Des équations de Friedmann-Lemaître aux graphes sous maple (attention maths inside)

invitebd8dbca5 · 31/10/2006, 02h57

Bonjour. J'ai 19 ans, je suis en maths spé (PSI) et comme on est en vacances (ou plutôt en "interruption de cours" comme disent nos profs), je me suis replongé dans mes lectures de cosmologie

. Mes connaissances en la matière sont surtout issus de bouquins de vulgarisation.

La question que je me pose ici c'est comment, en partant des trois équations de friedmann-lemaître, arriver à tracer les graphes d'évolution du facteur d'échelle de l'univers en fonction du temps sous le logiciel maple

et de combien de paramètres indépendants dépend ce graphe ?

Je veux que toutes les étapes du calcul soient décrites, et au final obtenir une équation différentielle dont le facteur d'échelle serait solution pour tracer la solution sous maple et ce, en fonction des différents paramètres (pression, densité d'énergie...). Une fois que j'aurai bien compris je pourrai rédiger un petit truc pour les lycéens qui font leurs TPE sur l'évolution de l'univers ou un truc dans le genre.

Pour cela je me sers du bouquin "Cosmologie primordiale de Patrick peter et Jean-philippe Uzan" chapitre 3

. (J'ai lu ce que je comprenais des deux premiers chapitres, mais j'avoue que j'ai sauté beaucoup de choses car les notations sont assez horribles et il me manque beaucoup de bases donc pour les calculs je ne ferais jamais référence aux tenseurs et autres trucs bizarres). Les questions sont marquée en bleu (Q1,Q2,Q3...) et les équations importantes sont précédées de (Eq1), (Eq2)... .

Tout d'abord voici les notations employées (oui je sais ça fait peur

) :

$\text{[math]}$ : X proportionnel à Y

$\text{[math]}$ : dérivée de X par rapport à t

$\text{[math]}$ : X à t=0

$\text{[math]}$ : facteur d'échelle de l'univers

$\text{[math]}$ : temps "universel" (t=0 : aujourd'hui)

$\text{[math]}$ : paramètre de Hubble

$\text{[math]}$ : constante de gravitation

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ : constante cosmologique

$\text{[math]}$ : "pression" (de l'univers ? (Q1) )

$\text{[math]}$ : densité d'énergie

$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ : paramètre pour "décrire la matière" (constant dans le temps)

$\text{[math]}$ : paramètre pour décrire la courbure de l'univers

$\text{[math]}$ : quantité réduite liée à la matière

$\text{[math]}$ : quantité réduite liée à la constante cosmologique

$\text{[math]}$ : quantité réduite liée à la courbure

Et voici des notations que l'on trouve pas mal employées mais que je ne sais pas comment intégrer dans les équations (j'expose ici leur notations mais les questions sur elles et notamment sur leur intégration au sein des équations obtenues pour tracer les graphes viendront surtout après).

$\text{[math]}$ : densité critique

$\text{[math]}$ : rayon de courbure ((Q2) : comment le rayon de courbure est lié au facteur d'échelle a ?)

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Il s'agit d'une décomposition du terme de matière $\text{[math]}$ en somme de composantes $\text{[math]}$ exposée dans le bouquin. Mais les composantes x ne sont pas explicités. (Q3) : S'agit-t-il des $\text{[math]}$ lié à la matière et $\text{[math]}$ lié au rayonnement que l'on peut trouver dans d'autres documents ?

Comme il existe plusieurs $\text{[math]}$ il existe également plusieurs $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ : qui désigne le "temps conforme" ((Q4) : c'est quoi ça ?)

J'ai déjà vu dans plusieurs documents que $\text{[math]}$ était lié à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . ( Q5) Si oui quelle est l'égalité qui les lie et pourquoi $\text{[math]}$ ne dépend pas aussi de $\text{[math]}$ (et en plus $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ expriment le même concept si je ne me trompe pas). ?

(Q6) Voyez vous d'autres paramètres qui peuvent être évalués aujourd'hui (à t=0) et dont dépendrait l'évolution de a(t) et si oui lesquels ?

D'après le bouquin, avec les expressions du tenseur d'Einstein, du tenseur énergie impulsion et l'équation de conservation de la matière on obtient les équations suivantes (je les crois sur parole), les équations de départ que j'appelle les équations de Friedmann-Lemaître :

(Eq1) : $\text{[math]}$

(Eq2) : $\text{[math]}$

(Eq3) : $\text{[math]}$

Après cela, dans le bouquin, il y a une précision sur ce que donnent les équations en temps conforme, mais comme je ne sais pas à quoi correspond exactement le temps conforme, j'ai pas tout compris et je ne pense pas que ce soit essentiel pour la suite. Continuons.

On a
$\text{[math]}$
donc avec (Eq3) on obtient :
$\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=> $\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=> $\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=>
(Eq4) : $\text{[math]}$ (en intégrant par rapport à t).

Avec les formes réduites (les différents $\text{[math]}$ ) on a :

En divisant (Eq1) par $\text{[math]}$ on a :

$\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=>
(Eq5) : $\text{[math]}$

Puis :

On a :
$\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=> $\text{[math]}$
(j'ai mis des $\text{[math]}$ pour que ce soit plus lisible)
------------------------------------------------
donc d'après (Eq4) :
<=> $\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=> $\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=>
(Eq6) : $\text{[math]}$

Avec la même technique, on obtient :

Pour $\text{[math]}$ on a :
$\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=> $\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=>
(Eq7) : $\text{[math]}$

On obtient également :

Pour $\text{[math]}$ on a :
$\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=> $\text{[math]}$
------------------------------------------------
<=>
(Eq8) : $\text{[math]}$

Bon alors maintenant on mixe tout ça :

En "mixant" (Eq5) , (Eq6) , (Eq7) et (Eq8) on obtient finalement :

(Eq9) : $\text{[math]}$

Et là le plus drôle arrive :

Voilà après je ne sais plus quoi faire

pour obtenir les graphes. (ah oui, à tout hasard je rappelle que $\text{[math]}$ ).

Mon but est d'obtenir mes graphes sous Maple d'évolution de a(t). Pour cela il me faut une équation différentielle dont a(t) soit solution.

Dans le bouquin les graphes présentés ont en abscisse $\text{[math]}$ et en ordonnée $\text{[math]}$ ce qui est bien car cela enlève certains problèmes d'unités et de constantes.

(Q7) Je voudrais donc connaître les équations qui me permettront de tracer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ (et comment on les obtient à l'aide des équations que j'ai déjà présenté.

Puis

Enfin je voudrais être certain de comprendre de combien de variables dépendront les graphiques alors dites moi si cela est vrai :

En considérant les équations de "départ" les variables seront $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ((Q8)et la constante cosmologique ou pas ?). Pour chaque valeur de ces variables on obtiendra un graphique particulier.

En considérant les équations avec les formes réduites (les différents $\text{[math]}$ ) les différentes variables seront alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ( pas $\text{[math]}$ car elle est liée aux deux autres par (Eq5) ).
(Q9) Pourquoi suffirait-il de déterminer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'après ce que j'ai lu (c'est à dire les valeurs actuelles) alors que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont à priori dépendantes du temps?

(Q10) Enfin à partir de quelles équations peut-on prendre parmis les variables $\text{[math]}$ que l'on voit souvent apparaître dans divers documents ?

Voilà ça y'est je crois que j'ai fini. Si vous êtes arriver jusque là c'est que soit vous avez tout compris

(sinon vous auriez décroché plus tôt) soit vous n'avez rien compris depuis le début et ça vous a mis dans un état semi-léthargique . En tous les cas merci à tous ceux qui ont lu jusqu'à la fin. Maintenant si vous avez les réponses à mes questions alors merci de m'aider

.

**invite8c514936** · 31/10/2006, 09h11

Salut,

C'est du touffu...

Alors Q1 : c'est la pression des différentes composantes de l'Univers. Dans les équations, ce qui intervient c'est la somme d'un terme d'énergie de masse et un autre de pression. La matière non relativiste a une pression quasi-nulle, ou plutôt, négligeable devant l'énergie de masse. La matière ultrerelativiste et la lumière ont une pression qui est reliée à la densité d'énergie par p=u/3. L'énergie noir a une pression négative.

Q2 : Rc est proportionnel à a.

Q3 : si le M veut bien dire "matière", le Omega_Mr ne doit pas correspondre au "rayonnement", c'est peut-être la composante relativiste (qui du coup se comporte comme un rayonnement...). Mais j'ai pas le bouquin sous la main, c'est difficile à dire.

Q4 : là tu te heurtes à ton impatience... La réponse est dans un cours de relativité générale, c'est assez subtil !

De manière générale, c'est courageux de ta part de te lancer là-dedans. Si tu veux juste tracer a(t), ton équation (9) suffit. Elle te donne H(t), qui d'autre part est égal à $\text{[math]}$ d'autre part, ça fait pas une belle équation différentielle sur a(t), ça ?

invitebd8dbca5 · 31/10/2006, 13h25

Bonjour. Tout d'abord merci d'avoir lu jusqu'au bout et merci pour les réponses aux premières questions ça m'éclaire un peu.

Pour mon équation différentielle j'avoue que je bloque car mon but est d'obtenir $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .

Tout d'abord comment passer de l'équation où $\text{[math]}$ dépend de t à l'équation où $\text{[math]}$ dépend de $\text{[math]}$ ?

Ensuite j'ai une équation différentielle en a(t). Mais comment je fais pour l'avoir en $\text{[math]}$ . Désormais je noterai : $\text{[math]}$ .

L'équation (9) donne donc :
$\text{[math]}$
donc pour le terme de droite ç'est bon.

Mais pour celui de gauche j'ai :
$\text{[math]}$

Le problème c'est que si je ne me trompe pas :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'ont rien à voir car :

$\text{[math]}$

Donc comment je fais ?
Merci d'avance :

**invite8c514936** · 31/10/2006, 18h58

Tout d'abord comment passer de l'équation où (...) dépend de t à l'équation où dépend de (H0 x t) ?

ça c'est pas très difficile, tu définis une nouvelle variable t'=(H0 x t) et tu remplaces partout t par t'/H0. ici H0 est une constante multiplicative, c'est tout.

Pour ta deuxième question c'est encore plus simple, on définit le facteur d'échelle a(t) de façon que a0=1 (la valeur aujourd'hui). La seule chose qui importe physiquement c'est l'évolution de $\text{[math]}$ , qui ne change pas quand on redéfinit a par un facteur multiplicatif. Autant donc ne pas se compliquer la vie et choisir a(t=31 oct 2006)=1 !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebd8dbca5 · 31/10/2006, 20h15

Donc d'après ce que tu me dis l'équation 9 devient :

$\text{[math]}$

Tu confirmes ?
Et là j'aurai bien : $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$

Si c'est ça, merci pour tout

**invite8c514936** · 31/10/2006, 20h19

Ben écoute, ça semble pas mal ! Attention cependant, le premier terme peut parfois en cacher plusieurs, chacun avec sa valeur de $\text{[math]}$ , la matière a $\text{[math]}$ , la radiation $\text{[math]}$ , et la quintessence ce que tu veux de plus grand que $\text{[math]}$ .

invitebd8dbca5 · 31/10/2006, 21h19

En prenant
$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

ça devrait le faire non ?

Bon je vais essayer ça.

**invite8c514936** · 31/10/2006, 21h20

Oui, comme ça ça devrait aller. Bon courage et bravo, tu t'es lancé dans un projet ambitieux !

invitebd8dbca5 · 01/11/2006, 03h57

Bon je continue pour clarifier un peu la situation.

On a toujours avec l'équation 9 :
$\text{[math]}$
------------------------------------------------
En multipliant par $\text{[math]}$ on a :

<=> $\text{[math]}$

------------------------------------------------
Grâce à (Eq5) on obtient :
<=> $\text{[math]}$

------------------------------------------------
En arrangeant un peu, on obtient :
<=> $\text{[math]}$

------------------------------------------------
Et finalement la belle équation :

(Eq10) : $\text{[math]}$

Et là magie, je viens de me rendre compte que bien qu'ayant des notations différentes au début je retombe bien sur une des équations que j'avais trouvé sur un site (ouf

, ça fait plaisir ):

http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...rie/index.html

(regarder vers la fin du document)

J'ai essayer de voir ce que donnais l'équation 10 seule sous Maple. Pour certaines valeur des Omega, j'obtiens des graphes à peu près cohérent avec ceux présentés sur le site. Mais deux problèmes : pour certains Omega, Maple trouve des trucs "bizarre" et d'autre part tout le temps, même en fixant (a(0)=1) j'obtiens non pas 1 graphe mais une sorte d'ensemble de graphes (en effet, les solution de (Eq10) semblent liées à une intégrale bizarre sous Maple). Bref, je n'obtiens pas les beaux graphes du site (http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...)/tableau.html ).

Je vais essayer de voir comment m'en sortir. Mais j'ai une autre question : sur le site http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...rie/index.html ils disent que les graphes sous Maple ont été obtenus à partir de deux équations :
L'équation 10 que je suis parvenu à établir et une autre équation présentant une formule de (t0) (voir vers la fin du document).

Donc je me pose la question suivante :

(Q11) D'où sors cette équation pour t0 ? Me sera-t-elle utile pour tracer le graphe sous Maple ou mon équation 10 se suffit à elle même ? Si elle est utile, je voudrais comprendre pourquoi et surtout quelle information supplémentaire elle apporte à Maple pour le tracé de a(x) .

Voilà merci d'avance, et surtout à toi deep_turtle qui m'a beaucoup aidé pour l'instant

.

**Gilgamesh** · 01/11/2006, 11h58

RV ton initiative est tout a fait réjouissante.

Au sujet du temps conforme, tu as une explication illustrée ici qu'est pas mal pour essayer de s'en faire une idée intuitive :

http://www-cosmosaf.iap.fr/Cours-cosmo-3.htm

Dans le Uzan c'est page 141 et 145

$\text{[math]}$

dt étant le temps cosmique. Pour en donner l'image que j'en ai, je dirais que c'est temps "redressé" de l'expansion, qui s'allonge comme un chewing gum avec la croissance du facteur d'échelle.

a+

invitebd8dbca5 · 01/11/2006, 17h29

Merci de tes encouragements Gilgamesh

. Le document que tu m'as fourni m'a un peu éclairé sur le sujet. Je l'avais vu dans le Uzan, mais noyé dans un océan d'équations j'avoue que j'avais un peu décroché

.

Sinon quelqu'un à une idée pour ma question (Q11) ?

A tout hasard j'ai envoyé un e-mail à l'auteur du document de l'université Montpellier 2 pour lui demander le code Maple qui lui avait permis de tracer ses graphiques. J'espère qu'il sera sympa

.

**Gilgamesh** · 02/11/2006, 13h37

Ce que tu cherches c'est bien à retracer la fonction a(t) ?

Le calcul de t0 te permet de situer l'origine, pour un Univers de facteur d'échelle actuel a0. Mais c'est pas indispensable dans un premier temps je penses.

a+

invitebd8dbca5 · 03/11/2006, 22h38

Bon, je n'ai toujours pas reçu de mail alors je résume la situation.

On a les différentes équations (qui sont toutes égales c'est juste une différence de notation )

------------------------------------------------

(Eq10) : $\text{[math]}$

------------------------------------------------

(Eq11) : $\text{[math]}$

------------------------------------------------

(Eq9) : $\text{[math]}$

------------------------------------------------

(Eq12) : $\text{[math]}$

------------------------------------------------

Avec
$\text{[math]}$

Le but est de tracer a(x) sous Maple.

Pour s'aider j'ai trouvé ce document (voir partie 5) :
http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...rie/index.html

Ils obtiennent ces graphes (cliquer sur les ovales):
http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...)/tableau.html

Maintenant un exemple de ce que j'obtiens en prenant :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Normalement je devrais obtenir d'après le site :
http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...ES/1_0.51.html

et j'obtiens

:
http://img124.imageshack.us/img124/6...omaple1qa6.jpg

En plus avec certaines valeurs j'obtiens des moitiés de graphes (genre avec 0.7 et -1) et pas les graphes complets

(Q12) Je pense qu'en fait le problème vient plus de la rédaction sous maple qu'autre chose. Donc si quelqu'un avait la bonté de m'expliquer comment faire ce serait vraiment sympa . (ou mieux encore si quelqu'un avait le temps de rédiger un truc sous Maple qui marche mais bon...) Merci.

Voilà. Merci beaucoup

.

**Gilgamesh** · 04/11/2006, 00h03

Envoyé par RVmappeurCS

Bon, je n'ai toujours pas reçu de mail alors je résume la situation.

Jamais touché à Mapple, mé bon, ce que tu produis comme courbe et le témoin ont exactement la même gueule. C'est les racines négatives le problème ? Ca peut p'tete se mettre en valeur absolue | | ?

a+

invitebd8dbca5 · 04/11/2006, 01h58

Oui je sais que ça a globalement la même tête, mais le problème c'est que je n'obtiens pas le graphe qu'il obtient (sur le site). Je m'explique : la plupart du temps, sous maple, avec les exos classiques (et donc adaptés), on obtient de belles courbes comme sur le témoin. Là le problème c'est que je n'ai pas une seule courbe (ça trace un espèce d'ensemble de courbes (même si une seule apparait en jaune)), et pour certaines valeurs, je n'obtiens pas de courbe complète.
J'ai essayer avec la valeur absolue, mais pour certaines valeurs des omegas, ça change complètement l'équation, et je n'obtiens plus de courbes ressemblant au témoin.
Pour par exemple 0,7 et -1, je devrais obtenir :
http://www.isteem.univ-montp2.fr/GRA...S/0.7_-11.html
et je n'obtiens que la première partie, c'est à dire jusqu'à ce que a(x) atteigne le maximum. Et pareil je n'ai pas une seule courbe mais un espèce d'ensemble de courbes.
Voilà le problème

.

invitebd8dbca5 · 04/11/2006, 16h22

Bon juste une petite précision :
Dans maple, il y a deux façons de procéder pour résoudre une équa-diff.
Soit on utilise DEplot (ce que j'ai fait) qui trace directement le résultat.
Soit on utilise Dsolve qui calcule la solution de l'équa-diff, puis on trace le graphique qui correspond au résultat.
Le problème c'est que la deuxième solution qui marche en général, ne fonctionne pas chez moi : Maple moulinne mais n'a pas l'air de trouver la solution.
J'ai essayer vaguement sous Mathematica, mais apparemment ça ne fonctionne pas non plus.

**Gilgamesh** · 04/11/2006, 18h52

Envoyé par RVmappeurCS

Bon juste une petite précision :
Dans maple, il y a deux façons de procéder pour résoudre une équa-diff.
Soit on utilise DEplot (ce que j'ai fait) qui trace directement le résultat.
Soit on utilise Dsolve qui calcule la solution de l'équa-diff, puis on trace le graphique qui correspond au résultat.
Le problème c'est que la deuxième solution qui marche en général, ne fonctionne pas chez moi : Maple moulinne mais n'a pas l'air de trouver la solution.
J'ai essayer vaguement sous Mathematica, mais apparemment ça ne fonctionne pas non plus.

Je serais toi, jeune padawan, je tenterais une approche à la main+calculette (ou mieuxx à l'aide d'un tableur) avec une dizaine (à la main) ou une centaine (avec tableur) de pas de temps pour voir où sont les points critiques-z-é-remarquables du pb qui peuvent conduire Mapple à merdoyer.

En sus ça te donnerais une compréhension intuitive du problème et dans ce domaine c'est pas du luxe. C'est de la Physique, avant tout.

a+

invitebd8dbca5 · 04/11/2006, 23h56

Le jeune padawan a presque réussi, en fait, l'équation est trop compliquée pour les fonctions de bases de Maple, il faut utiliser des fonctions plus poussées. Maintenant pour certaines valeurs j'obtiens les bons graphes. Il reste des problèmes (ça me dit qu'il y a des "singularity"

) pour les valeurs des Omegas correspondant à des univers qui s'étendent puis se recontractent. Là je n'obtiens que la phase d'expansion, pas celle de contraction. Mais bon, je sens que je vais bientôt y arriver.
Merci encore Gilgamesh et deep_turtle

.

**Gilgamesh** · 09/11/2006, 17h15

Alors ça donne quoi finalement RV ?

Tu veux qu'on t'envoie R2D2

invitebd8dbca5 · 16/12/2010, 04h47

Remontage de topic ....
Tout ça pour dire que même si entre temps je l'avais démontré tout seul comme un grand, 4 ans d'études après la question originale, j'ai enfin eu la démo complète ("from scratch") en cours de Relativité Générale et de Cosmologie (j'suis en double cursus M2R Astro

).

**ordage** · 16/12/2010, 09h47

Salut

J'avais traité ce problème en M2 d'astrophysique.
D'abord il n'y a pas 3 équations de Friedmann Lemaître mais seulement 2 linéairements indépendantes.
Pour ce qui concerne la dynamique de l'univers tu n'as besoin que d'une seule (celle qui est en a'/a = .....) l'autre en a" ne sert pas.

Pour résoudre le cas général où tu as un peu de tout (fluide de type poussière, rayonnement, constante cosmo) qui n'a pas de solution analytique exacte, j'avais écrit un petit programme en Fortran 90 sous unix de quelques lignes (il faut programmer la méthode de Runge Kutta d'ordre 4 par exemple pour trouver un résultat précis en un nombre d'itérations modéré (une centaine) avec quelques petits raffinements aux limites.
Je ne connais pas Mapple, mais globalement c'est très simple à condition de bien poser les conditions initiales qui sont données dans le commentaire ci dessous. Le reste c'est de la cuisine.

resolution equation de Friedman
!
! On doit normaliser t par un nombre sans dimension , l'unite d'echelle etant H0
! On pose T= H0(t -t0), on a: a'(T) = H0*a'(t)
!
! L'equation devient a'**2=(Dr*a**-2 +Dm*a**a**-1 +Dc+Dv*a**2)
! avec Dr = omega Rayonnement,
! Dm = omega matiere, Dc= omega courbure,
! Dv = omega vide, avec la relation Dr+Dm+Dc+Dv=1
!
! Par ailleurs cette equation a deux solutions la positive et la negative,
! Il nous faut un critere supplementaire pour selectionner laquelle s'applique
!
! Connaitre le signe de a' au depart et surveiller son changement de signe.
!
! Par ailleurs il faut surveiller que la valeur de l'expression definissant
! a'**2 n'est pas negative , car on en extrait la racine carree.
!
! On definit l'intervalle de la variable T par rapport au temps present,
! qui vaut 0, entre -1,5 et + 3, arbitrairement
!
! Condition initiales pour T=0 , a=1,

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