Topologie de l'univers

[inviteefca5e50]

Bonjour,
malgré de nombreux forum sur ce sujet je n'ai pas trouvé ce qu'il me fallait.

1. Certaines personnes disent que l'univers est quasiment plat mais que c'est une sphère du fait de sa faible courbure positive. Comment l'univers peut-il être presque plat en étant une sphère ?

2. Ensuite, j'ai un petit problème sur les histoires de dimensions. Il me semble que l'univers a 4D : 3 pour l'espace et 1 pour le temps. Mais pour nous imaginer le concept de l'univers fini sans bord, on nous propose la surface de la Terre qui n'a (je ne sais pas trop pourquoi) que 2D. Mais pourquoi compare-t-on l'univers à la Terre alors que nous sommes sur la Terre et dans l'univers et que pour moi la Terre a des bords.

3. Encore une question, qu'est ce qui nous permet d'affirmer que l'univers n'a pas de bord, pourquoi ça ne peut pas être un univers fini avec des bords tout simplement ?

4. Enfin l'expansion est la même en tout les points il me semble, alors pourquoi l'univers serait plat, ce devrait plutôt être une sphère simple ?
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[invite88ef51f0]

Salut,

1. Certaines personnes disent que l'univers est quasiment plat mais que c'est une sphère du fait de sa faible courbure positive. Comment l'univers peut-il être presque plat en étant une sphère ?

De la même façon que la Terre est presque plate. Si le rayon de courbure est très grand, on peut dire que c'est presque plat, même si ce n'est pas rigoureusement exact.

2. Ensuite, j'ai un petit problème sur les histoires de dimensions. Il me semble que l'univers a 4D : 3 pour l'espace et 1 pour le temps. Mais pour nous imaginer le concept de l'univers fini sans bord, on nous propose la surface de la Terre qui n'a (je ne sais pas trop pourquoi) que 2D. Mais pourquoi compare-t-on l'univers à la Terre alors que nous sommes sur la Terre et dans l'univers et que pour moi la Terre a des bords.

Ce qu'on compare à la surface de la Terre, c'est en fait simplement l'espace (3D). On est obligé de passer par cette analogie car on ne peut pas visualiser un espace 2D non-euclidien. Déjà pour un espace 2D courbé, on est obligé de le plonger dans un espace 3D pour l'imaginer. C'est juste une limite inhérente à la représentation humaine, ça ne pose pas de problème de parler d'espace à n dimensions d'un point de vue mathématique.
Mais la surface de la Terre n'a bien pas de bords. Tu ne peux pas marcher et arriver à un point où il y a un panneau "attention, bord du monde". Si tu ne connaissais pas la 3e dimension, tu penserais que la surface de la Terre est sans bords.

3. Encore une question, qu'est ce qui nous permet d'affirmer que l'univers n'a pas de bord, pourquoi ça ne peut pas être un univers fini avec des bords tout simplement ?

En supposant qu'il y a un bord, qu'est-ce qu'il se passe si je me place pile au bord et que je tends le bras ?

4. Enfin l'expansion est la même en tout les points il me semble, alors pourquoi l'univers serait plat, ce devrait plutôt être une sphère simple ?

Pourquoi ? L'univers peut très bien être plat et en expansion.

[inviteefca5e50]

Merci Coincoin, j'ai compris pour la question 1), pour la 3) je viens effectivement de lire le paradoxe de Archytas de Tarente, c'est vrai que c'est pas si bête. La réponse à la 1) répond à la 4). Mais j'ai un peu de mal avec la 2), car pour moi le sol est un bord, c'est à dire cette surface a pour bord elle-même (je ne sais pas si je m'exprime bien). Et je ne comprends pas le fait qu'on ne puisse pas s'imaginer quelque chose qui existe. Même si l'on est à l'intérieur de quelque chose on peut le voir et connaître sa forme.

[inviteefca5e50]

Pourriez vous s'il vous plaît par la même occasion ce qu'est en gros "euclidien" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30d411fd]

Le sol est le bord de la Terre si on raisonne en 3D. Mais si on raisonne en 2D, on ne s'intéresse qu'à la surface et elle n'a pas de bord, tu peux faire le tour du monde sans rencontrer le bord.
Je ne connais pas la définition mathématique d'un espace euclidien mais c'est l'espace qu'on connait pour la géométrie habituelle : le chemin le plus court entre 2 points est la ligne droite, la somme des angles d'un triangle fait 180°... Pour avoir un espace non euclidien, prend une feuille et mets la sous forme d'un tube, le chemin le plus court entre 2 points n'est plus la ligne droite, la somme des angles d'un triangle ne fait plus 180°, etc...

[invite88ef51f0]

"Euclidien" est un synonyme de "plat" et "non-courbé". Ca veut dire que tu peux appliquer la géométrie d'Euclide : la somme des angles d'un triangle fait 180°, par un point passe une seule droite parallèle à une autre, ... Ce n'est pas vrai dans des espaces courbes (par exemple à la surface d'une sphère).

Et je ne comprends pas le fait qu'on ne puisse pas s'imaginer quelque chose qui existe.

Notre imagination provient de notre perception du monde. Or le monde qui nous entoure n'est que peu relativiste. La mécanique newtonienne s'y applique très bien en première approximation, et par conséquent nous n'avons pas l'habitude des effets relativistes, qui peuvent heurter notre bon sens.
Heureusement, y a les maths !

[Gilgamesh]

Ceci dit, la courbure de l'Univers et sa topologie ce sont deux choses très distinctes.

La topologie se définie essentiellement par le nombre de "trous" : T=0 (simplement connexe) ou T = 1, 2,... (multiplement connexe).

Si T=0, seules les courbure positives sont fermées : l'Univers est fini dans le temps et l'espace. Les courbure nulle (infiniment improbable...) ou négative sont ouvertes et donc infinies dans le temps (de 0 à +oo) et l'espace (+oo).

Si T>0, la conclusion est la même pour les courbures positives, mais également possiblement pour les courbures nulle ou négatives.

a+

[invite45f8e17a]

salut,

... Pour avoir un espace non euclidien, prend une feuille et mets la sous forme d'un tube, le chemin le plus court entre 2 points n'est plus la ligne droite, la somme des angles d'un triangle ne fait plus 180°, etc...

Ah bon? La surface du cylindre comme celle du cone est euclidienne, pourtant? non?

Cordialement.

[Gilgamesh]

salut,



Ah bon? La surface du cylindre comme celle du cone est euclidienne, pourtant? non?

Cordialement.

Si, tu as as raison.


Un petit topo posté ici y'a pas très longtemps, sur la notion de courbure d'une variété.

Commençons en 1D : pour caractériser la courbure d'une... courbe, par exemple un virage, on fait appel à la notion de rayon de courbure R. En chaque point on définit le rayon du cercle tangent à la courbe (appelé cercle osculateur).

La courbure X c'est tout simplement l'inverse du rayon de courbure, X=1/R. Plus R est petit, plus la courbure est grande.

Si R est nul, la courbure n'est pas définie, on a un point anguleux. Inversement, une droite bien rectiligne se definit par un rayon de courbure infini et X est nulle, comme on s'en doutait. Que le virage aille à droite ou a gauche est indifférent et R est toujours positif. In fine, X est donc seulement positive ou nulle en 1D.

En 2D maintenant. Sur une nappe on se représente en chaque point le plan tangent à la nappe. Et, pointant orthogonalement à ce plan, en tout point, un vecteur normal h. En suivant un chemin fermé quelconque parcourant la nappe si h revient en son point initial identique à lui même, la nappe est dite orientable (ça a un sens de définir une direction et son opposée). S'il revient inversé, c-a-d pointant dans la direction opposée à celle de départ, cas du ruban de Moebius, la nappe est dite non orientable.

Faisons maintenant passer un plan selon h, cad un plan normal à la nappe. Son intersection avec la nappe définit un arc (une section) le long duquel, en chaque point on peut définir une courbure dans le sens de précédemment (1D). Mais comme c'est en 2D qu'on travaille, en chaque point de cet arc, on peut regarder ce qui se passe si on tranche la nappe perpendiculairement, et mesurer le rayon de courbure et la courbure tout pareille : on a donc 2 courbures possibles.

Ajoutons à cela, si la surface est orientable, que le rayon de courbure peut se situer d'un côté ou de l'autre de la nappe. Aussi le rayon de coubure et la courbure, son inverse, ont un signe, positif ou négatif : X est donc négative, positive ou nulle en 2D.

Bien. Considérant la nappe en un point donné, on va essayer de la trancher de manière à ce que le rayon de coubure soit le plus petit possible et la courbure correspondante maximale. Tchac, on tranche on mesure et on obtient R1 le rayon et X1 = 1/R1 son inverse, la courbure principale.

Première chose remarquable, il se trouve que le rayon de courbure R2 obtenue en tranchant perpendiculairement en ce point est, lui, maximal, et la courbure X2 correspondante, minimale.

Avec 2 nombres comme X1 et X2 on peut s'amuser.

En les combinant, on va définir deux types de courbures.

H, la courbure moyenne est la moyenne de X1 et X2
H=(X1+X2)/2

et K, la courbure de Gauss, leur produit.
K=X1.X2


Voyons ce que cela donne dans un cas concret. Disons un cylindre et une sphère de rayon r.

Commençons par le cylindre. La courbure principale est la section du cylindre, un cercle de rayon r. Perpendiculairement à cette section, j'ai la génératrice du cylindre qui est une droite.

J'ai donc X1 = 1/r et X2 = 0.
Ce qui me donne
H = 1/2r
K = 0

Pour la sphère, j'ai X1 = X2 = 1/r
H = 1/r
K = 1/r²

On mesure ainsi que la courbure moyenne d'une sphère est deux fois plus forte que celle d'un cylindre. Ca correspond bien à l'intuition (puisque la sphère est courbée selon deux direction contre une seule dans le cas du cylindre). Plus surprenant on mesure que la courbure de Gauss est nulle dans le cas du cylindre.

OR, la signification profonde d'une courbure de Gauss nulle, c'est la propriété de la nappe à accepter des projections sans déformation d'angle depuis un plan. Si la courbure de Gauss n'est pas nulle, on ne peut pas passer du cas euclidien (le plan) à la nappe sans déformer les angles ou les surfaces.

On peut ainsi couvrir un cylindre avec une feuille de papier sans faire de pli. Mais on ne peut emballer un orange sans froisser le papier.

La courbure de Gauss est donc intrinseque, elle influe sur la géométrie que l'on peut tracer sur la nappe.

Si K =0 on a quelque chose d'euclidien. Un cylindre est donc euclidien bien qu'apparemment courbé.

Si K > 0, cela signifie que les 2 rayons de courbures, R1 minimal et R2 maximal en chaque point, sont du même côté de la nappe (ils sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs, selon le sens arbitraire selon lequel on a orienté la nappe). C'est le cas de la sphère.

Si K < 0 cela signifie que en un point une des ligne de courbure est positive et l'autre perpendiculairement est négative. C'est le cas de la selle de cheval.


vala. Et après on généralise en 3 dimensions...

[Gilgamesh]

(complément)

Pour généraliser en 3D il faut se représenter 2 ou 3 choses.

Dans le cas 2D, nous n'avions pas besoin de faire de calcul pour nous représenter la nappe courbée, car nous voyions la courbure. Cette variété 2D était en effet plongée dans une variété 3D (l'espace usuel) depuis laquelle nous pouvions voir depuis l'extérieur les plis et les bosses de la nappe. Les calculs de rayons de courbure nous permettaient de mesurer la courbure, mais pour nous en rendre compte nous n'avions besoin que de nos yeux.

N'étant pas équipé de sens "4D" (ni par nos capteurs physiques, ni a fortiori dans le sein de l'espace cognitif interne qui c'est construit autour) nous ne pouvons nous représenter, avec la même claire évidence qui se passe de mots, une variété 3D courbée de quelques façons que ce soit. Il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter de ne pas pouvoir le faire. Personne ne le peut.

Exprimons en termes plus fondamentaux pourquoi on ne peut pas voir ou même se représenter (sauf par le calcul) la courbure 3D.

Dire qu'un espace est courbé c'est dire que le repère inertiel l'est. Qu'est ce à dire ? Depuis Galilée, nous disons que "le mouvement est comme rien", s'il n'est pas accéléré (i.e. s'il est rectiligne et uniforme). Dire qu'un corps est immobile ou qu'il est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à soi signifie qu'il est tout à fait équivalent de décrire l'univers depuis soi (en se considérant immobile et le mobile, mobile) ou depuis le mobile (en se considérant mobile et le mobile, immobile). Je n'ai, dans un cas comme dans l'autre, à rajouter aucune force, aucune énergie, aucune équation surnuméraire pour passer de l'un à l'autre. Cette hypothèse très (très) forte implique que tout ce qui se passera d'inattendu ne relevera pas de la constitution des corps mais de l'espace lui même.

Les corps inertiels vont en ligne droite, donc. La lumière étant insensible à toute force est un magnifique cas inertiel. Elle ne quitte pas la ligne droite. Imaginons nous en 2D, êtres plats dans un espace plat. Alice envoie un rayon de lumière à Bob situé au-delà d'une bosse dans la nappe. La lumière suit l'espace de la nappe et parvient à Bob, qui en déduit qu'Alice est dans l'axe de visée qu'il mesure, tangent à la nappe. Alice n'a aucun autre moyen de lui envoyer d'autres informations que la lumière.

Zat's the point. Nous nous représentons l'espace par des objets, des "sondes" (dont la lumière) qui suivent la courbure de l'espace. Pas moyen de "voir Alice derrière la bosse". Elle est dans la direction de la ligne de visée donnée par la tangente à la courbure. C'est ça "la réalité" pour nous.

Et donc cette fois ci, seule la mesure - et une certaine capacité d'abstraction qui la rende intelligible - sont à même de nous approcher du phénomène et par analogie 2D de nous le représenter.

Deux solutions pour détecter la courbure...

1/ Si la courbure varie, cad si la bosse disparait ou s'accentue, l'angle que va faire le rayon lumineux A-B va changer et Bob va pouvoir prendre conscience (et mesurer) que la position d'Alice dans un espace non courbé se mesure différemment et que donc (Alice selon tout hypothèse n'ayant pas bougé) c'est l'espace qui est courbé.


2/ Si la courbure reste constante il faut en revenir à ce qu'implique la courbure moyenne et celle de Gauss. La première (la moyenne minimax : (1/R1 + 1/R2)/2) n'induit aucun effet sur la géométrie locale. Mais la seconde (le produit minimax 1/R1*1/R2) elle, change la donne.

Des êtres plongés dans une géométrie dont il ne peuvent se représenter la courbure faute de sens "plongeant" (capable d'envisager leur variété depuis une variété de dimension N+1), ce qui est incontestablement notre cas, peuvent tout de même mesurer cette courbure même statique si le produit des courbures minimax n'est pas nul.

Et si ce produit minimax est nul ? Alors ça n'a aucun effet sur la Physique locale et dès lors, postuler pour un espace plat, plutôt que cylindrique, par exemple, ne relève pas de considérations sur ce qui se passe localement. Et pour ce qui nous occupe, seule la Physique locale est pertinente. En ce sens, seule la courbure de Gauss a un sens physique.

Gauss le mathématicien, sur la base de cette considération, avait ainsi réalisé fin XIXe l'expérience de mesurer la courbure de l'espace 3D en mesurant la somme des angles du triangle le plus vaste accessible par lui à son époque, celui formé par 3 sommets alpins (pour s'affranchir au maximum de la limitation introduite par la rotondité de la Terre et viser le plus loin possible en ligne droite). Car en cas de courbure non nulle, la sommes des angles d'un triangle formé par des lignes droites n'est pas égale à pi mais moindre (si K<0) ou supérieur (si K>0). Le résultat fut que l'espace était plat aux incertitude de mesure près. Ce qui fait qu'Euclide (qui ne traite que d'espace plat) était effectivement et très raisonnablement applicable dans notre environnement terrestre. Mais l'idée à retenir c'est que la notion de courbure gaussienne rend la question de la géométrique de l'univers non triviale d'un point de vue physique, vu que c'est susceptible de changer quelque chose d'aussi basique que la somme des angles d'un triangle.



a+

[invite45f8e17a]

Salut,

...


Ah bon? La surface du cylindre comme celle du cone est euclidienne, pourtant? non?

Etait évidement une affirmation déguisée en question .
Je ne suis pas physicien, mais de part mon métier ( je suis chaudronnier), je sais reconnaitre une surface euclidiène.
Pour moi c'est encore plus simple, si je suis obligeé de marteler ou d'emboutir ma tole pour la former, alors la surface est non euclidiène . On dit dans notre jargon que c'est une surface non développable (une calotte sphérique par exemple).

Merci Gilgamesh pour cette démonstration ( que je m'empresse d'imprimer) qui a entre autre le mérite d'approfondir mes connaissances. (le bonjour à Bob et Alice ).

Bonne journée à tous.

[invite88ef51f0]

Pour moi c'est encore plus simple, si je suis obligeé de marteler ou d'emboutir ma tole pour la former, alors la surface est non euclidiène . On dit dans notre jargon que c'est une surface non développable (une calotte sphérique par exemple).

Comme quoi la chaudronnerie permet de comprendre la géométrie différentielle ! C'est impressionnant !

[invite45f8e17a]

Salut l'Duck,

Comme quoi la chaudronnerie permet de comprendre la géométrie différentielle ! C'est impressionnant !

Ca peux aller relativement loin: tu dois déterminer l'intersection entre un tronc de cone et une sphère, à celà tu rajoute une épaisseur non négligeable et tu dois trouver par exemple le développement du tronc de cone avec le trou pour la sphère en tenant compte de l'épaisseur et d'un chanfrein à 60° pour la soudure une fois formé (histoire de rajouter quelques paramètres ). Le tout soit en traçant de multiples épure ou par calcul (vectoriel).
évidement on apprend ce genre de chose qu' après le bac.