Formule de cardan

[invite0731164c]

Bonjour!

Je dois résoudre avec la formule de Cardan (bien sur, on pourrais trouver une racine évidente : 2 mais je pense qu'on veut nous entraîner à utiliser la formule de Cardan).

Du coup, je trouve

ce qui me donne 2 avec la calculatrice.

En fait ma question est : Comment simplifier mon expression à la main pour trouver 2?? Y a t-il une manière générale pour simplifier ces expression?
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[invite57a1e779]

La première chose à faire est de simplifier les expressions sous les radicaux, et de rendre les dénomimateurs rationnels :

;







On essaie alors d'exprimer sous la forme , ce qui fournit :



et il faut, si possible, déterminer et dans N^* tel que :

;

La seconde équation impose : le seul entier qui convient est qui conduit à .

On conclut finalement :

[invite57a1e779]

On essaie alors d'exprimer sous la forme

Lire : On essaie alors d'exprimer sous la forme .

[invite0731164c]

Bonsoir,
Merci pour ta réponse , elle était très claire.

juste quelques petites questions :

(i)pour dans le développement, ne manque t-il pas un therme devant ?

(ii)

et il faut, si possible, déterminer et dans N* tel que :

Faut-il forcément que a et b soit dans N*??

(iii)Si a et b appartiennent forcément à N*, comment choisir a tel qu'on soit sur que b appartiennent à N*??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

(i)pour dans le développement, ne manque t-il pas un therme devant ?

Si, il faut lire au lieu de .
Il ne faut jamais faire confiance à mes calculs.

((ii) Faut-il forcément que a et b soit dans N*??

(iii)Si a et b appartiennent forcément à N*, comment choisir a tel qu'on soit sur que b appartiennent à N*??

Ce sont des problèmes de théorie des nombres. Certains nombres de la forme admettent une racine cubique de la même forme, d'autres non.
Dans le premier cas, on peut simplifier l'écriture de la solution obtenue par les formules de Cardant, dans le second cas, on ne peut pas.
J'ai fait le calcul parce que je savais que la simplification était possible du fait que l'équation admet la racine 2.

[invite0731164c]

D'accord,

J'ai fait le calcul parce que je savais que la simplification était possible du fait que l'équation admet la racine 2

En lisant cette phrase, je me suis dit : donc si il y a une racine évidente simple, je peut simplifier les formules de cardan. J'ai donc considéré un autre exemple :



Je trouve avec la "machinerie de cardan"() : ce qui vaut 1(racine évidente) à la calculatrice, donc je pourrais simplifier...

Mes petites équations de simplifications me donnent alors:
;

en utilisant la deuxième équation : soit ce qui n'est pas possible pour b qui appartient à N*

[Médiat]

En lisant cette phrase, je me suis dit : donc si il y a une racine évidente simple, je peut simplifier les formules de cardan.

Malheureusement cela ne marche pas dans tous les cas (avec des entiers), en fait a et b peuvent être des rationnels (c'est le cas ici).

[invite57a1e779]

Plusieurs erreurs.

1. Je n'ai pas traité le cas de mais celui de .

Tu ne peux pas espérer obtenir un cube qui vaut si l'expression initiale ne comporte que des signes + !!!

2. Tes équations sont fausses. La relation conduit aux équations :

et

donc et est nécessairement négatif.

Pour aller plus loin, il faut un peu de théorie des extensions quadratiques.

Le cas avec est différent du cas avec , parce que l'anneau des entiers de n'est pas mais .

Il faut donc chercher une racine cubique sous la forme avec et entiers.

Tu dois obtenir : , donc

et la racine de ton équation est : .

[Médiat]

Le cas avec est différent du cas avec , parce que l'anneau des entiers de n'est pas mais .

Je suppose que God's Breath voulait dire
l'anneau des entiers de n'est pas mais (ou )

[invite0731164c]

Pour les fautes, c'est noté!

Par contre pour le truc des extensions quadratiques, j'en avais jamais entendu parlé.(pas le niveau...)
En fait comment savoir dans la pratique si on exprime comme ou ou quelque chose d'autre

En fait, si c'est simple de savoir En pratique ça m'intéresserait beaucoup. Sinon c'est pas trop grave. Je vous remercie des réponses en tout cas

[invite57a1e779]

Dans la pratique, la seule seule simplification à espérer pour , avec et entiers, est:

– si n'est pas multiple de 4 ;

– si est multiple de 4.

Si ce n'est pas possible, c'est qu'il n'y a pas d'expression sympathique des racines de l'équation du troisième degré.

[Médiat]

Il existe des théorèmes, comme : l'anneau des entiers de (ou k n'a pas de facteur carré) est si ou si et, si

[EDIT] même chose que God's Breath

[invite0731164c]

Je pense avoir saisi l'essentiel (c. à. d. éviter si possible d'utiliser cette formule ). Non, j'exagère : j'ai compris comment la simplifier dans la pratique et vos allusions à la théorie des nombres m'interessent beaucoup. Dommage qu'on en fasse pas.

Merci!