[Maths] [TS] Etude d'une équation fonctionnelle

[kNz]

On désigne par l'ensemble des applications non nulles, continues sur , qui satisfont la condition : .

1. Déterminer les fonctions constantes de .

2. Montrer que si est un élément de , alors est paire et .

3. Soit , montrer qu'il existe tel que : soit différent de 0.

4. Soit, et , on définit les deux fonctions et par :
, et .
Montrer que .

5. Montrer que tout élément de est deux fois dérivable sur et que :
, , .

6. Déterminer les éléments de .

Enjoy.
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[invitefc60305c]

1) avec k une constante réelle.
on a :
qui devient d'où
Finalement :

[kNz]

d'où

Pourquoi ?

[invitefc60305c]

Si f est une fonction constante, quel que ce soit la variable (x, y, x-y, x+y...), alors f = k.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

J'te parle de l'implication que tu me marques,
2k=2k² => k=1

Pourquoi ?

[invitefc60305c]

2k = 2k²
On divise par 2k (on peut car 2k différent de 0, voir énoncé)
1 = k

[kNz]

Oui, fais bien attention quand tu as ce genre de questions, à bien faire le raisonnement en entier, et à éliminer à la fin les solutions qui ne conviennent pas. Le correcteur sait pas ce que tu penses quand tu écris, pourquoi t'aurais pas oublié la solution 0 plutôt que de l'écarter car l'énoncé dit que l'application f est non nulle ?

Sinon c'est bon

Next question !

[kNz]

Désolé pour l'oubli du titre, mais j'hésitais sur le sujet au moment de poster et j'ai oublié de le mettre à la fin, et comme je ne peux pas le modifier, si un modérateur pouvait mettre Etude d'une équation fonctionnelle, pourquoi pas

[invite19431173]

Voilà qui est fait !

[kNz]

Thanks

[invite23d53e15]

Coucou, je me tape l'incruste avec la permission d'anonymus Comme il y a toujours à apprendre même des années précédentes, je me suis lancée dans la question 2.

2) Soit f appartenant à E. Alors f vérifie la propriété : pour tout couple de réels (x,y) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

Prenons donc x=0, y quelconque, on obtient alors : f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y) (E1)
Et par suite, f(-y)=f(y)(2f(0)-1) (E2)
Or l'équation (E1) est vérifiée pour y=0 et ainsi f(0)+f(0)=2f(0)²
D'où f(0)=f(0)², et donc f(0)=0 ou f(0)=1.

Supposons f(0)=0, et prenons maintenant y=0 dans la propriété, x quelconque. On obtient 2f(x)=2f(x)f(0)
2f(x)=0 et donc f est l'application nulle...c'est absurde.
Ainsi f(0)=1 et en réinjectant ce résultat dans (E2) on a : f(-y)=f(y)(2x1-1)
On obtient donc bien f(-y)=f(y)

L'équation est valable pour tout y, la fonction f est donc paire et vérifie de plus f(0)=1.

[doryphore]

La réponse à la question 2 est tout à fait valable.

[invitefc60305c]

2)



Or donc car

Par ailleurs, donc

Finalement, donc f paire.

[kNz]

2)



Or donc car

Par ailleurs, donc

Finalement, donc f paire.

Deux petites choses :

- pourquoi te sers-tu d'un résultat (f(0)=1) avant de le démontrer ?
- pourquoi élimines-tu la solution f(0)=0

[invitefc60305c]

1) Parce que je lis de droite à gauche
2) Par hypothèse, f différent de 0.

[kNz]

Dans l'énoncé on te dit f n'est pas la fonction nulle, mais f(x) = x ; f(0) = 0..

[invitefc60305c]

2f(0) = 2f²(0)
f(0) = f²(0)
f(0) = 1
Je ne peux pas dire que f(0) = 0 car ça voudrai dire que j'ai divisé par 0 ce qui est impossible.

[invitec5eb4b89]

2f(0) = 2f²(0)
f(0) = f²(0)
f(0) = 1
Je ne peux pas dire que f(0) = 0 car ça voudrai dire que j'ai divisé par 0 ce qui est impossible.

Ah non, là je suis pas trop d'accord : pour passer de la ligne 1 à la ligne 2, tu as supposé que f(0) n'était pas nul, tu ne peux pas ensuite dire que f(0) n'est pas nul parce que tu l'as supposé, c'est un peu facile quand même... Je trouve que le raisonnement par l'absurde (je crois) qui a été fait sur la même question pour montrer que f(0) est non nul est très bien !

Proposition pour la 3 (moi aussi je me remets dans la bain ) :
f est continue, car elle appartient à E, et f(0) est strictement positif... On peut donc dire que f est positive sur un voisinage de 0 (ou un intervalle du type [0;a]) et donc, par propriété de l'intégration, son intégrale sur ce voisinage est aussi positif.

Est-ce que ça fonctionne ?

[invite263d7f23]

(désolé, je n'ai pas les facultés mentales pour écrire en latex dans l'immédiat)
3.
Supposons que l'intégrale de f(t) (tel qu'on la voit si bien en latex plus haut) soit égale à 0, cela signifie que f(t)=0 (ce qui est impossible),
ou que F(alpha)=F(0) (avec F primitive de f),
Donc, f(alpha)=f(0)=1 , comme alpha parcourt le domaine de définition (R), cela signifie que f est une fonction constante. Or, la fonction constante s'écrit ici:
f(t)=1
soit F(t)=t , donc pour alpha distinct de 0, F(alpha) est nécessairement différent de F(0)... Il y a donc contradiction: F(alpha) ne peut être égal à F(0) si f est une fonction constante, donc les deux cas cités plus haut sont impossibles, donc l'intégrale de f(t) est distincte de 0.
Il existe donc bien alpha (appartenant à R) tel que l'intégrale de f(t) est distincte de 0.

On peut d'ailleurs le voir graphiquement: l'intégrale correspond à "l'aire sous la courbe", et celle-ci n'est nulle que pour la fonction nulle ou pour l'aire sous la courbe entre 2 points confondus (entre 1 et 1 par exemple)... Comme on parle ici d'applications non nulles, et si on prend alpha distinct de 0, alors, cette intégrale est non nulle pour tout alpha réel (non-nul).

L'épisode 4 prochainement... (en fait quand j'aurais justifié que la primitive de f appartient aussi à E.)

[invite263d7f23]

4.
Soit , et quelque soit x et u réel,
Par linéarité de l'intégrale:
, avec Fp(t) la primitive de f(t).

, donc , car , donc on a bien .
On utilise l'intégration par parties, et on obtient:

On pose x=0, on a f'(0)=0, f(0)=Fp(0)=1, donc:


, (car on pose x=0)

On a donc bien . Quelque soit u réel, on a donc bien .



Est-ce que mon 3. et mon 4. sont bons ?

[Flyingsquirrel]

Salut

Supposons que l'intégrale de f(t) (tel qu'on la voit si bien en latex plus haut) soit égale à 0, cela signifie que f(t)=0

Pourquoi ? f n'est, a priori, pas à signe constant.

[invite263d7f23]

Mais si l'intégrale de f(t) sur est égale à 0... ça veut dire que f(t) est soit la fonction nulle sur cet intervalle, soit que alpha et 0 sont confondus.
Et cela quelque soit le signe de f(t)... Hmm, tu pourrais m'expliquer en quoi j'ai faux ? Rongé par le doute, je pourrais dire des énormités...

[Flyingsquirrel]

Par exemple et le sinus n'est pas la fonction nulle. Par contre, si une fonction f est continue et à signe constant sur [a,b] et , là oui, on peut dire que f est nulle sur [a,b].

Ce que tu affirmes est vrai si est vérifié pour tout réel mais dans ce cas là je pense qu'il faudrait détailler un peu plus.

[invite263d7f23]

Ah oui, exact, j'avais oublié que l'intégrale d'une fonction négative était négative.

Donc, cette intégrale peut être nulle entre 0 et alpha, si f est périodiquement négative et positive entre 0 et alpha (ça se dit ça ?!), donc faudrait rajouter ce cas-là.
Mais je me pose une question là du coup, est-ce que 'applications non-nulles etc...', ça veut dire que f(x) est distinct de 0 (quelque soit x appartenant à R), ou ça veut juste dire que f n'est pas la fonction nulle, mais qu'il peut quand même s'annuler ?

[Flyingsquirrel]

Donc, cette intégrale peut être nulle entre 0 et alpha, si f est périodiquement négative et positive entre 0 et alpha (ça se dit ça ?!)

Oui mais attention, il n'y a pas que les fonction périodiques qui peuvent avoir une intégrale nulle, par exemple si on intègre une fonction impaire entre -1 et +1, on trouve 0.

Mais je me pose une question là du coup, est-ce que 'applications non-nulles etc...', ça veut dire que f(x) est distinct de 0 (quelque soit x appartenant à R), ou ça veut juste dire que f n'est pas la fonction nulle, mais qu'il peut quand même s'annuler ?

Ça veut dire que f n'est pas la fonction nulle mais qu'elle peut s'annuler.

Ceci dit, ton idée de départ est bonne : on raisonne par l'absurde, on suppose que pour tout réel , . Ça revient à dire que la fonction est constante. Cette fonction est-elle dérivable ? Que dire de sa dérivée ? (le but étant d'obtenir une contradiction avec ce que l'on sait sur f)

[inviteec581d0f]

Salut,

Je n'ais pas fait les intégrales.. j'essaye de faire cet exercice sans lol

donc je vous demande de l'aide héhé

Moi j'ai éffectuée un changement de variable en posant X = x-y et j'obtients :

f(X+2y) + f(X) = 2f(X+y)f(y) mais je n'arrive pas à continuer ..

xD

il doit y avoir un truc de composées.. arf je continue de l'aide plz

[invite263d7f23]

Oui mais attention, il n'y a pas que les fonction périodiques qui peuvent avoir une intégrale nulle, par exemple si on intègre une fonction impaire entre -1 et +1, on trouve 0.

Oui, il y aussi la fonction en forme de chapeau inversé...


Effectivement, c'est une très bonne idée ça, de raisonner avec une autre fonction...
Donc pour le 3.

Supposons que pour tout réel , , cela signifie que , donc que , avec F la primitive de f. Cela revient donc à dire que est une fonction constante, car F(x)=F(0) quelque soit x appartient à R.
Or, f est une fonction continue sur R, et 0 est un réel, alors la fonction G définie par est l'unique primitive de f sur R s'annulant en 0.
G est donc dérivable sur R, et sa dérivée est f... Or, la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle: CONTRADICTION.
On conclut, on est content.

[Flyingsquirrel]

@ Gaara : Quelle question fais-tu ?

@sohot :

4.
... avec Fp(t) la primitive de f(t).

Laquelle ? Si tu ne veux pas le préciser, dit "une primitive de f".

, donc , car , donc on a bien .

Je ne comprends pas comment tu montres ? (le "car" n'a rien à faire là) Je ne vois pas non plus à quoi ça te sert.

On utilise l'intégration par parties, et on obtient:

On pose x=0, on a f'(0)=0, f(0)=Fp(0)=1, donc:

Où est passé le terme ?
EDIT : il manque un f(u) aussi...

[inviteec581d0f]

@ Gaara : Quelle question fais-tu ?

Je fais la dernière question ^^


J'ai fais le même exercice il n'y a pas longtemps mais il y avait une condition supplémentaire, du style lim(x--+oo) de f(x) = 0.

Mais je bloque un peu car on cherche les fonctions non nulles.

Donc on peut dire que la fonction solution de ce truc est constante ?

Bref, j'attends ce que tu en dis et j'essaye de continuer.

PS : je n'ai pas fait les intégrales

[Flyingsquirrel]

Donc on peut dire que la fonction solution de ce truc est constante ?

Non, toutes les fonctions de E ne sont pas constantes. Je ne vois pas trop ce que tu veux tirer de l'équation de départ ? Le but d'un exo comme celui ci c'est justement d'obtenir au fur et à mesure des questions de plus en plus d'informations sur les éléments de E. Si on avait voulu que tu te débrouilles seul, l'énoncé aurait été réduit à la question 6). (et il serait impossible à résoudre parce que, mine de rien, sans aucune étape, c'est compliqué comme problème)
Pour en revenir à la question 6, elle utilise le résultat de la cinquième.