bon je vais essayer de m attaquer a un exercice sur les suites (sachant que j en ai jamais fait ca va etre dur)
soit f la fonction defini sur R par f(x)=1/9x^3 +1
on considere la suite un definie par U0=0 et pr tt entier n apartenant a N, Un+1=f(Un)
1) montrer que pour tout n on a Un>(=) 0
2) etudier les variation de f sur [0;+inf[, et en deduire que la suite (Un) est croissante.
j ai quelque notions, j ai pas mal de cours mais quasiment aucune pratique sur le sujet donc besoin d'aide
Pour la 1ère essaye de montrer par récurrence que si Un est positif ou nul alors U(n+1) est positif ou nul couplé avec le fait que Uo est positif ou nul.
Pour la 2ème dis où tu bloques ensuite
pour la deuxieme ca va aller c'est juste la premiere
comment montrer une recurence (je rapelle que je n'ai jamais vu les suites en cours avant)
Bonsoir !
La récurrence marche sur un principe simple mais efficace ( une vrai tuerie quoi)
Donc si tu as une suite tel que chaque membre à une relation avec le membre qui le précède , et que tu montre que : 1- Une propriété est juste pour le premier membre .
2-Si la propriété est juste pour un membre , elle l'est pour le suivant aussi !
Tu aura démontrer que la propriété est juste .... Pourquoi :
Supposons que le premier membre est U0 donc la propriété est vrai pour U0
et d'après ta deuxième démonstration elle est vrai pour U1 et donc pour U2 ....
Maintenant pour appliquer ça sur ton exo tu dois d'abord montrer que U0 >=0 ce qui est clair
Et ensuite ( ce qu'on appel la convergence ) prouver que si c'est juste pour Un ça l'est pour U(n+1) ( remarque que U(n+1)=f(Un) )
donc en fait on a U0= 0 donc U0>=0 ca efectivement c'est clair
si je comprend bien je doit montrer que Un+1(=f(Un))>=0
donc par recurence pr tt n de N on a Un>=0
mais f(Un) c'est 1/9n^3+1 ???
si c'est le cas n apartient a N donc meme pour n=0, f(Un)=1 donc f(Un)>=0 donc Un+1>=0
jusque la ca va??
Non, f(U_n) n'est pas egal à 1/9n^3+1 mais à 1/9(Un)^3+1
Par contre sialors
mais la ce n'est pas le cas!? parsque si Un+1=1/9(Un)+1Envoyé par Tryss
Par contre si
et
donc pr tt n Un+1>=0 puisque U0>0 U1>0 et U3>0 bref que Un>0
Haa ,tu as fait le chemin du retour à ce que je vois , ce n'est pas permis ;
Bref voila la règle , tu supposes que c'est juste pour Un et tu montres que ça l'est pour U(n+1)
dans ce cas U(n+1) = 1/9Un^3 + 1 qui est clairement positive
ha d'accord suposant que Un>=0 , on a Un+1 est positive car meme pour Un=0, Un+1=1
donc pour toute n Un+1>=0 et par recurence Un>=0
c'est ca? (enfin dans les grande lignes)
pour le deuxieme je derive f est je fazit son tableau de variation est si f est croissante alors Un est craoissante ??
Nop si f est croissante ceci veux dire que Un est soit croissante soit décroissante , reste à faire une autre récurrence ( très facile ) pour montrer que Un est croissante , + pour ta première récurrence tu dois savoir qu'il faut le montrer pour tout Un ==>U(n+1) et pas dans un cas précis
je ne comprend pa la fin de ton post kes ke je doit montrer? comment?
Pour montrer que la suite est croissante on dois montrer que U(n+1)>=Un , puisque c'est assez difficile directement ( possible mais difficile récurrence trop compliqué ) on use d'une manière plus facile , le fait que f'(x) est croissante implique que Un est monotone ( soit croissante soit décroissante ) :
Maintenant on applique la récurrence on a : U1> U0
supposons que U(n+1) > Un et montrons que U(n+2)>U(n+1)
on as f(U(n+1)) = U(n+2) et f(Un) = U(n+1)
puisque U(n+1) > Un et f étant croissante on a f(U(n+1))>f(Un)
et donc U(n+2)>U(n+1) ce qui conclut .
ok on peut dificilement etre plu claire merci
