Bonsoir tout le monde, j'ai un souci face à l'exo suivant:
Soient E,F et G 3 ensembles. On considère f€F^E.
Montrer que: f est injective <=> pour tout (g,h) €E^G*E^G, fog=foh=> g=h.
Le problème est pour l'équivalence ou j'arrive pas pour l'implication j'ai fait
Hypo: f injective
Soit x€ E, fog(x)=foh(x) car fog=foh
f(g(x))=f(h(x)) or fest injective donc g(x)=h(x)
conclusion: g=h
Mais l'équivalence je bloque. Merci d'avance
Message supprimé car résultant d'une hallucination.
Bon, je devrais déjà être couché vu mon état de fatigue, mais finalement je n'hallucinais peut-être pas : la réciproque me semble fausse si G est l'ensemble vide.
Si G n'est pas vide, cela devrait aller. On suppose que pour deux éléments x et y de E, on a f(x)=f(y). On veut montrer qu'alors x=y. Et bien, il suffit de prendre pour g l'application de G dans E constante égale à x, et pour h l'application de G dans E constante égale à y. On a bien, et donc g=h. Comme G est non vide, cela entraîne x=y.
Sur ce, je vais me coucher, et si jamais j'ai raconté n'importe quoi, quelqu'un rectifiera.
Mais on ne peut pas dire direct que f(x)=f(y) =>x=y car f est injective non ?
J'ai mal rédigé, je parlais de la réciproque. On suppose que
Ah, j'aurais peut-être dû préciser que pour l'autre implication, ta preuve est juste.
bah non, c'est ce qu'on veut montrer que f est injective !Envoyé par makassi
Ah oui excusez moi
