Géodésiques et courbure de l'espace temps

[invite787dfb08]

Bon j'ouvre un topic parceque j'ai été bien embêté pour en trouvé un dans lequel poser ma question.

Sachant que dans un espace plat, les géodésiques sont parélèlles, un corp d'un certaine longueur ne subit aucune déformation.
Par contre, dans un espace courbés, comme à proximité d'un corp massif, alors les géodésiques divergent et l'objets subit des forces de marées qui gagnent en intensités avec selon sa longueur.

Est-ce que les géodésiques divergent, ce qui me semble le plus propable puisque les forces de marées étirent, ou est-ce qu'elle convergent ?
En reformulant ça pourrait donner : éxiste-il des coprs créent une convergeance des géodésiques et des forces de marées qui copriment....
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[invite8c514936]

oui, ça peut comprimer. Par exemple, considère un ensemble de billes lachées depuis la même hauteur sans vitesse initiale dans le champ de gravité de la Terre. Leur trajectoire les emmène dans la direction du centre de la Terre, elles se rapprochent donc au cours de leur mouvement.

[invite787dfb08]

oui, ça peut comprimer. Par exemple, considère un ensemble de billes lachées depuis la même hauteur sans vitesse initiale dans le champ de gravité de la Terre. Leur trajectoire les emmène dans la direction du centre de la Terre, elles se rapprochent donc au cours de leur mouvement.

Ah ouiiii, c'est vrai je me rappelle avoir lu ça dans le bouquin de Kip Thorne, "trou noir et distorsions du temps".

Mais pourtant un corp qui s'approche de la Terre subira des marées étirantes.

Est-ce qu'il éxiste des corps qui créer des marées comprimantes ?

[invite88ef51f0]

Salut,

Mais pourtant un corp qui s'approche de la Terre subira des marées étirantes.

Ca dépend de l'axe. Les marées compriment horizontalement et étirent verticalement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonsoir,

Une remarque simple. Dans le vide le volume reste constant lors d'une chute libre d'un poignée de café moulu ( pour le site de Baez, très clair sur le sujet). Il y a déformation à volume constant, déformation attribuées aux "forces de marée". Autrement dit, il y a, d'une certaine manière, autant de directions d'étirement que de compression...

Cordialement,

[invite787dfb08]

Bonsoir,
Une remarque simple. Dans le vide le volume reste constant lors d'une chute libre d'un poignée de café moulu ( pour le site de Baez, très clair sur le sujet). Il y a déformation à volume constant, déformation attribuées aux "forces de marée". Autrement dit, il y a, d'une certaine manière, autant de directions d'étirement que de compression...
Cordialement,

Donc si je comprend bien il y a allongment de l'axe de la chute libre et contraction dans le sens perpendiculaire à la chute libre.
Pour l'allongement je comprend bien puisque les géodésique divergent, mais à quoi est dû la compression horizontale ? Est ce que c'est juste pour compenser l'allongement verticale (je pense...) ???

[invite88ef51f0]

La compression horizontale est due à la convergence des géodésiques.
L'étirement vertical est dû au fait que les particules suivent la même géodésique mais accélérent : celle de devant va donc plus vite que celle qui suit.

[invite787dfb08]

Ok je vois mieux...

Un corp en chute libre vers la Terre est comprimé car les géodésiques convergent et allongé de tel sorte qu'il y n'y ait pas de perte de volume par la différence d'accélération que subissent ses deux extrémités...

Donc il n'y a aucune histoire de divergence des géodiésiques pour la terre par exemple ??

[invité576543]

Donc si je comprend bien il y a allongment de l'axe de la chute libre et contraction dans le sens perpendiculaire à la chute libre.

Attention au terme "chute libre". La Terre est en chute libre, la Lune aussi, les satellites, etc. La notion d'axe d'une chute libre n'existe que dans des cas très particuliers. En particulier, un objet lâché par un quelqu'un sur Terre n'a pas à nos latitudes une trajectoire qui l'amènerait au centre de la Terre!

Pour l'allongement je comprend bien puisque les géodésique divergent, mais à quoi est dû la compression horizontale ? Est ce que c'est juste pour compenser l'allongement verticale (je pense...) ???

Je ne sais pas si c'est "pour" compenser l'allongement, mais c'est comme ça! Le plus simple est de regarder tout simplement les différentes trajectoires. Si on le limite à la chute radiale vraie (objet lâché fixe au départ par rapport au centre de la Terre), deux objets qui tombent en partant de la même altitude mais légèrement séparés vont se rapprocher l'un l'autre en approchant du centre puisqu'ils se dirigent vers le même point: compression.

L'allongement correspond à deux objets l'un au dessus de l'autre: celui du dessous subit une gravité plus forte que celui du dessus, il est accéléré un peu plus, le objets s'éloignent l'un de l'autre: allongement.

Plus généralement, dans le cas d'objets partant avec une vitesse initiale non nulle par rapport au centre de la Terre (i.e., objets lâchés dans une station spatiale, ou de la surface de la Terre, ou d'un avion, etc.) chacun va suivre (ou suivrait en l'absence d'air ou d'obstacles) l'orbite déterminée par son point de lâcher et la vitesse initiale; ces orbites seront légèrement différentes si les points de départ sont différents, et divergeront ou convergeront au début selon ladite vitesse, sans qu'il y ait de règle simple. Ca peut se vérifier en calculant ces orbites.

Cordialement,

[invite787dfb08]

Ok Ok

Bon j'ai la formul de la variation d'accélération :

∆a=(16MG (M/C^3))*L
Ou L est la longeur du corps : j'exprome M en Masses solalires, donc le G qui va avec, et donc L en mètre.
Ca donne donc une idée de l'allongement, et une idée de la limite, si on connait l'élasticité des matériaux qui sont allongés.

Y a t-il une formula similaire de calcul de la compression, ou alros on la déduit simplement du fait qu'il ya conservation de volume ??

[invité576543]

∆a=(16MG (M/C^3))*L
Ou L est la longeur du corps : j'exprome M en Masses solalires, donc le G qui va avec, et donc L en mètre.

Bizarre ta formule, le membre de droite est dimensionnellent MLT, ça représente quoi?

Cordialement,

[invite787dfb08]

∆a=(16MG (M/C^3))*L

Pardon il y a une erreur :

∆a=(16 PI^3 G (M/C^3))*L

voilà c'est mieux, c'est une mise en forme qui a remplacé le pi par un M, j'avais pa vu à la prévisualisation....

Alors pardon : Delta a c'est la variation d'accélératon ressentie entre les deux points (en m/s²), M c'est la masse du corp gravitant (unités qui dépendent de G), C la circonférences (km) de l'orbite circulaire sur lequel on se trouve autour du corp gravitant, G la constante de gravitation universelle (même unités que M), et L la longueur entre les deux points extrêmes du corps subissant les forces de marées (en m).

Non elle n'a rien de bizarre : j'ai fait plusieurs applications numériques et ça semble bon, nottament à proximité des trous noirs ou auters corps très massifs, et vers la Terre, ça donne bien des forces de marées imperceptibles pour un humain de 2 mètres...

[invité576543]

Bonjour,

Non elle n'a rien de bizarre

La nouvelle, non

Tu peux calculer l'autre (compression) en prenant deux objets en chute libre radiale à distance C du centre attractif. Leur distance est proportionnelle à la distance au centre
Δx = αC, avec α l'angle supposé petit et constant.

On a donc d²(Δx)/dt² = αd²C/dt² = -αMG/C², sauf erreur...

Cordialement,

[invite787dfb08]

Bonjour,


Δx = αC, avec α l'angle supposé petit et constant.

On a donc d²(Δx)/dt² = αd²C/dt² = -αMG/C², sauf erreur...

Attends la je ne saisi pas tout

D'accord pour le Δx = αC, si tu entends par Δx la variation entre la distance entre les deux points (mettons A et B)

Ensuite dans ton développement que sont d et t ??

Et pour ta formule finale, -aMG/C² correspond à Δx ?? ou a d²(Δx)/dt²

Merci pour ces petits éclaircissements qui me sont très utiles

[invite787dfb08]

Bonjour,

On a donc d²(Δx)/dt² = αd²C/dt² = -αMG/C², sauf erreur...

Cordialement,

QU'est ce que tu entends par dt ?

[invité576543]

Bonsoir,

si tu entends par Δx la variation entre la distance entre les deux points (mettons A et B)

Non. Δx est la distance AB.

Ensuite dans ton développement que sont d et t ??

La notation d²f(t)/dt² avec f(t) quelque chose qui varie dans le temps est la dérivée seconde de f(t) par rapport au paramètre t; ici t est le temps.

Dans quelle classe es-tu, pas simple de savoir sur un forum les notations que tu connais ou pas!

Et pour ta formule finale, -αMG/C² correspond à Δx ?? ou a d²(Δx)/dt²

Au second. C'est l'accélération relative entre A et B.

Cordialement,

[invite787dfb08]

Je suis en 1° S, donc je n'utilise pas encore ces notations, mais avec explications c'est compréhensilbe

Et du coup, parceque j'essaye depuis tout à l'heure de faire l'application numérique, on obtient une compression en m/s² qui doit être l'opposée de l'allongement ?? pour compenser le volume ???

[invité576543]

Je suis en 1° S, donc je n'utilise pas encore ces notations, mais avec explications c'est compréhensilbe

Et du coup, parce que j'essaye depuis tout à l'heure de faire l'application numérique, on obtient une compression en m/s² qui doit être l'opposée de l'allongement ?? pour compenser le volume ???

Pour tout dire, je suis pas sûr comment retrouver la conservation du volume à partir de ces formules. Quoi qu'il en soit, la compression intervient au carré, parce qu'elle concerne deux dimensions, alors que l'allongement n'en concerne qu'une seule.

Mais la variation de volume doit être un expression en m³/s qui s'annulerait, et la simple multiplication des formules, même avec le carré, n'a pas la bonne dimensionnalité (la bonne unité pour être plus clair).

Doit falloir intégrer quelque chose...

Cordialement,

[invite787dfb08]

Bon j'ai une proposition à faire, mais elle est incertaine.

Si le volume reste constant on peut calculer la compression en partant de l'allongement :

Soit un objet ayant pour longueur, largeur, hauteur, x, y, z.
Son volume = xyz
Mettons que y est attiré
Alors x et z seront réduits, ou plutôt, ce qui nours interesse xz sera réduit.
On a Δ(xz) = (xz)(initial) - (Volume initial / y (allongé))
J'espère que c'est compréhensible...

On obtient par contre un nombre positif, ce qui est moins logique, de plus je suis embêté pour les unités, je serais tenté par le m²/s², soit m/s mais.......

ça semble correct ??? Si oui je vais essayé d'utiliser ça pour trouver ce qui manque dans la formule de mmy

[invite7ce6aa19]

Comment expliquer les déformations à volume constant?



Soient 2 particules éloignées de dR {dXi}. Si celles-ci se trouvent dans un champ gravitationnel F uniforme elles resteront cote a cote indéfiniment (chte libre de l'ascenseur). Dans le cas contraire, DF/dr différent de zéro on aura des écarts de vitesse (qui sont des écarts d'accélération):
.
dVi = [dVi/dXj].dXj avec la convention d'Einstein.

On a ainsi un tenseur Gij = dVi/dXj

que l'on peut décomposer en une partie symétrique et une partie antisymétrique.
.
La partie symétrique se décompose en une partie purement diagonale et une partie symétrique avec des zéros sur la diagonale.
.
Partie symétrique:

Elle vaut div.V

par ailleurs div F = rho pour le champ gravitationnel.
.
La loi de Newton c'est F= m.dV/dt

Dans les régions sans sources (les masses) div F = 0 implique que div.V =0 ce qui signifie que le "fluide" est incompréssible: les déformations se feront à volume constant..

Partie symétrique à trace nulle.
.
On montre qu'il s'agit d'une déformation ellipsoïdale a volume constant qui correspond aux forces de marées: extensions longitudinales dans la direction de la Terre et compression tranverse pour le plan perpendiculaire.

[invite787dfb08]

Bon c'est bon j'ai trouvé....

En fait j'ai transformé la formul de mmy qui était :
Δx = -aGM/C², où a est l'angle entre A et B (deux points) et le centre du corps gravitant, M la masse de ce corp et C la distance des deux points à ce corps....
Ce qui revient à écrire :
Δx = -(GM/C^3)*L, ou L est la longeur entre A et B,puisque a=L/C.
Or, il manque un paramètre, puisqu'on considère un corps à trois dimension....

Ainsi, soit un corps à trois dimensions, x y et z, si y est allongé car il subit une variation d'accélérations, alors x et z sont diminué, comme je l'explique dans mon message précédent.

Ainsi, la formule finale pour la compression est :
Δx = -(GM/C^3)*l*h, ou l et h sont les longueurs associées à x et z

J'ai fait l'application numérique, et on trouve bien un résultat en m²/s², soit en m/s, qui est l'opposé de l'allongement mais il faudra que je vérifie toutefois....
A demain

[invité576543]

Bonsoir,

En fait j'ai transformé la formule de mmy qui était :
Δx = -aGM/C², où a est l'angle entre A et B (deux points) et le centre du corps gravitant, M la masse de ce corp et C la distance des deux points à ce corps....

Attention, ce n'était pas Δx, mais la dérivée seconde ((Δx)'' si tu veux). En renotant Δx=L, comme tu le fais, on a alors

L'' = d²L/dt² = -(GM/C^3)*L

Il faut que tu fasses bien la distinction entre l'accélération relative, la vitesse relative et la distance.

Ta première formule, ∆a=(16 π³ (GM/C³))*L, a aussi la dimension d'une accélération. (Je n'ai pas vérifié cette formule... Es-tu bien sûr de ton facteur avec pi ?)

Si tu prends un parallélépidède x, y, z, et en notant par '' la dérivée seconde par rapport au temps, on se retrouve avec

z'' = (16 π³ (GM/C³))*z
x" = -(GM/C³)*x
y'' = -(GM/C³)*y

Le volume est xyz, et on cherche à trouver sa variation dans le temps.

Réalises-tu qu'il va falloir s'occuper d'équations différentielles? Je ne pense pas que tu sois déjà bien armé pour cela, si?

Cordialement,

PS: Je connais bien l'approche proposée par Mariposa, mais je préfère t'aider selon ton approche, parce qu'elle est automatiquement adaptée à ton niveau.

[invite787dfb08]

hello

Bon c'est vrai que les différencielle je maîtrise pas du tout, mais il me semble que la formule que j'ai proposée fonctionne dans le cas d'un cube.
Quant à la formule pour l'allongement ouais je l'ai revérifiée, c'est bien ça, avec le bon facteur et tout.

J'ai refais une application numérique avec un trou noir de 1 masse solaire, pour un cube tel que x=y=z=2 mètres:

Je trouve, que son allongement est de 131,66 m/s².
Par la formule que j'ai proposée : sa compression serait de -131,66 m/s.
A noter que ça marche aussi avec un trou noir de plus de 1 masse solaire.

Donc je pense bien que dans le cas le plus simpliste, celui d'un cube, la formule que je propose fonctionne, puisqu'on trouve pour l'allongement exactement l'opposé de la compression et bien dans les mêmes unités.

Cependant il est vrai que cette formule ne marche pas quand les trois dimensions sont de longueurs différentes....

Tu es sûr qu'elle n'est pas bonne ? Je ne pense pas qu'il y est tant besoin de différencielle si on ne considère qu'un cube, même si c'est peut être indispensable dans d'aures cas ?

[invite787dfb08]

Ben si c'est bon dans les deux cas (les deux formules, pour l'allongement et la compression)on a bien une accélération relative, et c'est bien ça que je recherchais...

Après il faut des calculs plus complexes (différencielles) pour le cas ou l'objet n'est pas un cube, mais je vais me contenter du plus simple , je noterai auparavant qu'on suppose que l'objet est un cube.....

Quelqu'un sait il pourquoi les forces de marées sont chaotiques plus on approche d'un trou noir ??
Je crois me souvenir que c'est parce que la singularité est chaotique, mais cela sous entend que l'espace temps est aussi déformé chaotiquement ????

[invité576543]

Bonjour,

Je trouve plutôt une accélération relative en 2GMz/r³.

Le calcul complet est le suivant.

Soit r la distance au centre (je préfère noter r que C). Et dt un tout petit temps. Et soit x, y, z les longueurs d'un parallélépidède.

Le point supérieur s'est déplacé de vdt + GM/(r+z)² (dt)², le point inférieur de vdt + GM/r² (dt)². La différence est 2GMz/r³ (dt)² plus des termes en (dt)³, etc. que l'on néglige parce que dt est tout petit.

z a été multiplié par (1+2GM(dt)²/r³)

(soit une accélération relative de d²z/dt² = 2GMz/r³)

de même x et y ont été multipliés (en appliquant le calcul déjà donné) par (1-GM(dt)²/r³).

Le volume xyz à été multiplié par

(1+2GM(dt)²/r³)(1-GM(dt)²/r³)(1-GM(dt)²/r³) =

1 + 2GM(dt)²/r³ - GM(dt)²/r³ - GM(dt)²/r³ = 1

(là encore on a négligé les termes en (dt)⁴ et plus, parce que dt est très petit)

Cordialement,

[invite787dfb08]

Bon et ben j'essaierai de faire une application numérique cet après midi, pour savoir si on a bien conservation de volume , en tout cas merci de cette réponse

[invite787dfb08]

Bonjour,

Je trouve plutôt une accélération relative en 2GMz/r³.

Ah en fait tu refait un la méthode de l'accélération pour l'allongement, pas pour la compression...
et ben on trouve exactement le même résultats après application numérique, à savoir que dans l'autre formule, C est la circonférence de l'orbite circulaire sur lequel on se trouve autour du corps gravitant, d'ou le facteur avec PI.
Donc ouais elle est bonne ta méthode, simplement une autre écriture, plus logique en fait.... C'est surtout pour la compression que je voudrais savoir si la formule que j'explique au dessus est bonne pour un cube, mais apparement oui.....

[invité576543]

Bonjour,

Tout est clair maintenant! Je n'avais pas percuté sur le fait que C était la circonférence!

Cordialement,

[invite787dfb08]

Sinon tu as une idée de pourquoi les forces de marées sont chaotiques à proximité d'un trou noir, autrement dit pourquoi on est étiré dans tous les sens ?
Logiquement ce doit être du au fait que l'espace temps est déformé chaotiquement, entraînent les géodésiques à converger et à diverger de manière tout aussi chaotique, mais pourquoi ça ????

[invité576543]

Sinon tu as une idée de pourquoi les forces de marées sont chaotiques à proximité d'un trou noir, autrement dit pourquoi on est étiré dans tous les sens ?

Non, je ne connais pas cet aspect des trous noirs...

Cordialement,