas le rapport avec le sujet de ce fil qui est "ensemble se contenant lui-même" ...

[leg]

Et vous vous demandez si tous ces ensembles contiennent une infinité de nombres premiers (la démonstration n'est sans doute pas simple, mais avec le théorème de Dirichlet, et surtout sa démonstration, il y a sans doute moyen d'avancer), et dans l'affirmative, si la densité de premiers est la même pour tous ces ensembles. Est-ce bien cela ?

Si oui, je ne vois abolument pas le rapport avec le sujet de ce fil qui est "ensemble se contenant lui-même" ...

pour faire simple, on va supposer que A) est démontré.

A) l'affirmation est vrai : tous ces ensembles contiennent une infinité de premiers.
B) on ne peut donc pas dire que chaque ensemble pris séparément est fini en nombre de premiers ce qui serrait contraire à A)
on est d'accord.

on peut donc dire:
C) soit chaque ensemble ainsi constitué, contient une infinité de premier.
ou
B) certain en contiendrait une infinité et d'autre un nombre fini

est ce que dans ce cas puisque l'on ne pourrait définir si C) et ou B) est vrai, alors le problème est il indécidable ?

ce n'est pas tout à fait en rapport avec ensemble se contenant lui même, puisque je suppose et en fonction de tes explications un tel ensemble d'ensembles n'est pas forcément matèrialisable comme l'exemple que tu as donné un ensemble de personne physique: l'ensemble est un mot qui désigne quelque chose..

mais c'est en rapport avec l'indécidabilité. sauf bien entendu si C) est démontrable..du fait de la même densité et de même progression, alors: B) n'aurait aucune raison d'être ?

[leg]

en ce qui concerne les ensembles c'est bien ça, il sont effectivement bien indexé avec les éléments de N. pour chaque pair p et q et on peut même utiliser, p ou q premier pas forcément les deux.
mais cela n'a aucune importance....
et c'est bien formalisé Mathématiquement, je t'en remerci.

[Médiat]

pour faire simple, on va supposer que A) est démontré.

A) l'affirmation est vrai : tous ces ensembles contiennent une infinité de premiers.
B) on ne peut donc pas dire que chaque ensemble pris séparément est fini en nombre de premiers ce qui serrait contraire à A)
on est d'accord.

on peut donc dire:
C) soit chaque ensemble ainsi constitué, contient une infinité de premier.
ou
D) certain en contiendrait une infinité et d'autre un nombre fini

Si vous supposez que A) est démontré, alors
C) est vrai puisque c'est la même chose que A
D) est faux puisque c'est le contraire de quelque chose de vrai

[leg]

ok
je pensais justement que D) pouvait aussi être vrai sans pour autant contredire A)
puisque A) concerne l'ensemble de tous les ensembles ainsi défini.

[Médiat]

pour chaque pair p et q et on peut même utiliser, p ou q premier pas forcément les deux.

pour faire simple, on va supposer que A) est démontré.

A) l'affirmation est vrai : tous ces ensembles contiennent une infinité de premiers.

Dans ce cas, pas de chance, mais l'affirmation A est fausse : il suffit de choisir et , pour que l'ensemble des T_n^{i, x} ne contiennent qu'un seul nombre premier.

[leg]

Dans ce cas, pas de chance, mais l'affirmation A est fausse : il suffit de choisir et , pour que l'ensemble des T_n^{i, x} ne contiennent qu'un seul nombre premier.

bien évidemment

mais je sais où choisir p et q,

tel que p et q ne sont pas nécessairement premiers et l'affirmation A) est vrai
choisissez p et q congru 17 modulo 60 et on verra ensuite si je n'ai pas de chance.....

et si l'ensemble des T_n^{i, x} ne contiennent qu'un seul nombre premier....

[Médiat]

bien évidemment

mais je sais où choisir p et q,

Le problème c'est que vous ne pouvez pas prétendre que "je sais où choisir" soit un théorème.

tel que p et q ne sont pas nécessairement premiers et l'affirmation A) est vrai
choisissez p et q congru 17 modulo 60 et on verra ensuite si je n'ai pas de chance.....

et si l'ensemble des T_n^{i, x} ne contiennent qu'un seul nombre premier....

Pas de chance :
p = 17
q = 1037
x = 17




Ceci a de moins en moins de rapport avec la question initiale, il serait souhaitable pour tout le monde que vous créiez un nouveau fil et que vous demandiez à un modérateur de bien vouloir transférer les posts concernés dans ce nouveau fil.

J'ai répondu depuis plusieurs jours à des questions de orpheu48, et je ne suis pas sur qu'il ai vu mes réponses, perdues dans un débat qui n'a rien à voir avec le sujet de ce fil.

[leg]

Bonjour Médiat
je n'ai pas voulu m'étendre sur le choix de p et q, mais il est évident que je ne vais pas les choisir ou dire n'importe lesquels.

p et q ne peuvent être choisi que dans l'ensemble des premiers >5 et congru P[30] tel que P est défini , c'est à dire >5 et < 37 .
sinon l'affirmation, n'aurait aucune raison d'être.

("si je veux des ensembles de premiers je ne vais pas les chercher dans l'ensemble des entiers multiple de 3, 5 ou 2n...")
voila ce que je sous entendais dans ce message, par forcément premiers.....

[leg]

J'ai répondu depuis plusieurs jours à des questions de orpheu48, et je ne suis pas sur qu'il ai vu mes réponses, perdues dans un débat qui n'a rien à voir avec le sujet de ce fil.

il n'y a aucun problème,
ma question était précise: sur l'indécidabilité de D) le reste n'a rien à voir avec le sujet mais il me fallait partir d'une supposition.

[orpheu48]

Juste un salut aux intervenants de cette discussion.
Je viens de la relire, deux ans après.
Et je vous remercie tous de l'intérêt que vous avez manifesté pour mes questions.
Bonne continuation à tous.
Orph