Démonstrations 1ereS

[invitea250c65c]

Bonjour a tous,

Alors voila, pdt les vacance, j'en profite pour démontrer des choses que l'on n'a pas démontré en classe.
Deja mes premieres questions, au sujet des dérivées:

Comment démontre-t-on que (uv)'(x)=(u'v)(x)+(v'u)(x)?

En fait j'ai trouvé une démo dans mon livre, mais je n'ai pas tres bien compris parce qu'a un moment, on rajoute dans le calcul deux termes qui s'annulent au final donc voila ce n'est pas tres clair et j'aimerai voir comment faire ca.

Moi, ce que j'ai fait, c'est que j'ai calculé le taux d'accroissement entre x et x+h de la fonction (uv)(x):

Pour tout h différent de 0:



mais apres je ne vois pas trop comment faire.

Pourriez vous me donner une piste svp.

Puis apres j'essayerai de faire pareil avec la dérivée d'un quotient.

Merci d'avance.
-----

[Calvert]

Salut!

Tu as bien:

.

Par contre, il est erroné d'écrire que (uv)(x+h) = u(x+h)v(x+h).

Par exmple, prends la fcontion composée f(x) = (2x)² = u(v(x)), avec v(x) = 2x et u(y) = y². Ainsi, f(x+h) = (2(x+h))² = 4x² + 8xh + 4h².

Ceci n'est pas égal à u(x+h)v(x+h) = (2(x+h))²2(x+h).

Pour poursuivre ta démonstration, tu peux essayer de poser une variable intermédiaire: y₀ = v(x), y=v(x+h), et de multiplier ta définition de la dérivée par

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

J'ai peut etre mal compris ta reponse, mais dans mon cas, il s'agit non pa d'une fonction composé (v°u)(x) mais d'une fonction produit (u*v)(x).
Et on a bien (u*v)(x)=u(x)v(x) (donc (u*x)(x+h)=u(x+h)v(x+h)) non?

[Calvert]

Oui, désolé, je l'ai remarqué en rentrant chez moi... J'ai mal lu ton problème, et du coup mal répondu.
Alors, reprenons.

On a donc:



Tu avais parfaitement raison.

Ensuite, l'idée est d'écrire le numérateur comme:



Avec ceci, tu devrais pouvoir t'en sortir!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Je ne vois pas ce que tu veux dire Calvert, tu as dû confondre avec les fonctions composées.
(uv)(x)=u(x).v(x) par définition.
de même que (u+v)(x)=u(x)+v(x).

Si tu développes, tu peux remarquer que:


donc


Je sors v(a) [ car ta fonction exige quand même un minimum d'être continue] D'où


Ici, on a donc ajouté 0, ça peut sembler stupide, mais en fait celà permet de faire apparaître un nouveau nombre dérivé, on fera la même chose pour les dérivées des fonctions continues (sauf que là on multipliera par 1 )

[invitec053041c]

la même chose pour les dérivées des fonctions continues

COMPOSEES pas continues...
décidemment, ça se voit que c'est la fin de la semaine

[Calvert]

D'ailleurs, autant mon premier poste parlait effectivement des fonctions composées, autant mon deuxième fait la même chose que le tien, avec la notation f(x+h)-f(x) avec h tend vers 0 au lieu de f(x) - f(a) avec x tend vers a...

[invitec053041c]

Oui je me suis rendu compte que tu l'avais montré aussi en postant,car j'avais pas actualisé la page =)
Ouf on arrive au meme resultat! héhé

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

J'ai réussi la demo je vous remercie.
Sinon la on fait la trigo et donc je me disais que je pourrais essayer de montrer une ou deux choses.
Pour les formules d'addition et de duplication, j'ai bien compris.
On l'a fait avec les sinus et cosinus, et j'ai démontré chez moi de telles formules pour les tangentes.
En fait j'ai
Soit , puis je divise le numérateur et le dénominateur par cos(a)cos(b) (ce qui revient a diviser par 1) et au final je trouve puis j'en déduis tan(a-b) et tan(2a).

Je me demandais donc s'il existait d'autrs formules interessantes que je puisse démontrer, je pensais par exemple, comme j'ai les formules d'addition et de soustraction, a exprimrer cos(ab) et sin(ab) en fonction de cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b), même si dans la pratique je ne pense pas que ca me servira bcp, sauf si j'ai des lignes trigo avec des a calculer.
Evidemment, je pensais aussi a expimer cos(a/b) en fonction de cos(a) et cos(b), ca ca peut etre bcp pluspratique, par exemple si je veux calculer un cosinus sans pi dedans.
Mais je ne sais pas si de telles formules existent et si je peux a mon niveau les démontrer, car j'en ai trouvé pas mal mais aucune sur les produits et les quotients.

Je vous demande donc votre aide, ou si vous avez un lien interessant ou il y ait des démonstrations de formules de trigo.

[invite7d436771]

Bonjour,

on utilise aussi cos(p)cos(q) qiuse déduit des formulkes d'additions et de même sin(p)cos(q) ...
sinon je n'en connais pas d'autres ...

Cordialement,

Nox

[invitea250c65c]

Bonsoir et merci,

J'ai trouvé d'autres formules et j'ai réussi a en démontrer.
Sinon tant que j'y pensepour revenir sur les dérivées je voudrais savoir cmt faire pour deriver . En fait je connais le résultat mais je ne sais pas cmt on le demontre.
Est ce que ca utilise la récurrence? Parce qu'on l'a pas encore vu mais on devrait bientot le faire.

Merci d'avance.

[invite58a61433]

Oui en 1èreS par récurrence

-Tu vérifies que (x^n)'=nx^(n-1) pour n=1,

-Puis tu suppose que ta relation est vrai pour un n donné et tu montre que si elle est vrai pour un n donné elle est vrai pour n+1 (on dit donc qu'elle est héréditaire).

-Et une fois que tu as montré ça tu as que ta relation est vrai pour n=1 et donc comme elle est héréditaire elle est vrai pour n=2, puis n=3 etc... et par suite qu'elle est vraie pour tout n

[invitea250c65c]

Bnjr et merci,

Donc c'est bien avec la récurrence, je ne vais pas essayer de le faire maintenant parce qu'on commence le chapitre ds 2 semaines dc j'en profiterai pr faire en + cette démonstration.

J'avais une autre démonstration a vs proposer:
Dans un repere (O;i;j) orthonormal, deux droites (D1) et (D2) d'équations respectives y=ax+b et y=a'x+b' st perpendiculaire SSI aa'=-1.
Apparamment on voyait ca en seconde avant, mais ca a été supprimé du programme. J'ai dc essayé de le demontrer.

Alors je commence par démontrer que 2 droites d'équations y=ax et y=a'x st perpendiculaires SSI aa'=-1 (voir piece jointe).
Ensuite, je démontre que lorsque l'on effectue un changement de repere en conservant les mêmes vecteurs unitaires, les coeff directeurs de (D1) et (D2) restent les mm qu'on exprime l'équation des droites dans (O;i;j) ou (S;i;j) (le nouveau repere). Je n'ai pas mis cela dans la piece jointe.

J'en conclue:
AA'=-1 dans (S;i;j) (A et A' st les coeff directeurs des droites ds (S;i;j))
signifie aa'=-1 dans (O;i;j)
Donc, d'apres la démo en piece jointe, les droites st perpendiculaires.

Ca a l'ai de tenir debout, mais je me demande s'il n'y a pas moyen de determiner ca sans passer par le repere (O;i;j) ou on demontre avant que les droites passant par l'origine st perpendiculaires SSI aa'=-1.je voulais essayer directement avec des droites d'équation y=ax+b, mais il aurait fallu determiner leur point d'intersection, réintroduire d'autres coordonnées, ... , et les calculs s'averaient plus longs.

Merci d'avance.

[Calvert]

Salut!

N'ayant aucune connaissance du système scolaire français, je ne sais pas ce que tu devrais savoir, excuse-moi donc si tu ne connais pas les concepts ci-dessous.

Tu calcules deux vecteurs directeurs, un pour chacune des droites, puis tu vérifies que leur produit scalaire vaut 0.

Une demi-ligne de calcul, et c'est fait.

[invitea250c65c]

Bnjr et merci,

Oui je connais en effet le produit scalaire, je l'ai vu cette année, mais comme apparamment on voyait cette propriété (aa'=-1) avant en seconde, je me suis dit que je pourrais essayer de le demontrer en plus, même si je ne m'en servirai peut etre jms.

[Calvert]

Si tu prends deux vecteurs et , et qu tu imposes qu'il soit perpendiculaires:






Comme a₁/a₂ est la pente du premier vecteur, et b₁/b₂ celle du second, tu as montré ta condition sur les pentes.

[invitea250c65c]

Bnjr et merci,

Oui c'est vrai qu'avec le produit scalaire c'est bcp plus simple, mais je voulais essayer sans car on voyait ce théoreme en seconde avantalors que le produit scalaire n'était vu qu'en premiere, mais je te remerci quand même, je n'y avais pas pensé de cette facon.

Sinon je me demandais si vous aviez des idées de choses que je pourrais démontrer (sans recurrence svp, je n'ai pas encore vu ca) du niveau premiere, des choses interessantes que l'on ne voit pas forcement en cours.

Par exemple, j'ai demontré que pour deux droites (D1) et (D2) d'équations respectives y=ax+b et y=a'x+b' de vecteurs directeurs u et v (en vecteur), on avait:

, dc que l'on pouvait deteminer l'angle formé par ces deux droites uniquement avec leurs coefficients directeurs. On retrouve bien cos(u,v)=0 lorsque les deux droites st perpendiculaires.

J'ai aussi démontré la théoreme de Thales avec des histoires d'égalités d'air.

J'ai aussi deux ou trois autres choses par exemple au niveau de la coplanarité de trois vecteurs, j'ai une expression qui depend des coordonnées des vecteurs, et qand elle est nulle, cela signifie que les vecteurs st coplainaires. J'ai aussi des choses sur les systemes, les paraboles passant par A(xa,ya), B(xb,yb) et C(xc,yc) que j'ai fait au debut de l'année pour faire des programmes ...

Avez vous des idées de choses a démontrer a me proposer?

Merci d'avance.

[Calvert]

En relisant ton fil, je vois plus haut que tu voulais essayer de démontrer la dérivée de xⁿ. S'il est vrai que par récureence, cela se fait très facilement, on peut tout de même y arriver sans, en utilisant la formule du binôme de Newton:

On a:



où on définit le coefficient binômial:



En décomposant judicieusement la somme, on parvient au résultat sans utiliser de récurrence.

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

Le pb c'est que je n'ai pas encore vu ca en cours, ni le binome de newton, ni les factorielles que je vois apparaitre dans la formule.

Mais de toutes facon je pourrais bientot le montrer par recurrence, et puis pour ca j'attendrais l'année prochaine.

Et sinon avez vous d'autres idées de démonstrations?
Je pense par exemple en géométrie, on voit au clg pas mal de choses qu'on ne demontre pas, j'ai deja demontré pas mal de choses, mais si vous avez des idées, je suis preneur, parce que j'en ai surement oublié.

Merci d'avance.

[invitea250c65c]

Bnjr et merci,

J'ai fait la demontration du théoreme qui dit que dans un triangle isocele, deux angles sur trois sont égaux. j'ai fait ca avec les formules d'Al Kashi.

Mais j'immagine que ca a été trouvé bien avant la notion de produit scalaire. Avez vous une autre démonstration "moins moderne" a me proposer?

Merci d'avance.

[invite05d0a348]

slt electrofred j'ai une autre idée de démonstration :
tu peut démontrer que
-(sin x)'=cos x
-(cos x)'=-sin x
-(tan x)'=1+tan²x

Notre prof de math nous l'es a fait ... il a dit que c'était pas au niveau de 1ereS mais interressant! Tu peut toujours essayer de les faire

[invitea7fcfc37]

Bnjr et merci,

J'ai fait la demontration du théoreme qui dit que dans un triangle isocele, deux angles sur trois sont égaux. j'ai fait ca avec les formules d'Al Kashi.

Mais j'immagine que ca a été trouvé bien avant la notion de produit scalaire. Avez vous une autre démonstration "moins moderne" a me proposer?

Merci d'avance.

Tout dépend de ta définition du triangle isocèle, le théorème que tu dis avoir montré avec Al Kashi pourrait très bien être une définition.
Si tu pars avec deux côtés de même longueur, tu n'as qu'à tracer la médiatrice du côté qui n'est pas de la même longueur que les autres, tu te retrouves avec 2 triangles rectangles dans lesquels tu peux appliquer les relations trigonométriques.

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

Pour le triangle isocele oui c'est vrai que ca peut etre condidéré comme une définition, donc de toutes facon ca revient au même.

Pour les dérivées des fonctions cosinus, sinus et tangente, je l'ai fait: pour cosinus et sinus,je pars de la definition du nb derivée ( lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h) ) et puis je retrouves les fonctions derivées en développant un peu avec les formules d'addition.
Pour la tangente, je derives un quotient (tan=sin/cos) apres avoir fait le cosinus et le sinus.

Mais ce que j'ai trouvé + interessant dans cette démo ce st les demos des limites usuelles: lorsque x tend vers 0 : sin(x)/x et (cos(x)-1)/x . Parce que nous en classe on demontrait que lim(x->0)sin(x)/x=1 en se servant de la dérivée de la fonction sinus, mais on a besoin de cette limite ^pour demontrer cette derivée justement, enfin c'était le serpent qui se mort la queue.

Pour sin(x)/x je le demontre avec des histoires d'encadrement d'aires que j'ai trouvé sur internet, dans un devoir maison, et pour le (cos(x)-1)/x, ca je l'ai fait sans les aires en developpant un peu.

Je viens de faire la dérivée d'un quotient, qu'il n'y avait pas ds notre bouquin, mais la j'ai tt fait tt seul, dc j'aimerai vous la poster pour voir si ca tient la route.
Je recopie ca au propre et je vous met ca en piece jointe.

Merci d'avance.

[Calvert]

Il existe aussi de jolie démo des dérivée d'arctan, arcsin, arccos, pas très difficiles, si on sait comment s'y prendre.

[invitea7fcfc37]

C'est vrai, mais là ça devient du programme de sup en France

[invitea250c65c]

Bnjr et merci,

Pour qq raisons pratiques je n'ai pas pu mettre la piece jointe, mais ce n'est pas grave ca a l'air de tenir la route de toutes facons.

Pour les derivées d'arcsins, arccos et arctan, je voulais les faire aussi mais je ne sais pas trop d'ou partir en fait, parce qu'on n'étudie quasiment pas ces fonctions en cours.
Mais je vais essayer de voir ca tt seul et si je ne trouve pas je chercherai un peu et je vous demanderai.

Sinon au niveau des derivées je vais aussi essayer la derivée de u°v en fonction deu et de v, mais mon prof m'a dit que ca demandait des notions de continuité que je n'ai pas.

Enfin bon j'essaye tt ca et quand je bloque je vous renvoie un message.

Merci.

[invite16cb713c]

bon moi je n'ai pas de réponses a ta solution loin de là !!! J'espère qu'un jour je comprendrai l'énoncé déjà
Non mais c'était juste pour dire franchement chapeau à tous ceux qui on fais l'éxo et qui ce sont casser la tete a trouver la réponse ! moi je dis BRAVO y'a vraiment des doués sur ce forum ^___^

[invite9c9b9968]

C'est vrai, mais là ça devient du programme de sup en France

Mais faisable en TS

Il suffit de bien justifier pourquoi arctan, arcsin et arccos sont dérivables, puis d'appliquer la formule de la dérivée d'une réciproque.

La démo de cette formule est amusante aussi

[invitebfd92313]

J'ai une démonstration de la dérivée de u o v, si tu n'arrive pas à la faire je peux te la transmettre pour t'aider.

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

Pour les dérivées reciproques, oui c'est l'année prochaine que je vois ca je crois mais ca fait parti des choses que je voudrais essayer de démontrer.

Je vais commencer par les fonctions composées, comme ca a l'air plus simple.
Hamb, tu dis que tu as une démo, je veux bien que tu me donnes juste le debut, parce qu'en fait je ne sais pas trop d'ou partir. Comme ca j'essaye de me debrouiller puis je vois ce que ca donne.

Merci d'avance.