Différentes équations de Friedmann

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai remarqué que, entre la page de wikipédia et un de mes cours de cosmologie, j'obtenais des équations de Friedmann différentes...

Bien évidemment, il doit y avoir un lien entre ces différentes équations, mais je ne vois pas où...

Wikipédia définie les équations de Friedmann comme suit :




où H est le taux d'expansion, c la vitesse de la lumière, K le taux de courbure, a le facteur d'échelle, G la constante gravitationnelle, la dérivée de la fonction du taux d'expansion et la densité d'énergie.

Tandis que dans mon cours, l'auteur définie les équations de Friedmann comme :




avec R le facteur d'échelle, R' et R'' respectivement la première et la seconde dérivée du facteur d'échelle, G la constante gravitationnelle, la densité d'énergie, p la pression, la constante cosmologique et k le rayon de courbure (qui vaut soit 1, soit 0 ou soit -1).

Quelqu'un pourrait-il me montrer le lien entre ces deux équations ?

Merci d'avance
Phys2
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[Seirios]

Ce qui m'étonne également, c'est que dans la première paire d'équations, on ne retrouve pas la constante cosmologique. Peut-on la formuler autrement ?

PS : Une petite erreur s'est glissée dans la seconde équation de wikipédia : Dans le membre de droite, c'est la pression P à la place de la densité d'énergie .

[Seirios]

En exprimant les deux membres de droites des équations de Wikipédia en utilisant les équations de mon cours, j'obtiens :


Et

L'ennui c'est que je n'ai pas les correspondances entre les différentes valeurs des deux paires d'équations...

[Calvert]

Salut!

Je n'ai pas le temps de vérifier, mais à mon avis, c'est les mêmes équations; Wikipédia n'a pas le terme contenant la constante cosmologique (les modèles de Friedmann originaux ne la contenait pas, sauf erreur de ma part.)

Donc, techniquement, en exprimant les équations comme tu l'as fait, tu devrais retrouver les deux autres, moyennant un

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Finalement, en me rappellant que , j'ai développé les expressions de wikipédia :




Mais je ne trouve pas encore les résultats de mon post précédent. C'est la valeur de la constante cosmologique qui me pose problème (même en la prenant nulle je ne trouve pas le bon résultat)...

[invite88ef51f0]

Comme l'a dit Calvert, la constante cosmologique n'est pas toujours considérée dans les modèles. Ça ne fait que quelques années qu'on sait qu'elle doit exister physiquement.

Il y a plusieurs façons d'écrire les équations de Friedmann, mais elles doivent toutes être équivalentes.

J'ai pas trop le courage de me repencher sur ces calculs, mais c'est un bon entraînement.

[Seirios]

Après avoir décelé quelques erreurs dans mes calculs, j'ai approché davantage les deux résultats :

En développant les équations de wikipédia, j'ai :




Et en développant les équations de mon cours, et en posant la constante cosmologique nulle :




Les différentes ne sont donc plus que minimes, mais elles sont néanmoins présentes...

J'ai également cherché avec d'autres sources les équations de Friedmann, et j'avoue avoir été surpris de trouver plusieurs équations différentes, avec des facteur c² en plus ou en moins.

Je me demandais donc si le fait d'ajouter ou d'enlever des facteurs c² ou avec une puissance supérieure changeait l'équation (ce qui pourrait corriger les différences restantes entre mes deux paires d'équations).

[invitea29d1598]

salut,

les "c", c'est juste une histoire de choix d'unités. Sinon, si on corrige la 2ème équation de ton premier couple, y'a pas de pb et c'est bien équivalent : tu as écrit un rho au lieu d'un P dans celle-ci.

[Calvert]

Souvent, ces équations sont écrites avec G = c = 1 ou seulement c = 1.
Ici, je pense que pour des raisons dimentionnelles, on doit avoir, dans ta deuxième équation:



et non pas c⁴.

[Seirios]

Mais quelles sont ces raisons dimensionnelles ? Comment la constante c a-t-elle un rôle dans les unités ?

[Gilgamesh]

Sinon, ici c'est expliqué :

http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann_equations

These equations are sometimes simplified by redefining





to give :

[Seirios]

OK merci

[Calvert]

Petit commentaire pour Phys2:

en physique, lorsqu'on doute d'une formule, le premier test à faire est une analyse dimentionnelle. Ici, tu as dans les deux équation "wikipédia" un terme



En supposant que c'est correct, celà signifie que la dimension des deux équtions est la même. Hors, celle du haut contient



et l'autre



Donc, si elles sont valides, cela signifie que et p sont de même dimension. Ce qui est faux, évidemment. Donc, on sait qu'il y a une erreur quelque part.

[alain_r]

Petit commentaire pour Phys2:

en physique, lorsqu'on doute d'une formule, le premier test à faire est une analyse dimentionnelle. Ici, tu as dans les deux équation "wikipédia" un terme



En supposant que c'est correct, celà signifie que la dimension des deux équtions est la même. Hors, celle du haut contient



et l'autre



Donc, si elles sont valides, cela signifie que et p sont de même dimension. Ce qui est faux, évidemment. Donc, on sait qu'il y a une erreur quelque part.

C'est vous qui n'avez pas bien lu. rho est une densité d'énergie, qui est dimensionnellement identique à une pression.

[Calvert]

D'accord, plutôt qu'erreur, j'aurais dû employer le terme "incohérence" entre les équations proposées. D'un côté, on a une densité d'énergie, et de l'autre, une densité de masse, d'où un facteur c² entre les deux.

[alain_r]

D'accord, plutôt qu'erreur, j'aurais dû employer le terme "incohérence" entre les équations proposées. D'un côté, on a une densité d'énergie, et de l'autre, une densité de masse, d'où un facteur c² entre les deux.

Il n'y a aucune espère d'incohérence. les quantités sont correctement définies tant sur la version francophone que la version anglophone. Sur la première, il est explicitement indiqué que la quantité notée rho est une densité d'énergie, sur la seconde, il est explicitement indiqué que la quantité notée rho est une masse volumique.

[Calvert]

On va bien finir par se comprendre:

dans le premier poste de Phys2:

On a d'une part la version "wikipédia" avec p et définit comme tu le dis: une pression et une densité d'énergie.

D'autre part, on a la version "cours" des mêmes équations. Ici, Phys2 écrit textuellement "p est la pression et la densité d'énergie".
Cela ne peut visiblement pas être le cas puisque les équations contiennent le terme



Donc, ici, n'est visiblement pas une densité d'énergie, malgré les définitions de Phys2. C'est de cette incohérence-là dont je parle.

[invite88ef51f0]

c=1

[Calvert]

Tiens, j'avais jamais pensé à poser c=1 pour simplifier un c⁴ en c²...
Merci Coincoin, je me souviendrai du conseil!

[invite88ef51f0]

Pour développer mon point de vue, il est effectivement important de déterminer si on parle de densité d'énergie ou de masse, mais il faut bien voir que très vite on utilise les unités naturelles où c=1 et où énergie et masse sont donc homogènes. Donc ce n'est pas grave si on ne trouve pas un accord total sur une convention.