Bonjour à tous. J'ai un exercice à résoudre sur les sous-espaces vectoriels (je viens seulement de commencer ce sujet), mais je ne suis pas sûr de bien comprendre l'énoncé:
(traduit de l'Allemand)
Soit C l'ensemble des fonctions réelles définies sur R. C est un espace vectoriel.
Lesquels des ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de C, et pourquoi?
W1 = {f € C | 2f(0) = f(1)}
W2 = {f € C | pour tout x €*R: f(x) ≥ 0}
W3 = {f € C | f(0) = 1}
W4 = {f € C | pour tout x €*R: f(x) = f(-x)}
Je connais les trois conditions à vérifier pour savoir si un ensemble est un sous-espace vectoriel, à savoir:
- le vecteur nul doit être dans W,
- une addition de vecteurs appartenant à W doit être dans W,
- une multiplication d'un vecteur appartenant à W par un scalaire réel doit être dans W.
Mais je n'arrive pas encore à bien interpréter ces règles dans les cas du problème. Prenons W1 par exemple:
- je ne vois pas d'indication concernant le vecteur nul dans 2f(0) = f(1): je lis cette formule comme disant "quand x=1, f(x) est égal au double de quand x=0" mais je n'arrive pas à déduire si f(x)=0 est dans W1.
- concernant l'addition, même constat. Je ne comprends vraiment pas comment prouver que f + f' € C.
- là je me dis que 2 étant un scalaire, il y a une indication. Je n'en mène tout de même pas large, car ça ne prouve pas que toute multiplication par un scalaire est dans W1.
Malgré tout, je pense que W1 est un sous-espace vectoriel du simple fait que f €*C. Je pense par contre que W2 n'est pas un sous-espace vectoriel, car la multiplication par un scalaire négatif ne sera pas dans W2.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'apporter des précisions supplémentaires sur la méthode à suivre pour appréhender les sous-espaces vectoriels? C'est une notion vraiment particulière je trouve.
Merci d'avance pour vos réponses.
J.
PS: j'ai fait une erreur dans le titre du post, mais je n'arrive pas à le modifier!
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