Morphisme d'un groupe dans lui-même

[invite97d79020]

Bonjour.

En accord avec l'intitulé de ce message, je souhaiterais améliorer mes connaissance sur les morphismes d'un groupe dans lui-même (disposant des connaissances acquises en classe préparatoire sur les morphismes de groupe.)

Je vous sollicite donc au cas ou vous auriez sous la main (ou plutôt sous la souris) un document traitant de ce suget: Avec les principaux théorèmes portant sur les morphismes d'un groupe dans lui-même, ce qui se passe si le groupe admet telles hypothèses supplémentaires (groupes cyclique etc...)

Sinon si vous êtes vraiment motivé, vous pouvez laisser votre théorème préféré sur de tels morphismes, ça ne me dérange pas du tout ^^.

Merci d'avance et bonne soirée.
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[invitef9bfdeab]

Salut,

Si tu es intéressé par le sujet, je te conseille de jeter un œil aux automorphismes des groupes de Z/nZ (si tu sais ce que c'est ?), et à tout ce qui concerne les automorphismes intérieurs et extérieurs.
Pour les théorèmes, il y en a un que j'aime bien, c'est celui qui dit que pour tout , les automorphismes de (le groupe symétrique) sont intérieurs. C'est (bien) traité dans "Cours d'algèbre" de Perrin, mais c'est peut-être un peu chaud.
Après, il y a tout ce qui concerne les groupes résolubles et la théorie de Galois, mais c'est le cran encore au-dessus (à mon avis). Mais si ça te branche, tu dois pouvoir trouver ça dans "Théorie de Galois" de Gozard (je te donne cette référence de mémoire, c'est possible que le titre ne soit pas parfaitement ça :s).

IkenB.

[invite97d79020]

Merci de ta réponse. Je m'attaquerais sans doute à tout ça sous peu (au pire l'année prochaine).

Je désespérait d'une réponse ^^... En même temps le sujet est peut être un peu vague et/ou peut utile dans les maths de niveau licence (moi-même je n'en sais rien).

En fait en vérité je m'intéresse à de tels morphismes dans le cas ou le groupe en question est un groupe de vecteurs (un ev) sans que le morphisme en lui-même soit nécessairement un endomorphisme ce pourquoi je n'ai pas précisé ce point plus tôt.

Voilà, n'hésitez pas à répondre ^^.

[invitef9bfdeab]

Quand je parle d'automorphismes (je suppose que c'est à ça que tu fais allusion dans ton dernier post), je parle d'automorphismes de groupes (ie des morphismes bijectifs d'un groupe dans lui-même), il n'a jamais été question d'expaces vectoriels.
Après, à partir du moment où tu ne t'intéresses pas aux propriétés de linéarité de ton espace vectoriel, ça t'est égal que ça en soit un ou pas, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Salut Turgon,

en effet ta question est curieuse, les espaces vectoriels sont des groupes tres particuliers, tellement particuliers en fait qu'ils sont assez "pauvres" en tant que groupe et pas tres interressants a etudier de ce point de vue la.

Par ailleurs, si tu regardes des espaces sur un corps de caracteristique 0, donc contenant Q, sauf erreur tout morphisme de groupe est forcement un morphisme de Q-espace vectoriel.

[invite97d79020]

En effet, ça ne parait pas très judicieux de s'intéresser aux morphismes de groupe d'un ev mais je m'intéresse en ce moment aux applications linéaires d'espace vectoriels (je me pose des questions qui n'ont rien avoir avec mon cours mais qui en utilise les outils).

Ils se trouve que j'ai eu besoin à un moment (mais sa remonte déjà) de faire interagir des endomorphismes à de simples morphismes de groupe d'un espace et que je devais (sans doute, j'ai remis la question à plus tard) restreindre les morphismes de groupe qui interagissent, à des morphismes particuliers.

Or j'ai constaté que beaucoup de vocabulaire liés à l'étude des groupes m'était inconnu (groupe cyclique... ordre d'un groupe, d'un élément... etc) et donc certainement aussi des aspects des morphismes de groupes.

Il me faudrait donc de la documentation afin d'avoir des connaissances un peu plus fournies sur les groupes et plus particulièrement les morphismes et plus particulièrement ceux d'un groupe dans lui-même. Voilà en gros ce qui m'amena tantôt à poster.

donc si vous avez de la doc sur les groupe n'hésitez pas

[invitef9bfdeab]

Perso, dès que ça touche aux groupes, je me réfère soit au Perrin (cité précédemment) soit au livre de Rotman "An introduction to the theory of groups". Sinon, regarde dans un bon bouquin de taupe (genre un où il y a "Ramis" écrit quelque part sur la couverture ), c'est moins "aride" que les deux précédents.