La Quatrième dimension

[invite2220c077]

Bonjour,

Ayant pris connaissance d'un livre écrit par François Lo Jacomo s'intitulant "Visualier la quatrième dimension", je me suis intéressé à cette notion d'une part par passion des mathématiques, et d'autre part, pour en faire un TPE. N'ayant que pour le moment feuilleté ce livre dans une librairie, je ne me le suis pas encore procuré, mais par des amis, parait-il qu'il est très bien vulgarisé et ferait un très bon support pour un éventuel TPE. Mais en attendant, avez-vous des sites web donnant une "introduction" à la Quatrième dimension, côté mathématique ? Ou avez-vous des choses à me dire dessus, peut-être une éventuelle problématique pour un TPE ?

De plus, l'on m'a dit (mais cela c'est pour moi) que pour aborder en détail cette notion, il fallait connaître l'Algèbre Linéaire : en quelle classe (préparatoire je présume ?) commençons-nous à entrevoir cette Algèbre ?

Merci d'avance.
-----

[inviteedb947f2]

Je peux pas trop t'aider sur la quatrième dimension...
Mais l'algèbre linéaire commence en effet au moins après le bac, dans toutes les prepas scientifiques (peut etre pas BCPST, meme cela m'etonnerais). Cependant, si tu as du courage, je pense que tu peux essayer de regarder de ton coté. Pour commencer, tu n'auras pas besoin de connaissance autres que celle que tu as déja.
En fait, l'algèbre linéaire va te donner la définition de la dimension, ce qui en effet t'aidera surement dans ta quête de la 4ème

Cordialement,

[invite2220c077]

J'ai trouvé un document numérisé sur le web de Serge Lang, un livre de 800 pages traitant apparament de l'Algèbre dans toute sa "totalité" ... Je vais m'y mettre dès ces vacances, merci bien

[inviteedb947f2]

Ou tu peux essayer de regarder des cours de Maths Sup, qui t'apporterons de bonne base je pense.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

L'algèbre linéaire, c'est ce qu'il y a de plus simple en algèbre, le livre que tu as trouvé sur internet doit plutot parler d'algèbre général (théorie de groupe etc...) ce qui est en général nettement plus compliqué. (ca va plutot etre niveaux bac+3..., alos que l'algèbre linéaire est plutot niveaux bac+1 quoi...)

cherche plutot des cours de sup si tu veux apprendre l'algèbre c'est plus raisonable ^^

[inviteb0df2270]

Surtout que le Lang n'est certainement pas le livre que je conseillerai à quelqu'un qui débute

Par contre, une fois le cours connu, c'est une référence absolue

PS : Les scans c'est illégal, et pas très sympa pour la famille Lang (sachant que Serge est décédé en 2005 il me semble).

[invite2220c077]

Oui, je sais bien que c'est illégal, mais en fait les e-book de sciences, je ne les garde jamais, je lis juste les premières pages / sommaire pour voir s'il me plait bien, puis après je l'achète sur Amazon

Merci pour vos conseils !

[invitec053041c]

Ou tu peux essayer de regarder des cours de Maths Sup, qui t'apporterons de bonne base je pense.

C'est le cas de le dire .

[invite35452583]

J'ai jeté un coup d'oeil sur ce que traitait le livre de M. Jacomo parce que 4ème dimension, c'est très vague. J'ai eu raison () : je pensais que le lien le plus évident était la physique mais le livre en question n'est pas adapté pour un lien avec la "4ème dimension" de la physique : le temps. La raison en est que le temps en physique est indissociable des trois dimensions spatiales (relativité restreinte et surtout relativité générale + théorie des (super)cordes + graviation quantique...) mais ne leur est pas identique ni même similaire : par exemple une "longueur" est de la forme dx²+dy²+dz² - c²dt² ce "-" fait que cette dimension n'est pas similaire aux trois autres. Les hyperpolyèdres dont il est question dans le livre de M; Jacomo sont dans un espace de dimension 4 pour lequel toutes les dimensions sont équivalentes.
Bon ùmaintenant cela reste un bon support de TPE qui se cadre dans les thémes officiels. Pour rappel
thème : modèle et modélisation (Le thème qui me semble le mieux adapté est : le modèle comme outil de compréhension : création d'un portrait-robot, maquettes, reconstitutions virtuelles)
Pour l'ensemble des thèmes
La problématique pourrait être : "comment se représenter les objets vivant en dimension 4" ou mieux (à mon humble avis) "de la représentation d'objets vivant dans la D4 pour mieux appréhender celle-ci" (titre à remanier) les supports seraient des maquettes (hyperpolyèdres, le livre en question les traite abondamment apparemment ; et même des surfaces impossibles* en dimension 3 :bouteille de Klein, surface de boy...)
* impossible car elle se recoupe nécessairement en dimension 3 mais sont des surfaces tout à fait "normales" en dimension 4.
bouteille de Klein
surface de boy
Et bien sûr l'inévitable topologicon (qui traite aussi d'autres questions dont certaines liées à "ta" problématique)

Quant à l'algèbre linéaire, le problème avec les cours de sup ou de L1, c'est qu'ils sont faits pour des personnes appelées à manipuler des espaces (vectoriels ou affines) de dimension quelconque (bien que l'essentiel des exercices restent en dimension 3 ou 4 afin que les calcul restent "humains") donc plongent le lecteur essentiellement dans la technicité. Si tu fais un exposé sur le principe du moteur à explosion on ne va pas forcément te demander de savoir réparer un joint de culasse. Là c'est pire car dans unn manuel pour futur mécanicien auto, le principe fera un chapitre bien détaillé, tandis que les livres d'algèbre linéaire en question ne feront que des résumés compréhensibles généralement qu'à ceux qui ont appris la manipulation.
Je n'ai pas de documents traitant plus cet aspect que l'aspect technique donc tu peux toujours te plonger dans ces livres mais en gardant en tête que ce qui te sera utile relève en gros de questions du type (qui se comprend en termes de nombre d'équations, nombre de libertés pour les directions des droites, plans, espaces (D3))
deux droites en D4 peuvent être soient confondues, strictement parallèles, sécantes ou quelconques, dans le 1er cas, une droite (unique) contient les deux droites (oui elles ne sont qu'une) dans le 2ème ete 3ème cas, elles sont contenues dans un même plan (unique pour cette propriété), dans le 4ème cas elles sont inclues dans un unique espace (D3), en particulier deux droites n'engendrent jamais l'hyperespace (D4) en son entier.
Deux plans en D3 se coupent dans le cas général (ça a un sens rigoureux mathématiquement) selon un point, dans ce cas aucun espace (D3) ne contient ces deux plans ; un espace unique contioent les deux plans si et suelement si ces deux pplans se coupent selon une droite ou sont strictement parallèles; le dernier cas étant le cas les plans sont confondus.
...plan-droite ; droite-espace (D3) ; plan-espace(D3); espace(D3)-espace (D3). Ceci permet de comprendre en partie ce qui se passe quand il y a une dimension supplémentaire. Ceci peut d'ailleurs être illustré avec les hyperpolyèdres (comme la position relative des droites et plans en D3 se fait bien sur des maquettes de polyèdre en seconde)
Le support peut être amélioré avec des simulations informatiques. En tout cas éviter le support "dossier" (de plus en plus déprécié par les enseignants, les piles de documents bof, en plus ce n'est pas la forme la plus plaisante pour les lycéens eux-mêmes) et puis ce serait dommage avec un sujet pareil.
Les TPE doivent toujours être multidisciplinaires ? Dans ce cas une discipline à allier est les arts plastiques. Il existe plein d'oeuvres d'artistes d'objets "possibles" qu'en dimension 4, il y a quelques exemples dans les liens que je t'ai donnés. Tu peux demander aux musées de te les prêter pour ton exposé qui ne demande rien n'a rien plus sérieusement, là ce serait plus sous forme de dossier avec des illustrations (plus digérables) ou certaines oeuvres (sculpture, peinture...) peuvent être expliquées géométriquement (un petit nombre bien traité sera plus efficace que l'inventaire des oeuvres de par le monde à ce propos).
Maintenant tu fais ce que tu veux de ma proposition (on n'est pas obligé d'avoir des affinités pour les maquettes, avec les arts plastiques ce serait une faute de goût par contre ).

[invite2220c077]

Wouah, merci pour cette réponse très détaillée ! Pour ce qui est du livre, je ne l'ai pas encore reçu, donc je ne me prononcerais pas

L'idée du thème des modélisations est une très bonne idée, je n'avais pas pensé à prendre ce thème, mais parcontre, au sujet de l'art plastique humm .... je suis vraiment nul en tout ce qui touche les arts plastiques justement donc bon ... Peut-être que mes deux autres camarades sont meilleurs que moi là-dedans. Je verais avec mon prof de math en ce qui concerne la seconde matière, en espérant que mon idée de la quatrième dimension soit acceptée.

Je lirais plus en détail ton message en ce qui concerne l'AL, plus tard.

[invite35452583]

Ca me fait plaisir que mon idée te convienne.
Pour les arts plastiques il n'y a pas besoin de s'y connaître au préalable (une recherche sur internet devrait te fournir des oeuvres sur ce thème, voir un ou des musées prêt(s) de chez toi, je ne sais pas où tu habites) par contre si tu choisis ce thème je crains que l'on vous reproche si vous ne faîtes rien dans cette voie . Et, ça te fera peut-être découvrir un artiste dont tu adoreras les oeuvres, qui sait ?

[invite2220c077]

Mais si je prends l'art plastique, faudra alors que je m'intéresse au Cubisme, non ?

[invite35452583]

Mais si je prends l'art plastique, faudra alors que je m'intéresse au Cubisme, non ?

Une allusion au cubisme (sous forme le cubisme sous sa période constructiviste ou synthétique plusieurs perspetives sur une peinture) serait la bienvenue car se représenter la dimension 4 revient souvent à cela se représenter en objet en dimension 3 de plusieurs perspectives pour émerge une dimension supplémentaire. Dans une oeuvre ""réaliste"", croquis de guitariste, la perspective est créée par notre propre expérience de la dimension 3, dans une oeuvre cubiste (au delà de l'aspect "petits cubes") comme le guitariste de Picasso, c'est de ce mélange de "points de vue" représentée en dimension 2 qu'émergent la 3ème dimension. Si l'un de vous est sensible à cet aspect (si ce n'est pas le cas c'est alors à éviter absolument, le jury ne sera pas dupe) ça sera apprécié, je pense, comme introduction à votre exposé. Maintenant, ce n'est pas une voie obligée et même en adoptant une introduction de ce type rien n'oblige à approfondir dans cette voie.
Et puis, je pensais surtout à des oeuvres d'artistes plus "concrètes" représentant ces objets en question dans l'éventuel projet (plus de la sculture finalement).
Rassure toi tes correcteurs n'exigeront pas de vous de devenir des spécialistes d'arts plastiques (je n'en suis pas un ça ne m'empêche pas d'en parler), a priori le professeur d'arts plastiques de ton lycée pourra vous aider. A mon humble avis ils seront déjà bien contents que des matheux osent allier mathématiques et arts au lycée. (Après, c'est nettement moins rare).
Maintenant parles en avec tes collègues et ton professeur.

[invite2220c077]

Bonjour,

Après concertation avec mon professeur de mathématiques au sujet de cette problématique, il m'a dit qu'avant de répondre à la question du "comment", il vaudrait mieux répondre à la question "pourquoi", en particulier, "pourquoi la quatrième dimension a été crée, quel est son intêret ?". Car pour lui, il ne voit pas vraiment l'intêret cette problématique : si on pose un cube sur une table, quel est l'intêret de le représenter en quatrième dimension ?

Si quelqu'un pouvait m'apporter des précisions.

Merci d'avance

[invite986312212]

à voir: Umberto Boccioni: Développement d'une bouteille dans l'espace
http://www.insecula.com/oeuvre/O0019887.html

sur la question du pourquoi? peut-être simplement parce que c'était possible. Les mathématiques n'ont pas vraiment besoin de motivations.

[Médiat]

Car pour lui, il ne voit pas vraiment l'intêret cette problématique : si on pose un cube sur une table, quel est l'intêret de le représenter en quatrième dimension ?

Puisqu'il était question d'art un peu plus haut, je ne peux qu'attirer ton attention sur un mouvement pictural Italien : le futurisme (animé par Boccioni justement).

En particulier une oeuvre de Marcel Duchamp qui s'y rattache (bien qu'il n'ait jamais appartenu au groupe futuriste) : "Nu descendant l'escalier" qui montre, à l'évidence, l'intérêt de cette 4ième dimension

[invite5aa45ad1]

Bonjour,

Ayant pris connaissance d'un livre écrit par François Lo Jacomo s'intitulant "Visualier la quatrième dimension", je me suis intéressé à cette notion d'une part par passion des mathématiques, et d'autre part, pour en faire un TPE. N'ayant que pour le moment feuilleté ce livre dans une librairie, je ne me le suis pas encore procuré, mais par des amis, parait-il qu'il est très bien vulgarisé et ferait un très bon support pour un éventuel TPE. Mais en attendant, avez-vous des sites web donnant une "introduction" à la Quatrième dimension, côté mathématique ? Ou avez-vous des choses à me dire dessus, peut-être une éventuelle problématique pour un TPE ?

De plus, l'on m'a dit (mais cela c'est pour moi) que pour aborder en détail cette notion, il fallait connaître l'Algèbre Linéaire : en quelle classe (préparatoire je présume ?) commençons-nous à entrevoir cette Algèbre ?

Merci d'avance.

Salut,

Pour quelqu'un qui débute en topologie et en analyse tensorielle, ce n'est pas évident de comprendre mathématiquement la notion de la 4ème dimension utilisée en Physique.

Je te conseille de comprendre le pourquoi et pas le comment, surtout les raisons qui 'ont poussées les physiciens théoriciens à introduire cette 4ème dimension(temporelle). Tu vas te trouver au sein de la relativité. (En tout cas c'est un vieux sujet, mais intéressant quand même)

[inviteaf1870ed]

Puisqu'il était question d'art un peu plus haut, je ne peux qu'attirer ton attention sur un mouvement pictural Italien : le futurisme (animé par Boccioni justement).

En particulier une oeuvre de Marcel Duchamp qui s'y rattache (bien qu'il n'ait jamais appartenu au groupe futuriste) : "Nu descendant l'escalier" qui montre, à l'évidence, l'intérêt de cette 4ième dimension

Le Futurisme ce n'est pas Marinetti ?

Quant à Duchamp (nous avons décidément les mêmes références, Médiat), une bonne partie de "La Mariée" tourne autour de la représentation du temps, par exemple les stoppages étalon qui "figent" en quelque sorte le temps ou plutôt l'évolution du fil au cours du temps.

Ce qui est amusant en liaison avec cette discussion c'est que Duchamp se fera exclure du cubisme pour cette toile, me semble t il

[Médiat]

Le Futurisme ce n'est pas Marinetti ?

Oui, mais aussi Boccioni que j'ai cité car ambrosio en avait parlé et parce nous avons (ou avons eu) tous une oeuvre de Boccioni dans la poche (la pièce de 20 cents Italie)

Quant à Duchamp (nous avons décidément les mêmes références, Médiat), une bonne partie de "La Mariée" tourne autour de la représentation du temps, par exemple les stoppages étalon qui "figent" en quelque sorte le temps ou plutôt l'évolution du fil au cours du temps.

. "La Mariée" étant une oeuvre "définitivement inachevée", je crois aussi que le temps est central dans cette oeuvre.

Ce qui est amusant en liaison avec cette discussion c'est que Duchamp se fera exclure du cubisme pour cette toile, me semble t il

Il me semble aussi, ce qui n'est pas étonnant, je crois que Duchamp était incapable d'appartenir à un club (cf. Groucho Marx).

[inviteaf1870ed]

Sauf à un club d'échecs, bien sur...

[invite986312212]

ne pas oublier non plus le grand classique d'Edwin Abbott: Flatland.
http://www.ibiblio.org/eldritch/eaa/FL.HTM

il s'agit de dimension 2, mais 2=3-1, donc 4 au signe près
à un moment, ce monde à deux dimensions est traversé par une sphère (une boule peut-être) à trois dimensions, ça donne une idée de ce qui se passerait si une sphère à quatre dimensions (notée S^3, les mathématiciens adorent la complication) traversait notre monde.

[invite35452583]

ne pas oublier non plus le grand classique d'Edwin Abbott: Flatland.
http://www.ibiblio.org/eldritch/eaa/FL.HTM

il s'agit de dimension 2, mais 2=3-1, donc 4 au signe près
à un moment, ce monde à deux dimensions est traversé par une sphère (une boule peut-être) à trois dimensions, ça donne une idée de ce qui se passerait si une sphère à quatre dimensions (notée S^3, les mathématiciens adorent la complication) traversait notre monde.

Oui ça semble bien correspondre à l'idée initiale "de D3 à D4", la comparaison avec "de D2 à D3" est évidemment intéressante. c'est encore du "comment", cela.

Le "pourquoi" :
+) parce que ça fascine (notamment des artistes) et que c'est beau
+) parce que nous vivons dans un espace-temps de dimension 4 (même s'il n'est pas euclidien, comprendre d'abord D4 euclidien est une bonne étape)
+) parce que D4 est intéressant géométriquement par lui-même ("plus grande dimension d'un corps", permet de voir le plan projectif sans "auto-intersection",.........)
...
+) parce que ça intéresse ce qui vont faire le TPE
...

[invite2220c077]

Bonjour,

Merci pour vos réponses (avec du retard ...).

Nous avons avancé dans notre TPE depuis. Nous avons jeté des idées pour une introduction et nous aimerions savoir ce que vous en pensiez (si vous aviez aussi des idées à rajouter par exemple ...).

Tout d'abord la problématique choisie : Comment visualiser la quatrième dimension à l'aide de concepts mathématiques ?

Intro :

* Introduction du concept de mathématique :
- Définition de "concept mathématique" (si quelqu'un pouvez nous donner une définition rigoureuse d'ailleurs )
- crées pour répondre à un besoin
- non universels (on pensait reprendre l'exemple des extra-terrestres pour ceux et celles qui ont lu le livre)
- sont constamment enrichis en fonction de l'évolution de nos besoins

* Introduction du concept de dimension
- crées pour répondre à un besoin, celui que nous avons de nous déplacer

=> Qu'est-ce que la quatrième dimension ?
=> A quel besoin répond-t-elle ?

* But du TPE (défi : montrer que des objets mathématiques de dimension 4 peuvent être visualisés malgré qu'ils n'existent pas dans notre "monde réel") ; Annonce de la problématique.

-------------------------------

Et si vous vous sentez d'attaque, serait-ce possible d'avoir des idées de plan ?

En vous remerciant d'avance.

[invite2593aa43]

J'ai trouvé un document numérisé sur le web de Serge Lang, un livre de 800 pages traitant apparament de l'Algèbre dans toute sa "totalité" ... Je vais m'y mettre dès ces vacances, merci bien

Salut!

euh!!!! SVP , on peux avoir le lien!!!

Merci

[invite2220c077]

Je ne me rappelle plus où je l'avais trouvé (j'ai supprimé ce fichier depuis belle lurette).

[invite2220c077]

Quelqu'un pourrait-il répondre à mon avant-dernier message s'il vous plait ?

Merci.

[invite2220c077]

Bonjour,

Voilà, nous avons fini de rédiger notre introduction. Si vous pouvez la commenter, ce serait sympa de votre part . (pièce jointe)

On se heurt donc maintenant à un autre problème : celui du plan. On patoge vraiment, on a trop d'informations reccueillis, on ne sait pas où donner de la tête ... Si quelqu'un pouvait bien nous aiguiller dans cette démarche avec un exemple de plan. Aussi, nous aimerions savoir les connaissances requises en mathématiques pour aborder avec sereinité les Dimensions : j'ai entendu parlé de groupe, de quaternions ... quoi d'autres (dans l'ordre d'apprentissage si possible) ? Je suppose qu'il va falloir consacrer une partie entière dans notre TPE à la présentation de ces outils ?

Merci d'avance.