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Ensemble et injection



  1. #1
    makassi

    Ensemble et injection


    ------

    Bonsoir tout le monde, j'ai un souci face à l'exo suivant:

    Soient E,F et G 3 ensembles. On considère f€F^E.

    Montrer que: f est injective <=> pour tout (g,h) €E^G*E^G, fog=foh=> g=h.

    Le problème est pour l'équivalence ou j'arrive pas pour l'implication j'ai fait

    Hypo: f injective
    Soit x€ E, fog(x)=foh(x) car fog=foh

    f(g(x))=f(h(x)) or fest injective donc g(x)=h(x)

    conclusion: g=h
    Mais l'équivalence je bloque. Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    DSCH

    Re : Ensemble et injection

    Message supprimé car résultant d'une hallucination.
    Dernière modification par DSCH ; 28/11/2007 à 22h10. Motif: Message supprimé car résultant d'une hallucination.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  4. #3
    DSCH

    Re : Ensemble et injection

    Bon, je devrais déjà être couché vu mon état de fatigue, mais finalement je n'hallucinais peut-être pas : la réciproque me semble fausse si G est l'ensemble vide.

    Si G n'est pas vide, cela devrait aller. On suppose que pour deux éléments x et y de E, on a f(x)=f(y). On veut montrer qu'alors x=y. Et bien, il suffit de prendre pour g l'application de G dans E constante égale à x, et pour h l'application de G dans E constante égale à y. On a bien , et donc g=h. Comme G est non vide, cela entraîne x=y.

    Sur ce, je vais me coucher, et si jamais j'ai raconté n'importe quoi, quelqu'un rectifiera.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  5. #4
    makassi

    Re : Ensemble et injection

    Mais on ne peut pas dire direct que f(x)=f(y) =>x=y car f est injective non ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    DSCH

    Re : Ensemble et injection

    J'ai mal rédigé, je parlais de la réciproque. On suppose que pour tous g et h applications de G dans E, et on veut en déduire que f est injective. C'est bien cette partie qui te pose problème, non ?

    Ah, j'aurais peut-être dû préciser que pour l'autre implication, ta preuve est juste.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  8. #6
    jobherzt

    Re : Ensemble et injection

    Citation Envoyé par makassi Voir le message
    Mais on ne peut pas dire direct que f(x)=f(y) =>x=y car f est injective non ?
    bah non, c'est ce qu'on veut montrer que f est injective !

  9. Publicité
  10. #7
    makassi

    Re : Ensemble et injection

    Ah oui excusez moi

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