Vérifier qu'un ensemble est un sous-ensemble vectoriel?

[julienba]

Bonjour à tous. J'ai un exercice à résoudre sur les sous-espaces vectoriels (je viens seulement de commencer ce sujet), mais je ne suis pas sûr de bien comprendre l'énoncé:

(traduit de l'Allemand)
Soit C l'ensemble des fonctions réelles définies sur R. C est un espace vectoriel.

Lesquels des ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de C, et pourquoi?
W1 = {f € C | 2f(0) = f(1)}
W2 = {f € C | pour tout x €*R: f(x) ≥ 0}
W3 = {f € C | f(0) = 1}
W4 = {f € C | pour tout x €*R: f(x) = f(-x)}


Je connais les trois conditions à vérifier pour savoir si un ensemble est un sous-espace vectoriel, à savoir:
- le vecteur nul doit être dans W,
- une addition de vecteurs appartenant à W doit être dans W,
- une multiplication d'un vecteur appartenant à W par un scalaire réel doit être dans W.

Mais je n'arrive pas encore à bien interpréter ces règles dans les cas du problème. Prenons W1 par exemple:
- je ne vois pas d'indication concernant le vecteur nul dans 2f(0) = f(1): je lis cette formule comme disant "quand x=1, f(x) est égal au double de quand x=0" mais je n'arrive pas à déduire si f(x)=0 est dans W1.
- concernant l'addition, même constat. Je ne comprends vraiment pas comment prouver que f + f' € C.
- là je me dis que 2 étant un scalaire, il y a une indication. Je n'en mène tout de même pas large, car ça ne prouve pas que toute multiplication par un scalaire est dans W1.

Malgré tout, je pense que W1 est un sous-espace vectoriel du simple fait que f €*C. Je pense par contre que W2 n'est pas un sous-espace vectoriel, car la multiplication par un scalaire négatif ne sera pas dans W2.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'apporter des précisions supplémentaires sur la méthode à suivre pour appréhender les sous-espaces vectoriels? C'est une notion vraiment particulière je trouve.


Merci d'avance pour vos réponses.


J.


PS: j'ai fait une erreur dans le titre du post, mais je n'arrive pas à le modifier!
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[gg0]

Bonsoir.

Quand on aborde ce genre de questions, il faut bien identifier l'espace vectoriel dans lequel on travaille : quels sont ses éléments, comment sont définies les lois, quel est son 0. ici, les éléments sont "les fonctions réelles définies sur R", les fonctions numériques dont le domaine de définition est R; les lois sont ... tiens tu n'en as pas parlé. Tu écris même "C est un espace vectoriel" alors que C est un ensemble. Donc il faut avoir des lois qui conviennent. Je suppose qu'il s'agit des lois classiques définies par :
f+g est la fonction définie par x-->f(x)+g(x)
k.f est la fonction définie par x-->kf(x)
Enfin quel est l'élément neutre pour l'addition, le zéro ? C'est une fonction g qui additionnée à f donne f. Donc il faut que pour tout x on obtienne g(x), donc f(x)=0 pour tout x. C'est la fonction nulle.

Voilà ! ce travail de décodage est à faire dans tout exercice : Comprendre de quoi on parle. Après, ça devient nettement plus facile. Essaie ici.

Cordialement.

NB : "...la méthode à suivre pour appréhender les sous-espaces vectoriels?" Simplement appliquer les règles (c'est de l'algèbre, des méthodes pour calculer). On peut imager les espaces vectoriels à l'aide des vecteurs du plan, ou de l'espace, mais surtout, on apprend au fur et à mesure et on devient "habitué".

[julienba]

Merci beaucoup pour ta réponse. Dans mon énoncé il est écrit "C est un espace vectoriel", donc je pense que cela signifie que les 8 axiomes définissant un espace vectoriel sont d'office respectés pour l'ensemble C. Ou est-ce que j'ai mal compris?

Et en effet, je suis sûr que c'est le travail de décodage que tu mentionnes qui m'aidera le plus, et c'est justement le but de ma question: j'apprends tout ça en allemand, donc j'aimerais éliminer les doutes!

...Et j'en ai encore Par exemple, dans le premier cas W1, je ne suis toujours pas sûr de comment interpréter 2f(0) = f(1): est-ce que cela signifie que W1 est l'ensemble des fonctions qui respectent 2f(0) = f(1)?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Dans mon énoncé il est écrit "C est un espace vectoriel", donc je pense que cela signifie que les 8 axiomes définissant un espace vectoriel sont d'office respectés pour l'ensemble C. Ou est-ce que j'ai mal compris?

Plus précisément dans ton exo c'est qui un -espace vectoriel avec les lois et définies comme te l'a indiqué gg0 dans son message#2.

...Et j'en ai encore Par exemple, dans le premier cas W1, je ne suis toujours pas sûr de comment interpréter 2f(0) = f(1): est-ce que cela signifie que W1 est l'ensemble des fonctions qui respectent 2f(0) = f(1)?

Ben oui, ... par exemple la fonction réelle appartient à , ... et la fonction réelle identité non.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Manaphy]

c'est exactement ça, par exemple la fonction f(x)= (x+1)/2 appartient à W1, car f(0) = 1/2, et f(1)=1=2f(0)

EDIT : PlanetF a été plus rapide.

[gg0]

Plus généralement :

désigne l'ensemble des éléments de E pour lesquels la propriété P est vraie.
Tu as aussi des problèmes de décodage des notations d'ensemble ...

Bon travail Julienba.

[julienba]

Merci à tous pour vos réponses! Je vous en suis très reconnaissant.

Je dois malgré tout avoir encore quelques problèmes, car pour moi aucun n'est un espace vectoriel... Voici pourquoi je pense cela:

- W1 n'est pas un sous espace vectoriel, car par exemple f(x) = (x+1)/2 appartient à W1 (voir post de Manaphy) mais ne contient pas l'élément 0 tel que f(0)=0 (c-à-d que cette fonction ne passe pas par l'origine).
- W2 n'est pas un sous espace vectoriel, car par exemple la multiplication de f(x) par un scalaire négatif ne sera plus dans l'ensemble W2 (f(x) devient alors négatif pour tout x>0).
- W3 n'est pas un sous espace vectoriel non plus, car pour x=0, toute fonction appartenant à l'ensemble (par exemple f(x) = x + 1) donne 1 pour résultat. Les fonctions de W3 ne passent donc pas par l'origine et l'ensemble ne contient de ce fait pas l'élément 0.
- W4 n'est pas un sous espace vectoriel, car par exemple x^2 appartient à W4 (x^2 = (-x)^2) mais ne satisfait pas la propriété de la multiplication par un scalaire (négatif).

J'ai vu en cours que les seuls sous espaces vectoriels possibles étaient {0}, toutes les droites qui passent par 0, R2, et rien d'autre! Peut être que j'interprète de nouveau mal la notation des ensembles?


Merci d'avance pour vos réponses, et désolé d'être encore en difficulté avec ce problème.


J.

[julienba]

Je viens de trouver une page qui m'indique j'ai au moins faux pour l'ensemble des fonctions paires! Je retourne au boulot

[julienba]

Okay je pense avoir fait quelques progrès. Quelqu'un peut-il me le confirmer?

W1 est en fait un espace vectoriel, car:
- la fonction nulle (f(x)=0) appartient à W1,;
- 2(f+g)(0) = 2f(0) + 2g(0) = f(1) + g(1) = (f+g) (1);
- pour tout k € R, (kf)(0) = k(f(0)) = k(f(1)) = (kf(1))

Je pense toujours que W2 n'est pas un espace vectoriel pour la même justification qu'avant (la multiplication par un scalaire négatif ne sera pas dans W3)

W3 n'est (toujours) pas un espace vectoriel, mais avec une autre justification:
si on prend l'exemple f(0) = 1, alors (f + f)(0) = f(0) + f(0) = 1 + 1 = 2 qui n'appartient pas à W3, donc W3 ne peut pas être un espace vectoriel.

Ce serait très utile pour ma compréhension si quelqu'un pouvait me dire si j'ai juste ou pas et/ou si mes justifications sont correctes. Merci d'avance.


J.

[gg0]

Pour W1 : Tu n'as pas vraiment lu mon message #2. la question n'est pas de savoir ce que fait la fonction, mais de savoir si l'élément nul de C est dans W1.
Pour W2 : Ok
Pour W3, même chose que pour W1. on se moque de savoir si les fonctions " passent [] par l'origine" ou pas. On veut appliquer une règle qui ne parle pas de ça.
Pour W4, ce que tu dis est faux !! La fonction f : x-->-x² vérifie bien f(-x)=-(-x)²=-x²=f(x)

Il faut que tu fasses bien la différence entre la fonction f et ses valeurs, entre f (fonction) et f(x) (nombre). Tu travailles avec un ensemble de fonctions.

[PlaneteF]

Bonsoir,

- la fonction nulle (f(x)=0) appartient à W1,;

Oui, mais même si cela est évident il faut le justifier.

- pour tout k € R, (kf)(0) = k(f(0)) = k(f(1)) = (kf(1))

Non, ... ce que tu dois montrer c'est :

Je pense toujours que W2 n'est pas un espace vectoriel pour la même justification qu'avant (la multiplication par un scalaire négatif ne sera pas dans W3)

Le mieux c'est de donner un contre-exemple.

W3 n'est (toujours) pas un espace vectoriel, mais avec une autre justification:
si on prend l'exemple f(0) = 1, alors (f + f)(0) = f(0) + f(0) = 1 + 1 = 2 qui n'appartient pas à W3, donc W3 ne peut pas être un espace vectoriel.

Oui, ... Tu peux aussi dire tout simplement que la fonction nulle n'appartient pas à .


Et pour ?

Cdt

[julienba]

Tout d'abord, merci pour ta réponse.

Oui, mais même si cela est évident il faut le justifier.

Okay, est-ce que je peux le faire comme ça?
Soit la fonction nulle.
, donc la fonction nulle fait partie de W1.

Non, ... ce que tu dois montrer c'est :

Je le refais:

(tout ça en mentionnant que k € R et que la multiplication de scalaires est associative)

Et pour ?

Alors pour :
- Soit la fonction nulle, , donc la fonction nulle est bien dans
- : L'addition des fonctions de se trouve bien dans
- Pour tout k dans R, : La multiplication des fonctions de se trouve bien dans
est donc bien un sous espace vectoriel de .

Est-ce que c'est une justification convenable? Merci encore pour toute cette aide.


J.

[PlaneteF]

Attention à ne pas confondre la multiplication à gauche d'un vecteur par un scalaire , avec la multiplication de 2 réels.

Ici si tu veux mettre un signe il faut écrire : et

Cdt

[PlaneteF]

D'ailleurs pour compléter le message précédent, si l'on veut faire apparaître tous les signes sans faire de simplification d'écriture il faudrait écrire :



Cdt

[julienba]

C'est corrigé. Merci à tous pour vos réponses, ça m'a beaucoup aidé à y voir plus clair.


J.